DM 2 Ellipsométrie

Electromagnétisme
L3 Phytem - Module LP353
Année 2016-2017
Ellipsomètre à annulation
Devoir à la maison, à rendre le jeudi 5 janvier 2017.
Il est rappelé qu’une écriture lisible et une présentation claire ont un effet favorable sur
l’humeur des correcteurs. Les applications numériques sont importantes pour comprendre les
phénomènes. Elles comptent pour une partie significative de la note. Les vecteurs sont notés en
gras pour améliorer la lisibilité de l’énoncé. Mais sur votre copie, ils doivent figurer avec une
flèche.
L’ellipsométrie est une méthode de caractérisation optique non destructive de couches minces,
qui permet de réaliser des mesures in situ. En général, on cherche à déterminer l’indice et l’épaisseur des couches. Sa sensibilité est telle qu’il est possible, par exemple, de suivre la croissance
d’une couche en temps réel. Le principe de mesure repose sur le changement de l’état de polarisation de la lumière après réflexion sur la surface à caractériser. L’échantillon peut être un
substrat simple ou un système multi-couche complexe. Les dispositifs commercialisés sont en
général des ellipsomètres à modulation qui se prêtent bien à l’automatisation. Ici, nous allons
étudier le principe de l’ellipsomètre à annulation dont le principe reste assez proche.
1
Présentation
Un ellispomètre à annulation est constitué d’un bras source qui envoie une onde plane monochromatique avec une incidence oblique sur la surface de l’échantillon, et d’un bras de détection
qui collecte l’onde réfléchie. L’angle d’incidence, θi , mesuré par rapport à la normale à l’échantillon est souvent grand, typiquement θi = 60 − 70◦ . Le bras source est composé d’une source
lumineuse non polarisée, suivie d’un polariseur, puis d’un compensateur (en général une lame
quart d’onde). Le bras de détection comprend seulement un polariseur, appelé analyseur, et un
photo-détecteur.
L’échantillon peut être constitué d’une superposition de différentes couches d’indice et d’épaisseur différents. On cherche à en obtenir des informations à partir des coefficients de Fresnel de
sa surface rs et rp . En général, on s’intéresse plutôt à leur rapport :
ρ=
rp
= tan Ψ ei∆
rs
1
où ∆ est un nombre réel et où tan Ψ est une quantité positive égale au rapport des modules
de rp et rs . L’objectif d’une mesure ellipsométrique est d’obtenir ∆ et Ψ, appelés paramètres
ellipsométriques.
1. Faire un schéma du dispositif en précisant l’état de polarisation de la lumière après chaque
élément, sachant que le compensateur est, pour l’instant, orienté de manière quelconque.
2. Les polarisations p (parallèle) et s (orthogonale) sont définies par rapport au plan d’incidence. Comment est défini le plan d’incidence ?
3. Supposons que le compensateur soit une lame demi-onde. Quel est l’état de polarisation
de l’onde incidente dans le bras source, après son passage dans le compensateur ?
Le principe de l’ellipsométrie est, au contraire, d’utiliser une onde elliptique et de mesurer
le changement d’ellipticité de l’onde réfléchie. Dans l’ellipsomètre à annulation, le compensateur sert à “compenser” l’influence de l’échantillon, de sorte que l’onde réfléchie par
l’échantillon soit linéaire. L’analyseur permet ensuite d’identifier l’orientation de cette polarisation linéaire. Le compensateur est souvent une lame quart d’onde, dont l’orientation
est repérée par l’angle entre son axe optique et le plan d’incidence.
4. Quelle est la définition générale de l’axe optique ? À quoi correspond-il pour une lame
quart d’onde ?
5. Indiquer les polarisations des champs D, E et B des ondes ordinaire et extra-ordinaire
pour une lame quart d’onde éclairée en incidence oblique.
6. Ici, la lame quart d’onde est utilisée en incidence normale, expliquer pourquoi les rayons
ordinaire et extraordinaire sont confondus.
