Optique géométrique - MPSI Arago Perpignan

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
Optique géométrique
Chapitre 2 : Stigmatisme et aplanétisme
Conditions de Gauss
Le but d’un instrument optique consiste à former d’un objet une image ressemblante.
Nous allons étudier quelles propriétés un instrument doit alors vérifier.
Objectifs :
• Savoirs :
– connaitre les propriétés de stigmatisme rigoureux et d’aplanétisme rigoureux du miroir
plan ;
– connaitre les couples de points rigoureusement stigmatiques dans le cas des miroirs
sphériques ;
– connaitre les conditions de l’approximation de Gauss et leur intérêt (stigmatisme et
aplanétisme approchés) ;
– pouvoir indiquer quelques défauts des images lorsque celles-ci sont formées en dehors
des conditions de Gauss : aberrations géométriques, aberrations chromatiques . . .
• Savoirs faire :
– savoir construire l’image d’un objet quelconque par un miroir plan ;
– savoir comment éclairer les systèmes optiques pour former des images de qualité (i.e.
pour réaliser le stigmatisme approché).
1
Vocabulaire de l’optique géométrique
n=1
L’œil étant un récepteur de lumière, c’est à lui que l’on fait référence pour caractériser un objet ou une image.
Image vue
par l’œil
n = 4/3
Lorsque l’œil voit une image, il reçoit des rayons semblant provenir de cette image.
L’œil voit une image située au point d’intersection des rayons qui l’atteignent.
Objet réel
Figure 1
S. Bénet
1
1.1
Illustration sur un miroir plan
1.1.1
Objet ponctuel réel et image pontuelle virtuelle à distance finie
Objet réel : la bougie constitue une source primaire quasi
ponctuelle à distance finie. Les rayons issus de l’objet,
se propagent dans le sens de propagation de la lumière
incidente, se dirigeant vers le miroir.
Ceci définit les caractéristiques d’un objet réel ; l’œil
peut voir directement un objet réel.
Image virtuelle : les rayons issus de la bougie sont réfléchis par le miroir et semblent provenir d’un point A!
(image quasi ponctuelle à distance finie).
Les rayons se propageant dans le sens de propagation
de la lumière réfléchie semblent provenir d’un point A!
placé derrière le miroir : cette image est virtuelle pour
le miroir et ne peut pas être observée sur un écran.
1.1.2
Objet réel
Image virtuelle
Miroir plan
Figure 2 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel réel
et d’image ponctuelle virtuelle à distance finie
Objet pontuel virtuel et image ponctuelle réelle à distance finie
Objet virtuel : On considère un faisceau convergent de
lumière émis par une source étendue. Les rayons lumineux émis par cette source se dirigent tous vers un point
A.
Ce point A peut être mis en évidence à l’aide d’un écran
car il s’agit d’une image réelle qui peut jouer le rôle
d’objet réel secondaire.
On place un miroir sur le trajet du faisceau de lumière.
On ne voit plus rien sur l’écran bien que les rayons incidents soient inchangés. L’interposition du miroir a rendu
virtuel l’objet source secondaire. Les rayons incidents sur
le miroir (dans le sens de propagation de la lumière) ne
sont pas issus d’un point mais semblent se propager vers
un point A : A est un objet source virtuel pour le miroir.
Miroir plan
Objet virtuel
Image réelle
Figure 3 – Exemple illustrant la notion d’objet pontuel virtuel et d’image ponctuelle réelle à distance finie
Image réelle : tous les rayons réfléchis par le miroir se
dirigent vers A! qui est une image réelle.
1.2
Généralisation
Les notions d’objets et d’images, réels ou virtuels sont conditionnés par la position relative du système optique et le
sens de propagation de la lumière.
1.2.1
Système optique
On appelle système optique l’ensemble d’un certain nombre de milieux homogènes transparents isotropes séparés par
des surfaces réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs) de formes simples.
Un système optique centré est un système optique possèdant un axe de symétrie de révolution ∆ appelé axe optique
(a.o.).
Il existe deux catégories de systèmes optiques pour lesquels il est important de préciser le sens positif de propagation
de la lumière :
• Système par transmission ou système dioptrique
constitué uniquement de dioptres (surface réfractante).
La lumière émergente est de la lumière transmise ou réfractée.
