´Etude du mouvement d`une particule chargée dans un champs
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Étude du mouvement d’une particule chargée dans un champs électromagnétique MPSI 16 juin 2008 Table des matières 1 Force de Lorentz 1.1 Champs électrique, champs magnétique . . . . . . . . . . . . . 1.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Invarience relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 Mouvement d’une particule chargé dans trique 2.1 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Focalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Canon à électrons . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 un champs élec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Étude du mouvement d’une particule chargée dans un champs magnétique 6 1 Chapitre 1 Force de Lorentz 1.1 Champs électrique, champs magnétique Définition 1 A chaque fois qu’on détecte une difference de potentiel entre deux points de l’espace, on introduit une grandeur vectorielle, appelé champs → − électrique, notée E , d’unité Volt/metre Définition 2 Un aimant ou un circuit parcouru par un courant peux avoir une action sur une boussole. On modélise cette action par un champs ma→ − gnétique, notée B , d’unité le Tesla. 1.2 Force de Lorentz Définition 3 Soit M(m,q) une particule chargée observé dans le référentiel R galiléen. → − → − Si M est plongée dans la zone d’action d’un champs électromagnétique ( E , B ), elle subit la force de Lorentz : → − → − − → − F l = q( E + → v (M )R ∧ B ) 1.3 Invarience relativiste − → → − Propriété 1 On peut définir un référentiel R’ dans lequel E 0 = 0 . → − → − On obtient donc que le champs E et B ne suffisent pas, on prend donc en → − → − compte le couple : ( E , B ). 2 Propriété 2 Dans l’étude des particules élementaires, on néglige l’influence de son poids. 3 Chapitre 2 Mouvement d’une particule chargé dans un champs électrique 2.1 Trajectoire Soit M(m,e− ) un électron assimilé à un point materiel observé dans R galiléen. On obtient, par application du P.F.D, l’équation horaire : y(x) = e.E 2 .x m.v02 La trajectoire est donc une parabole. 2.2 Focalisation Considérons un faisceau de particules chargées passant dans la zone d’ac→ − → − → − → − − tion de E = E. i , avec un vecteur vitesse → v 0 = v0 .cos(α). i + v0 .sin(α). j , on obtient : −EC y(t) x(y) = .y(t)2 + 2 2.m.(v0 .sin(α)) tan(α) On obtient la porté maximale, pour x(y) = 0 et y 6= 0 : m.v02 .sin(2α) e.E π La portée est maximale pour α = . Pour des angles proche de α, le faisceau 4 focalise toujours en yp . yp = 4 2.3 Canon à électrons Définition 4 Pour émettre des électrons, on chauffe un filament et on impose aux électrons de passer par des petites ouvertures. Les électrons sont arrachés au filament. Soit B le point d’entré dans la phase d’accélération, A le point de sortie. On obtient : dEcB→A = q(VB − VA ) En négligant la diffraction en A (λdB = h d, avec d diamètre de l’ouverp ture), on obtient : → − v0= r 2.e.UAB → − .i m 5 Chapitre 3 Étude du mouvement d’une particule chargée dans un champs magnétique Propriété 3 Par application du P.F.D, on montre qu’un champs magnétique ne peux pas modifier la norme de la vitesse, mais elle peux modifier la trajectoire de la particule. Propriété 4 Si v0 est perpendiculaire à B, la trajectoire de M(m,q) est circulaire uniforme. Propriété 5 Si v0 est quelconque, la trajectoire de M(m,q) est hélicoidale uniforme. 6 Chapitre 4 Mouvement d’une particule dans un champs électromagnétique Propriété 6 Soit M(m,q) une particule chargée placée à l’origine d’un référentiel galiléen, sans viteses initiale. Par application du P.F.D. et de la méthode de résolution des équations couplées, on obtient que la trajectoire de M est une cycloı̈de. Propriété 7 Sachant que : − → → − − → − E0 = E + → u ∧B − → avec E 0 le champs électrique dans un référentiel R’. E → − − En posant → u = . j , on obtient que dans le référentielle R’ en translation B − uniforme par rapport à R de vecteur → u. 7
