THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

Paris 7
PH 443
–
THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN,
t0 = samedi 14 septembre , 8 h 30
∆t = 3 heures
Seront appréciés : les dessins illustratifs et les commentaires pertinents, mais brefs, en particulier sur
le caractère prévisible (a posteriori !) de certains résultats, et les méthodes de vérification.
Les erreurs de dimension sont impardonnables.
I – TRANSFORMATION SPÉCIALE DE LORENTZ (1 pt)
~ par rapport à Leia toute aussi inerte. Ils sont tombés d’accord pour
Luke, inerte, a une vitesse β
utiliser des coordonnées en configuration standard, Leia choisissant son axe x̂ selon la vitesse de Luke.
Soit un événement quelconque. Quelles sont les relations entre ses coordonnées (t, x, y, z) pour Leia et
(t0 , x0 , y 0 , z 0 ) pour Luke ?
II – UN PARADOXE (2 pts)
Luke est dans son vaisseau, à la dérive, qui se dirige vers son hangar d’entretien à l’entrée duquel se
tient Leia. Le hangar a bien entendu la longueur du vaisseau lorsque celui-ci s’y trouve au repos.
Leia ferme la porte d’entrée du hangar lorsque l’arrière du vaisseau franchit cette entrée, en se disant
que, comme chacun sait, la relativité “contracte les longueurs”, et donc que l’avant du vaisseau ne
touche pas encore le fond du hangar. Mais pour Luke aussi, la relativité contracte les longueurs,
en particulier celle du hangar, et donc la longueur de son vaisseau excède cette dernière (avec les
conséquences catastrophiques que l’on peut imaginer).
Discutez et débrouillez cette contradiction au moyen d’un graphe d’espace-temps, dans le repère de
Leia par exemple, sur lequel vous représenterez les lignes d’univers de l’entrée et du fond du hangar,
de l’avant et de l’arrière du vaisseau, et les événements que vous jugez notables.
III – “CINÉMATIQUE” (4,5 pts)
1. Rappelez la définition de la quadri-impulsion d’une particule de masse m dont la ligne d’univers est
donnée.
2. Quelle est l’utilité de cette notion ?
3. Rappelez les identités remarquables que vérifient l’énergie e et l’impulsion ~p d’une particule.
4. Qu’impliquent ces identités dans le cas d’une particule qui a la propriété |~p| = e ?
5. Leia observe un photon d’énergie e dont l’impulsion fait un angle ϑ par rapport à son axe x̂. Luke
observe ce même photon.
i ) Quelle est, pour Luke, l’énergie e0 de ce même photon ?
ii ) Toujours pour Luke, calculer le cosinus de l’angle ϑ0 de l’impulsion du photon avec l’axe x̂0 .
iii ) Discuter les cas ϑ = 0, ϑ = π/2, et leurs limites à basse vitesse.
6. Leia souhaite réaliser la réaction de photoproduction du pion γ + p → p + π 0 sur une cible de protons
immobiles (de l’hydrogène liquide par exemple). La masse du proton est M ≈ 938,3 Mev et celle du π 0 ,
m ≈ 135,0 Mev. Calculer l’énergie que doit avoir le photon au seuil de production du π 0 .
IV – TRANSFORMATION DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE (2,5 pts)
1. Rappeler la définition du tenseur Fµν du champ électromagnétique en termes du quadripotentiel.
2. En déduire les expressions des composantes F µν en fonction des composantes des champs électrique
et magnétique.
3. En déduire les relations donnant les composantes des champs électrique et magnétique, observés par
Luke en un événement, en fonction des composantes observées par Leia au même événement.
−
→
4. Dans une zone où, pour Leia, ne règne qu’un champ électrique E uniforme et constant, parallèle à la
vitesse de Luke, quels sont les champs électrique et magnétique observés par Luke ?
2
Champs classiques, PH443 Paris 7
V – MOUVEMENT D’UNE CHARGE ÉLECTRIQUE (1,5 pts)
1. Rappelez les équations du mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique F µν .
2. Dans la zone de champ électrique uniforme et constant précitée, Leia observe une particule de charge q,
masse m.
i ) Calculez les valeurs des composantes de la quadri-accélération de cette particule lorsque sa vitesse ~v
est parallèle au champ électrique.
ii ) En déduire la valeur de l’accélération propre de la charge.
iii ) Commentaires ?
VI – CHAMP CRÉÉ PAR UNE CHARGE (3 pts)
Une charge positive se meut librement à la vitesse de 150 000 km s−1 , puis est soudainement réfléchie
dans la direction opposée avec la même vitesse. A l’instant 6 × 10−9 s après la réflexion, représenter
qualitativement :
i ) la zone où le champ électromagnétique est du type rayonnement,
ii ) les lignes de champ électrique,
iii ) les lignes de champ magnétique.
VII – RAYONNEMENT (2 pts)
Soit, dans la vie d’une charge ponctuelle accélérée, un événement où sa vitesse est nulle.
1. Rappelez les expressions des champs électrique et magnétique rayonnés par cet événement, en précisant
soigneusement la signification des symboles utilisés dans vos formules.
2. En déduire le vecteur de Poynting du champ.
3. En déduire la puissance (ou taux de Larmor R) rayonnée par cet événement.
VIII – RÉFLEXION D’UNE CHARGE PAR UN CHAMP ÉLECTRIQUE (3,5 pts)
Une particule de masse m, charge q, est abandonnée sans vitesse initiale dans une zone de champ
−
→
électrique E uniforme et constant. Sans être obligé de faire simple, on peut néanmoins choisir l’axe x̂
selon ce champ.
1. Que pouvez-vous dire tout d’abord du mouvement de la charge, sans aucun calcul, mais avec des
arguments convaincants ?
2. Ecrire les équations du mouvement des composantes p0 et p1 de la quadri-impulsion de la charge.
3. En déduire que la quantité p0 − qEx est une constante du mouvement dont vous calculerez la valeur
si on choisit l’événement abandon comme origine.
4. Reste à intégrer effectivement les équations du mouvement. Pour cela, on peut trouver commode de
df
df
commencer par poser : a = qE/m et ϕ = arg th v.
i ) Exprimer p0 et p1 en fonction de ϕ.
ii ) A l’aide des équations du mouvement, déterminer dϕ/dτ puis, par intégration, ϕ(τ ) en choisissant
encore l’événement abandon comme origine du temps propre τ de la charge.
iii ) En déduire les expressions de dt/dτ et dx/dτ en fonctions de τ puis, par intégration, les expressions
de at(τ ) et ax(τ ).
iv ) En déduire l’expression de ax(t). Commentaires ?
v ) Déterminer l’expression de aτ en fonction du rapport p0 /m de l’énergie et de la masse de la
particule.
5. Une particule chargée est dirigée, sous incidence normale, vers un système de deux grilles conductrices,
parallèles, auxquelles est appliquée une différence de potentiel constante.
i ) A quelles conditions (signe de la d.d.p., distance entre les grilles et valeur de la d.d.p.) la particule
est-elle réfléchie par ce système ?
ii ) Quelle est, dans ces conditions, la profondeur de pénétration de la particule dans la zone entre les
deux grilles ?
iii ) Quelle est la durée propre du séjour de la particule entre les deux grilles ?
iv ) Quelle est l’énergie totale rayonnée au cours de la réflexion ?