S. Bénet
Sens de propagation
de la lumière incidente
Système
Sens de propagation
de la lumière émergente
optique
Figure 4 – Système par transmission ou système dioptrique
2/10
• Système par réflexion ou système catadioptrique
constitué de dioptres et de miroirs (surface réfléchissante).
La lumière émergente est de la lumière réfléchie.
Sens de propagation de la lumière
incidente
Sens de propagation de la lumière
émergente
Système
optique
Figure 5 – Système par réflexion ou système catadioptrique
1.2.2
Nature des objets
Quelque soit le système optique considéré, un objet est situé à l’intersection des rayons incidents ou de leurs prolongements.
Un objet n’est visible par l’œil que :
• s’il émet spontanément de la lumière (source primaire : flamme, étoile,
• ou s’il diffuse de la lumière (source secondaire)
Cet objet pourra être :
• ponctuel ou étendu
– Un objet est ponctuel (point A) si ses dimensions sont infiniment petites par rapport à la distance d’observation.
– Un objet est étendu (ensemble de points indépendants les uns des autres) si les dimensions sont finies.
• à distance finie ou infinie
– Un objet ponctuel est situé à l’infini lorsque le faisceau de lumière issu de ce point et reçu par le système
optique est constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
B∞
Système
optique
A∞
a.o.
α
Système
optique
a.o.
centré
centré
Figure 6 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction de l’a.o.
Figure 7 – Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction α par rapport à l’a.o.
– Un objet ponctuel est situé à distance finie lorsque le faisceau de lumière issu de ce point n’est pas constitué
d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
• virtuel ou réel
– Un objet ponctuel réel est situé avant la face d’entrée du système optique, à l’intersection des rayons incidents.
– Un objet ponctuel virtuel est situé après la face d’entrée du système optique, à l’intersection du prolongement
des rayons incidents.
A
Système
optique
a.o.
centré
Système
A
a.o.
optique
centré
Figure 8 – Objet ponctuel réel situé à distance finie
sur l’a.o.
S. Bénet
Figure 9 – Objet ponctuel virtuel situé à distance
finie sur l’a.o.
3/10
1.2.3
Nature des images
Quelque soit le système optique considéré, une image est située à l’intersection des rayons émergents ou de leurs
prolongements.
L’image pourra être :
• ponctuelle ou étendue
– Une image est ponctuelle (point A! ) si ses dimensions sont inférieures au pouvoir de résolution du récepteur
(cellules rétiniennes quelques µm, grains de sel d’argent 1 à 100 µm).
– Une image est étendue (constituée de points images indépendants) dans le cas contraire.
• à distance finie ou infinie
– Une image ponctuelle est située à l’infini lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique est
constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
"
B∞
Système
optique
A"∞
a.o.
centré
Système
optique
α"
a.o.
centré
Figure 10 – Image ponctuelle située à l’infini dans
la direction de l’a.o.
Figure 11 – Image ponctuelle située à l’infini dans
la direction α! par rapport à l’a.o.
– Une image ponctuelle est située à distance finie lorsque le faisceau de lumière émergent du système optique
n’est pas constitué d’un ensemble de rayons lumineux parallèles à une direction donnée.
• virtuelle ou réelle
– Une image ponctuelle réelle est située après la face de sortie du système optique, à l’intersection des rayons
émergents. Elle peut être oberservée sur un écran.
– Une image ponctuelle virtuelle est située avant la face de sortie du système optique, à l’intersection du
prolongement des rayons émergents. Elle n’est pas observable sur un écran.
Système
optique
A"
a.o.
Système
A"
a.o.
optique
centré
centré
Figure 12 – Image ponctuelle réelle située à distance finie sur l’a.o.
1.2.4
Figure 13 – Image ponctuelle virtuelle située à
distance finie sur l’a.o.
Résumé
Dans le cas d’un miroir les faces d’entrée et de sortie sont confondues. Il faut prendre garde au fait que les directions
incidente et réfléchie sont opposées.
Espace Image Virtuelle
Face d’entrée du S.O.
Sens
de la lumière incidente
Espace Image Réelle
S.O.
en
Sens
Transmission
de la lumière transmise
(dioptrique)
Espace Objet Réel
Face de sortie du S.O.
Espace Objet Virtuel
Figure 14 – Système optique dioptrique
S. Bénet
Espace Image Réelle
Sens
de la lumière transmise
Sens
de la lumière incidente
Espace Image Virtuelle
Face d’entrée du S.O.
