ENSEMBLES DE NOMBRES

Chapitre 01 Ensembles de nombres
Seconde
ENSEMBLES DE NOMBRES
I- Les différents ensembles de nombres
1. Les entiers naturels
Les entiers naturels sont les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; . . .
On note N l’ensemble des entiers naturels, N = 0; 1; 2; . . ..
2 ∈ N se lit « 2 appartient à N ».
L’écriture n ∈ N signifie « n est un entier naturel ».
2. Les entiers relatifs
Les entiers relatifs sont les nombres . . . ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; . . .
On note Z l’ensemble des entiers relatifs.
Tous les éléments de N appartiennent aussi à Z, on note N ⊂ Z, on lit « N inclus dans
Z ».
−2 ∈
/ N ; −2 ∈ Z ; 3 ∈ Z.
3. Les nombres décimaux
Exemples
3
3
0, 03 =
= 2 = 3 × 10−2
100
10
−1732
−1732
= −1732 × 10−3
=
−1, 732 =
1000
103
250
250 = 0
10
Les nombres 0,03 ; −1, 732 ; 250 sont des nombres décimaux.
Définition
Un nombre décimal s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de
a
10, soit n , avec a ∈ Z et n ∈ N.
10
On note D l’ensemble des nombres décimaux. On a N ⊂ Z ⊂ D.
4. Les nombres rationnels
Exemples
7
−7
7
2 3
; ;− =
=
sont des nombres rationnels.
3 4
5
5
−5
Définition
Un nombre rationnel est le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul, il
a
s’écrit donc avec a ∈ Z et b ∈ Z \ {0} = Z∗ .
b
On note Q l’ensemble des nombres rationnels.
Remarque
L’écriture d’un nombre rationnel n’est pas unique.
4
10
2
.
Par exemple, = =
3
6
15
2
Parmi ces différentes écritures du même nombre,
a un rôle particulier, c’est une
3
fraction irréductible, son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux
(leur PGCD est égal à 1).
Tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous forme de fraction irréductible.
2
2
2
= 0, 666666 . . ., ∈ Q mais ∈
/ D.
3
3
3
3
3
3
= 0, 75 donc ∈ Q et ∈ D.
4
4
4
1
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Seconde
7
7
7
− = −1, 4 donc − ∈ Q et − ∈ D.
5
5
5
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels mais il existe des nombres
rationnels qui ne sont pas décimaux.
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.
5. Les nombres réels
Soit une droite D munie d’un repère (O; I). O est l’origine du repère, OI = 1 (unité
de longueur).
O
D
I
b
M
b
0
b
x
1
Définition
A chaque point M de la droite D, on associe le nombre x, appelé abscisse de M dans
le repère (O; I) de la manière suivante :
• x = OM si M ∈ [OI)
• x = −OM si M ∈
/ [OI)
L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points de la droite D.
On note R l’ensemble des nombres réels.
Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, on dit qu’ils sont irrationnels.
Exemples
√ √
Diagonale d’un carré de côté 1 : 2, 2 ∈
/ Q.
demi-périmètre d’un cercle de rayon 1 : π, π ∈
/ Q.
II- - Intervalles de R
1. Introduction
Résoudre dans R l’inéquation 2x − 7 6 5.
2x − 7 6 5 ⇔ 2x ≤ 12 ⇔ x ≤ 6.
On représente l’ensemble des solutions S sur un axe :
S
0
b
6
1
b
b
On notera ] − ∞; 6] l’ensemble des nombres réels inférieurs ou égaus à 6.
L’ensemble des solutions de l’inéquation est S =] − ∞; 6].
2. Définitions
(a) Intervalles bornés
Soit a et b deux nombres réels tels que a 6 b.
2
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Seconde
Notation
Ensemble des nombres réels x tels que :
[a; b]
a6x6b
]a; b[
[a; b[
]a; b]
Représentation
a
b
a
b
a
b
a
b
a<x<b
a6x<b
a<x6b
Ces ensembles sont des intervalles bornés, a et b sont les bornes.
[a; b] est un intervalle fermé, ]a; b[ est un intervalle ouvert.
[a; b[ et ]a; b] sont intervalles semi-ouverts respectivement à droite et à gauche.
(b) Intervalles non bornés
Soit un nombre réel a.
Notation Ensemble des nombres réels x tels que :
[a; +∞[
Repésentation
a
a6x
a
]a; +∞[
a<x
a
] − ∞; a]
x6a
a
] − ∞; a[
x<a
+∞ se lit « plus l’infini »et −∞ se lit « moins l’infini ».
Ces ensembles sont des intervalles non bornés.
[a; +∞[ et ] − ∞; a] sont des intervalles fermés.
]a; +∞[ et ] − ∞; a[ sont des intervalles ouverts.
Attention : +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels.
Exemples
3
•
∈ [1; +∞[
2
• −4 ∈]
/ − ∞; −5]
• 1 ∈]1;
/ +∞[ 3 3
• 0∈ − ;
2 2
3
• 7∈
/ −3;
2
3. Intersection
Définition
Soit un ensemble E et A, B deux ensembles contenus dans E, on dit que A et B sont
des parties de E.
L’intersection des ensembles A et B, notée A ∩ B (on lit A inter B), est l’ensemble
des éléments de E qui appartiennent à A et à B.
3
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Seconde
E
A
B
A∩B
Exemples : Déterminer, en utilisant une représentation graphique, les ensembles suivants :
• I = [1; 3] ∩ [−3; 2]
b
b
−3
b
0
b
1
b
2
3
I = [1; 2]
• J =] − ∞; 3] ∩ [−2; +∞[
b
J = [−2; 3]
• K =] − 3; 2[∩[3; +∞[
b
−3
b
−2
b
0
b
b
0
b
3
1
1
b
2
b
3
K =∅
Propriété (admise)
L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, ou l’ensemble vide.
4. Réunion
Définition
Soit un ensemble E et A, B deux parties de E.
La réunion des ensembles A et B, notée A ∪ B (on lit A union B), est l’ensemble
des éléments de E qui appartiennent à A ou à B, c’est-à-dire qui appartiennent à au
moins l’un des deux ensembles A ou B.
Attention : en mathématiques, le « ou »est toujours inclusif, on a A ∩ B ⊂ A ∪ B.
4
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Seconde
E
A
B
A∪B
Exemples : Déterminer, en utilisant une représentation graphique, les ensembles suivants :
• I = [−3; 2[∪[1; 5]
b
b
−3
b
0
1
b
b
2
5
I = [−3; 5]
• J = [−5; 2[∪[3; +∞[
b
b
−5
0
b
1
b
2
b
3
J n’est pas un intervalle, on ne peut pas simplifier son écriture.
Remarque La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
5