2
Approche théorique
Nous allons calculer étape par étape l’expression du champ électrique au travers de l’ellipsomètre. Les notations sont précisées sur la figure 1. L’axe z correspond à la direction de
propagation de l’onde incidente. Les axes x et y sont liés à la surface de l’échantillon, avec y
dans le plan d’incidence. Les axes X et Y sont parallèles aux axes propres de la lame quart
d’onde. L’angle entre X et x est noté Q. L’angle entre la direction du polariseur et x est noté
P.
1. Quel est l’angle entre la direction du polariseur et X ? Donner l’expression du champ
électrique après son passage dans le polariseur.
2. Quel est le déphasage induit par une lame quart d’onde ? Écrire l’expression du champ
électrique après son passage dans la lame quart d’onde en prenant son axe rapide selon la
direction Y.
3. Ensuite, il faut passer dans le système d’axe lié à l’échantillon. Donner l’expression de X
et Y en fonction de x et y.
4. Ecrire l’expression du champ électrique après réflexion sur l’échantillon.
5. Dans la pratique, on fixe Q = π/4 et on cherche la position du polariseur qui permet
d’obtenir une polarisation linéaire après l’échantillon. Montrer que le champ électrique
s’écrit :
E ∝ e−i(P −Q) rs x + ei(P −Q) rp y
6. Proposer une des valeurs de P qui permet d’obtenir une polarisation linéaire après l’échantillon. Elle donne accès à ∆.
2
y
P
x
y X
Q
z
x
Y
qi
z
Echantillon
Figure 1 – Notations pour les axes et les angles du bras source de l’ellipsomètre.
7. L’analyseur est un polariseur (d’angle A par rapport à x) qui permet de trouver l’orientation de l’onde réfléchie par l’échantillon et polarisée linéairement. Comment procède-t-on
dans la pratique ? Pourquoi ce dispositif est-il appelé ellipsomètre à annulation ?
8. Que vaut Ψ ?
3
Mise en pratique
En fait, un seul couple (P ,A) ne permet pas de remonter à ∆ et Ψ. Pour lever l’indétermination, il suffit de placer la lame quart d’onde à l’angle Q = −π/4 et de trouver un nouveau
couple (P ,A) qui conduit à l’annulation. Une fois que ∆ et Ψ ont été obtenus, il faut remonter aux paramètres physiques de l’échantillon. En général, c’est très compliqué et il y a trop
d’inconnues, donc on réalise la mesure de ∆ et Ψ pour plusieurs longueurs d’onde et plusieurs
angles d’incidence et on ajuste les paramètres avec une simulation numérique. Dans le cas le
plus simple d’une couche semi-infinie (ie. un substrat nu), il est possible d’obtenir un résultat
analytique. C’est l’objet des questions suivantes.
1. On considère une couche semi-infinie d’un matériau linéaire, homogène, isotrope, non magnétique et non absorbant, d’indice de réfraction noté n qu’il s’agit de déterminer. La
mesure s’effectue dans l’air. Existe-t-il un angle critique ? Que vaut ∆ ? Quelle est l’expression de tan Ψ ?
On donne :
rs =
rp =
n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
n2 cos θi − n1 cos θt
n2 cos θi + n1 cos θt
(1)
(2)
où n1 et n2 sont les indices des milieux où se propagent les ondes incidente et transmise
et où θt est l’angle du rayon transmis, mesuré par rapport à la normale à la surface.
2. Maintenant, il faut inverser l’expression pour obtenir n en fonction de θi et tan Ψ. En
utilisant la loi de Snell-Descartes et les expressions de rp et rs , montrer que
(
1 − tan Ψ
1 + tan Ψ
)2
=
3
n2 cos2 θt
tan2 θi sin2 θi
3. En déduire que
(
2
2
2
2
n = sin θi + sin θi tan θi
1 − tan Ψ
1 + tan Ψ
)2
4. Application numérique : on considère comme échantillon la surface d’un substrat plan de
saphir, et on choisit pour angle d’incidence θi = 60◦ . On constate qu’à la longueur d’onde
de 2 µm Ψ est proche de zéro. En déduire la valeur de n à cette longueur d’onde ?
⋆⋆⋆
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