S.O.
en
Réflexion
(catadioptrique)
Face de sortie du S.O.
Espace Objet Réel
Espace Objet Virtuel
Figure 15 – Système optique catadioptrique
4/10
2
Stigmatisme et aplanétisme rigoureux
2.1
Définitions du stigmatisme rigoureux et de l’aplanétisme rigoureux
• On dit qu’un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A! ) si tout rayon
passant par A émerge du système optique en passant par A! .
!
SO
A! est l’image de A par le système optique
Schéma de conjugaison :
A −→ A!
!
A et A sont deux points conjugués
• On dit qu’un système optique centré est rigoureusement aplanétique si pour tout objet étendu AB plan et
perpendiculaire à l’axe optique son image A! B ! est plane et perpendiculaire à l’axe optique.
2.2
Stigmatisme et aplanétisme rigoureux du miroir plan
• Un miroir plan est une surface plane recouverte d’un mince dépôt métallique réfléchissant.
A!
A
• Mise en évidence du stigmatisme et de l’aplanétisme rigoureux du
miroir plan à partir d’une simulation numérique :
On constate que l’image A! B ! d’un objet AB est le symétrique de
cet objet par rapport au miroir plan.
B!
B
Le miroir plan vérifie la propriété de stigmatisme rigoureux pour
tout point de l’espace et la propriété d’aplanétisme rigoureux.
Figure 16 – Simulation numérique sur le miroir plan
• Soient deux points A et A! conjugués par le miroir plan :
Mp
A −→ A!
La relation de conjugaison s’écrit :
A
H
A!
HA! + HA = 0
Figure 17 – Contruction de l’image A! de A en introduisant H le projeté orthogonal de A sur le miroir plan.
par un miroir plan
On a HA! > 0 et HA < 0
S. Bénet
5/10
3
Stigmatisme et aplanétisme approché. Conditions de Gauss
3.1
Mise en évidence
3.1.1
Cas des miroirs sphériques
Miroir
sphérique
Miroir
sphérique
S
S
F
C
F
C
Figure 18 – Simulation numérique montrant le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour C
Figure 19 – Simulation numérique montrant le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour S
La simulation numérique montre que le miroir sphérique
est rigoureusement stigmatique pour son centre C :
La simulation numérique montre que le miroir sphérique
est rigoureusement stigmatique pour son sommet S :
M
M
s
C −→
C
s
S −→
S
Miroir
sphérique
A
S
F
C
Figure 20 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un
objet ponctuel réel quelconque
La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
réel quelconque.
S. Bénet
6/10
Miroir
sphérique
Miroir
sphérique
S
S
F
F A!
A
C
Diaphragme
Diaphragme
Figure 21 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o.
A
C
Figure 22 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons peu inclinés par rapport à l’a.o. le miroir sphérique
vérifie la propriété de stigmatisme approché
pour le couple de points (A, A! )
La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
réel situé sur l’a.o..
Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport à l’a.o. le
miroir sphérique donne une image A! de A. Le miroir sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme
approché pour le couple de points (A, A! ). La démonstration sera réalisée dans le chapitre O4.
Miroir
sphérique
Miroir
sphérique
S
S
F
F
C
Diaphragme
Figure 23 – Simulation numérique montrant que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel situé à
l’infini dans la direction de l’a.o.
C
Diaphragme
Figure 24 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons proches
de l’a.o. le miroir sphérique vérifie la propriété de stigmatisme approché pour le
couple de points (A∞ , A! ≡ F )
La simulation numérique montre que le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
situé à l’infini dans la direction de l’a.o. du miroir sphérique.
Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons proches de l’a.o. le miroir sphérique donne une
image A! ≡ F de A∞ . Le miroir sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour le
couple de points (A∞ , A! ≡ F ).
S. Bénet
7/10
3.1.2
Cas des lentilles
Lentille sphérique
A
Figure 25 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un
objet ponctuel réel quelconque
La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
réel quelconque.
Diaphragme
Diaphragme
Lentille sphérique
Lentille sphérique
A
A
Figure 26 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel réel situé sur l’a.o.
A!
Figure 27 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons peu inclinés par rapport à l’a.o. la lentille sphérique
vérifie la propriété de stigmatisme approché
pour le couple de points (A, A! )
La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
réel situé sur l’a.o..
Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons faiblement inclinés par rapport à l’a.o. la
lentille sphérique donne une image A! de A. La lentille sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme
approché pour le couple de points (A, A! ).
Diaphragme
Lentille sphérique
Diaphragme
Lentille sphérique
A!
Figure 28 – Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel situé à
l’infini dans la direction de l’a.o.
S. Bénet
Figure 29 – Simulation numérique montrant que lorsqu’on ne considère que des rayons proches
de l’a.o. la lentille sphérique vérifie la
propriété de stigmatisme approché pour le
couple de points (A∞ , A! ≡ F ! )
8/10
La simulation numérique montre que la lentille sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel
situé à l’infini dans la direction de l’a.o..
Cependant, si à l’aide d’un diaphragme, on ne considère que les rayons proches de l’a.o. la lentille sphérique donne
une image A! ≡ F ! de A∞ . La lentille sphérique vérifie dans ces conditions la propriété de stigmatisme approché pour
le couple de points (A∞ , A! ≡ F ! ).
3.1.3
Cas du dioptre plan
On démontre que le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque (c.f.
exercice n°1 du TD O2).
3.2
Conditions de l’approximation de Gauss
Aucun système optique, excepté le miroir plan, n’est rigoureusement stigmatique pour tout point de l’espace.
Cependant, pour les système optiques centrés, on peut obtenir un stigmatisme approché en ne laissant pénétrer dans
le système que les rayons paraxiaux, c’est-à-dire proches de l’axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci. Ces
conditions, dites de Gauss, se réalisent pratiquement à l’aide d’un diaphragme et en observant des objets petits et/ou
éloignés.
y
y = sin x
y
1
2
y=x
x (rad)
−π
−2π
3
π
3
−π
3
1
2π
3
π
y = x2
y = 1 − cos x
x (rad)
−1
−π
−2π
3
−π
3
π
3
2π
3
π
Dans les conditions de l’approximation de Gauss, les calculs seront réalisés en considérant tous les angles petits
(α $ 1 avec α exprimé en radians). On pourra alors écrire :
sin α % α
4
;
cos α % 1
;
tan α % α
Caractéristiques d’un système optique centré
4.1
Foyers et plans focaux
• Les systèmes optiques centrés, utilisés dans les conditions de Gauss, possèdent deux points particuliers :
– le foyer principal objet F dont l’image par le système est à l’infini dans la direction de l’axe optique
SO
F −→ A!∞
– le foyer principal image F ! , image par le système d’un point objet situé à l’infini dans la direction de l’axe
optique
SO
A∞ −→ F !
S. Bénet
9/10
Si ces deux points sont à l’infini, le système est afocal et vérifie
SO
A∞ −→ A!∞
• Le plan passant par F et perpendiculaire à l’axe optique est le plan focal objet.
Le plan passant par F ! et perpendiculaire à l’axe optique est le plan focal image.
• D’après la propriété d’aplanétisme :
– en dehors de F ! , tout point du plan focal image est appelé foyer image secondaire ϕ! et est l’image d’un
point objet situé à l’infini dans une direction différente de celle de l’axe optique
SO
!
ϕ −→ B∞
– en dehors de F , tout point du plan focal objet est appelé foyer objet secondaire ϕ et son image est un point
situé à l’infini dans une direction différente de celle de l’axe optique
SO
B∞ −→ ϕ!
4.2
Grandissement transversal d’un système optique
Soient un objet AB plan et perpendiculaire à l’a.o. et A! B ! son image par le système optique. Le grandissement
transversal du système optique est défini par :
γ=
A! B !
AB
Si γ > 0, l’image est droite, c’est-à-dire de même sens que l’objet.
Si γ < 0, l’image est renversée.
4.3
Grossissement d’un système optique
Le grossissement d’un système optique est défini par :
avec
#
" !"
"θ "
G = "" ""
θ
θ! diamètre angulaire sous lequel est vue l’image de l’objet à travers le système optique
θ diamètre angulaire sous lequel l’objet est vu à l’œil nu
B"
B
B
Système
θ
A
A"
A
θ"
optique
a.o.
centré
Figure 30 – Objet vu à l’œil nu
S. Bénet
Figure 31 – Objet vu à travers le système optique
10/10