Etude cinématique Mouvement de rotation

Etude cinématique
Mouvement de rotation
Le mouvement des satellites et l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique
constitueront des applications importantes du mouvement circulaire.
I/ Grandeurs cinématiques associées au mouvement circulaire:
On considère le mouvement d'un point mobile M dans un référentiel (R ).
Le point mobile M a un mouvement circulaire lorsqu'il se déplace sur un cercle fixe, de centre O, et
de rayon R.
1) Repérage d'un point mobile:
a) Abscisse curviligne :
Soit M0 un point quelconque choisi sur le cercle trajectoire.
On oriente la trajectoire dans un sens arbitraire.
La position du mobile est repérée par son abscisse curviligne :
s(t) = arc algébrique M0M
b) Abscisse angulaire :
On peut aussi repérer la position du mobile sur le cercle trajectoire
par la donnée de l'angle θ(t) orienté au centre du cercle :
c) Relation entre abscisse curviligne et abscisse angulaire :
Il existe une relation géométrique simple entre abscisse curviligne et abscisse angulaire :
2) Vitesse linéaire et vitesse angulaire:
a) Vitesse linéaire :
Le vecteur vitesse est défini d'une façon générale par :
VM
Où Test le vecteur unitaire tangent au cercle trajectoire au point où se trouve le mobile à l'instant de date t
et dirigé dans le sens arbitraire choisi pour orienter la trajectoire.
T est le premier vecteur d'un repère particulier d'origine M (qui évolue au cours du temps) qu'on appelle
repère de Frénet.
b) Vitesse angulaire :
La mesure algébrique de la vitesse (dont le signe dépend du choix d'orientation de la trajectoire)
s'exprime en m.s−1 :
On appelle vitesse angulaire qu'on désigne par ω(t) la mesure algébrique qui s'exprime en rad.s−1
(en °.s−1 ou en tr.s−1) :
3) Vecteur accélération:
a) Définition cinématique :
Par définition, le vecteur accélération est le taux de variation instantanée du vecteur vitesse :
b) expression dans le repère de Frénet :
Comme
on montre que (et nous admettrons) :
Où N est le vecteur unitaire normal centripète (tourné vers le centre du cercle trajectoire).
Comme :
on peut aussi écrire :
Accélération tangentielle : aT
aN : Accélération normale
Notation
𝜽 : Abscisse angulaire ( rad )
𝜽=
𝜽=
𝒅𝜽
𝒅𝒕
𝒅𝜽
𝒅𝒕
: vitesse angulaire ( rad.s-1 )
=
𝒅𝟐 𝜽
𝒅𝒕𝟐
: accélération angulaire ( rad.s-1 )
Remarque : Dans le cas d’un mouvement circulaire uniformément varié
l’équation indépendante du temps entre deux dates finale et initiale s’écrit :
𝜽𝟐𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 - 𝜽𝟐𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆 = 2𝜽( 𝜽𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 - 𝜽𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆 )