TD3- Probabilités

Unité de cours Probabilités et statistiques - Séance TD n°3
Conditionnement et indépendance – Variables aléatoires réelles discrètes
Exercice 1 (A propos de transmissions)
Considérons le réseau de transmission suivant avec n nœuds de transmission:
0à1 à 2 à…àn
Un symbole binaire est transmis du noeud 0 vers le noeud n. On suppose qu’à chaque étape ( k à
k+1), il peut y avoir erreur de transmission avec une probabilité q. Il s’en suit que la probabilité de
transmission sans erreur à chaque étape est p = 1 - q. On suppose de plus que, si à l’étape k à k+1, il
y a une erreur, le symbole est envoyé du nœud k de nouveau.
1 - Quelle est la probabilité de passage de 0 à n sans erreur?
2 - Quelle est la probabilité qu’une erreur se produise pour la première fois entre k à k+1 ?
3 - Quelle est la probabilité qu’il ne produise qu’une seule erreur durant le passage de 0 à n ?
4 - Quelle est la probabilité pour que l'erreur se produise durant le passage de 0 à n exactement deux
fois?
Indication : Utiliser l’événement Hk ={ une erreur se produit entre k à k+1}.
Exercice 2 (Deux automates)
Soient deux automates A1 et A2 représentés par les deux diagrammes suivants avec les conventions du
TD1
0
1
1
1
2
0
4
0
1
3
1
1
0
2
1
5
0
0
5
1
3
0
1
0
1
4
0,1
Soit Ω, l’ensemble des mots binaires de longueur 3, muni de la loi uniforme P.
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires définies comme suit :
- Xi (ω) = k, si le mot binaire ω est accepté par l’automate Ai dans l’état k.
- Sinon, Xi (ω) = 0.
Afin de trouver le coefficient de corrélation corr(X1 ,X2 ) :
1- trouver la loi jointe de (X1 ,X2 )
2- trouver la loi marginale des deux variables
3- calculer E(X1 X2 ), E(X1 ), E(X2 ).
4- En déduire corr(X1 ,X2 )
Exercice 3 (Variables discrètes et indépendance)
Soient X et Y, deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme qui prennent comme valeurs 1,
2 et 3. On pose Z = X + Y et U =XY.
1 – Est-ce que les variables Z et U sont indépendantes ?
2 – Donner leur coefficient de corrélation.
Indication : trouver la loi jointe (Z,U), en déduire les lois marginales et conclure.
Exercice 4 (Espérance)
Un joueur coche 6 numéros sur une grille de 49 numéros, dans le cas d’un bulletin simple. Les 6
numéros gagnants sont obtenus par tirage à sort.
L’espace d’états Ω est ici l’ensemble des parties de 6 éléments dans {1,2 ,…,49}, grilles jouées par le
joueur. Soit Ng le nombre de numéros gagnants sur la grille du joueur, considérée comme variable
aléatoire.
1- Donner la loi de Ng.
2- Lors d’un tirage, pour une mise de 0,3€, le gain G(Ng) était le suivant :
n numéros gagnants
6
5
4
3
Gain G(n)
789 177
1813
31
3
G est une variable aléatoire discrète. Après avoir calculé son espérance, indiquer si le jeu est favorable
au joueur.
Exercice 5 Quelques lois usuelles –espérance, variance et fonction génératrice 1 - La loi de Bernoulli (jeu de pile ou face)
La loi de Bernoulli est définie sur Ω ={ 0, 1} par P({1})=p, P({0})=q avec q=1-p. Donner son
espérance, sa variance et la fonction génératrice.
2 - La Loi binomiale.
Ω = {( a1 , a 2 ,..., a n ), a i ∈ {0,1}}
On pose P({(a1 , a2 ,..., an )}) = p k (1 − p ) n− k avec k le nombre de a i égal à 1.
Vérifier que c'est une loi de probabilités. Trouver la probabilité P(Ak ) avec Ak ={ω/ ω contient
exactement k fois 1}. Soit X la variable aléatoire définie par X(w) = nombre de a i égal à 1 dans w.
Donner sa loi, elle est appelée loi binomiale de paramètre (n,p). Calculer son espérance, sa variance et
la fonction génératrice.
Indication : utiliser la formule du binôme (1+x)n et sa dérivée. Il est aussi classique d’utiliser pur
calculer var(X) de calculer au préalable E(X(X-1)).
3 - La Loi géométrique.
Ω = Ν∗ et P({k}) = pk-1 q avec 0<p,q<1
Soit Τ l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, montrer que (Ω, Τ, P) est un espace de probabilités
et ce, pour une unique valeur de q que l’on précisera. Supposons qu’une variable aléatoire discrète à
valeurs dans N* ait pour loi cette loi géométrique, de paramètre p. Quelle est son espérance et sa
variance ? sa fonction génératrice ?
Indication : utiliser la série géométrique
ρ n , ρ p 1. et ses deux premières dérivées.
∑
4 – La loi de Poisson de paramètre λ
Ω =Ν
et P( k ) = e − λ
n≥ 0
λk
,k≥0
k!
Montrer que P ainsi définie est une probabilité sur N. Calculer E(X), E(X(X-1)) et sa fonction
génératrice. Donner deux méthodes pour trouver var(X) (directement et à partir de la série
génératrice).
Exercice 6 (loi géométique)
Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est une variable aléatoire
discrète de loi :
P( X = k ) =
pk
, k ≥ 0.
(1 + p) k +1
1- Vérifier que X suit bien une loi de probabilité (loi de type géométrique).
2- Calculer son espérance et sa variance.
3- Connaissant son stock s, calculer la probabilité de rupture de stock.
Exercice 7 (loi binomiale et loi de Poisson)
Un élément chimique émet des électrons pendant une période T. Le nombre d’électrons émis est une
variable Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Chaque électron a une probabilité p d’avoir un
effet biologique (on dira qu’il est efficace). Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d’éle ctrons
efficaces sur la période T.
1 Déterminer la loi du couple (Y,Z).
2 Déterminer la loi de Z, calculer son espérance.
3 Les variables Y et Z sont elles indépendantes ?
4 On considère X la variable aléatoire égale au nombre d’électrons émis non efficaces. Déterminer la
loi du couple (X,Z). Les variables X et Z sont elles indépendantes.
Exercice 8
Soit GX et GY les fonctions génératrices de deux variables X et Y indépendantes, suivant
respectivement des lois binomiales de paramètres (n1 , p) et (n2 , p). Calculer le produit GX GY , en
déduire la loi de X+Y.