matrices et probabilites

TD N° 12: PROBABILITES ET ALGEBRE LINEAIRE
Exercice 1. (Problème EDHEC 2003)
Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d’affirmer que :
2
• s’il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
3
1
• s’il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
2
1
• s’il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
2
1
• s’il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
3
Pour tout entier naturel n non nul, on note A n l’événement : « le joueur gagne la n ème partie ».
De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose :
En = A n –1 ∩ A n ; Fn = An−1 ∩ A n ; G n = A n –1 ∩ An ; H n = An−1 ∩ An .
1) On admet que ( En , Fn , G n , H n ) est un système complet d’événements.
a.Montrer, en utilisant la formule des probabilités totales, que :
2
1
∀n∈IN *, P(En +1) = P(En) +
P(Fn).
3
2
b. Exprimer de la même façon (aucune explication n’est exigée) les probabilités
P (Fn +1), P (G n +1) et P(H n +1) en fonction de P(En), P(Fn), P(G n) et P(H n).
 P (E n )


P ( Fn ) 

c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose Un =
.
 P ( Gn )


 P ( H n )
0
0 
2 / 3 1/ 2


0
0 1 / 2 1 / 3

Vérifier que Un +1 = M U n , où M =
.
1/ 3 1/ 2
0
0 


0 1 / 2 2 / 3
 0
 1 1 3 3
 −1 −3 3 1 




−2 −1 −1 2
2 −3 −3 2 


2)
a. Soit P =
et Q =
.
 2 −1 1 2
 2 1 −1 −2




 −1 1 −3 3
 1 1 1 1
Calculer P Q. En déduire que P est inversible et donner son inverse.
b. On note C1, C2, C3, C4 les colonnes de P. Calculer M C1, M C2 , M C3 et M C4 , puis en déduire
1 1 1
que – , ,
et 1 sont les valeurs propres de M.
3 6 2
c.Justifier que M = P D P –1, où D est une matrice diagonale que l’on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
3)
a. Montrer par récurrence que : ∀n∈IN, M n = P D n P –1.
b. Montrer, également par récurrence, que : ∀n ≥ 2, Un = M n –2 U2.
c. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, donner la première colonne de M n, puis
en déduire P(En), P(Fn), P(Gn) et P(Hn).
d. Montrer que l’on a :
3
2
2
3
; lim P(Fn) =
; lim P(Gn) =
; lim P(Hn) =
.
lim P(En) =
n→+∞
n→+∞
10
10 n→+∞
10 n→+∞
10
4) Pour tout entier naturel k non nul, on note Xk la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur
gagne la k ème partie et qui vaut 0 sinon ( X1 et X2 sont donc deux variables certaines).
a. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, exprimer Ak. en fonction de Ek et Fk.
b. En déduire, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la loi de Xk.
5) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note S n la variable aléatoire égale au
nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties.
a. Calculer P(S n = 2) en distinguant les cas n = 2, n = 3 et n ≥ 4.
b. Déterminer P(S n = n).
c. Pour tout entier n supérieur ou égal à 3, écrire Sn en fonction des variables X k , puis
déterminer E(S n) en fonction de n.
Exercice 3 (tiré d’ECRICOME 96)
Partie I :On désigne par E l'espace vectoriel R 3, par B = (e 1, e 2, e 3) une base de E et par f
l'endomorphisme de E qui, à tout vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans la base B associe le vecteur u’
4 x ' = y
de coordonnées (x’, y’, z’) dans la base B tel que 4 y' = 4x + 2 y + 4z
4 z ' = y

Ecrire la matrice M de l'endomorphisme f dans la base B.
Calculer les valeurs propres de f.
f est-il diagonalisable? M est-elle inversible ?
Déterminer les sous-espaces propres de f.
Partie II : On dispose de deux urnes A et B: initialement l'urne A contient N boules noires tandis que
l'urne B contient N boules blanches, avec N ≥ 2. On y effectue une suite d'épreuves, chaque épreuve étant
réalisée de la façon suivante :
On tire au hasard une boule dans chacune des deux urnes, la boule tirée de l'urne A est mise dans B, celle
tirée de B est mise dans A. On appelle Y n la variable aléatoire égale au nombre de boules noires
présentes dans l'urne A à l'issue de la kème épreuve et l'on pose Z k = Y k – 1 - Y k pour k entier naturel non
nul, avec la convention Y 0 = N.
Pour k et j entiers naturels, on pose : p (k, j) = P (Y k = j) où P désigne la probabilité.
Ainsi : P (Y k = j) = 0 si j > N,
P (Y 0 = N) = 1,P (Y 0 = k) = 0 si k ≠ N, P (Y k = - 1) = 0
1. Etude du cas particulier N = 2
 p(k ,0) 


On note U k =  p(k ,1)  , V =
 p ( k , 2) 


1
 − 1
1 
1 
4
et
W
=
 
2
6 
6 
1
 − 1
1.1. Déterminer U 1.Calculer les probabilités conditionnelles : P
Yk = j
(Y k + 1 = i) pour i ∈{0, 1, 2} et j ∈{0,
1, 2}, puis montrer que, pour tout entier naturel k, U k + 1 = M U k.
1
1.2. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul : U k =  − 
k −1
 2
W+V
1.3.En déduire l'expression de p (k, 0), p (k, 1) et p (k, 2) en fonction de k pour k de N*
1.4. Montrer que l'espérance E (Y k) de la variable Y k est constante.
1.5.Calculer la variance V (Y k) de Y k en fonction de k et sa limite quand k tend vers + ∞.
2. Retour au cas général
Dans cette partie, on revient au cas général avec N ≥ 3 et on se propose d'étudier la convergence de la
suite(E (Y k)) k ∈ N*
2.1. Quelles sont les valeurs prises par la variable Z k ?
Calculer P
(Z k = 1) puis P
(Z k = - 1) pour j ∈ N, j ≤N et k ∈ N*.
Yk −1 = j
Yk −1 = j
2.2. En appliquant la formule des probabilités totales, prouver que, pour tout entier naturel k non nul :
E (Z k) =
2
E (Y k – 1) – 1
N
2.3. Montrer que la suite (E (Z k)) k ∈ N* est géométrique.
2.4. En déduire l’expression de E (Z k) et de E (Y k) en fonction de k et N.
2.5 Montrer que les deux suites (E (Z k)) k ∈ N* et (E (Y k)) k ∈ N* sont convergentes et donner leur limite
quand k tend vers + ∞