Feuille d'exercices : Condensateurs - Magnétostatique P Colin 2016/2017 Formulaire d'analyse vectorielle coordonnées cylindro-polaires : −−→ 1 ∂f ∂f ∂f u~r + u~θ + u~z gradf = ∂r r ∂θ ∂z ~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az divA r ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂Az ∂Aθ ∂Ar ∂Az 1 ∂ ∂Ar −→ ~ rot(A) = − u~r + − u~θ + (rAθ ) − u~z r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂θ 1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂2f ∆f = r + 2 2 + 2 r ∂r ∂r r ∂θ ∂z Coordonnées sphériques : −−→ 1 ∂f 1 ∂f ∂f u~r + u~θ + u~ϕ gradf = ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Aϕ (r Ar ) + (sin θAθ ) + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂ ∂Aθ 1 ∂Ar 1 ∂ 1 ∂ ∂Ar −→ ~ rot(A) = (sin θAϕ ) − u~r + − (rAϕ ) u~θ + (rAθ ) − u~ϕ r sin θ ∂θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂θ ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2f 1 ∂ ∆f = 2 r2 + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 ~= divA 1 1 Équilibre électrostatique d'un cylindre en rotation a Un long cylindre neutre conducteur de rayon axe Oz vertical, avec la vitesse angulaire ω. est en rotation uniforme autour de son Les charges libres sont des électrons de masse m. 1. Écrire la relation traduisant léquilibre d'un électron à la distance r de l'axe, dans le référentiel tournant avec le cylindre. U entre l'axe du cylindre et sa périphérie. m = 9, 1 10−31 kg, rotation de 100 tours/seconde ; R = 10 2. Calculer la diérence de potentiel Application numérique : cm ; U =? 3. Calculer la densité volumique de charge dans le disque, à la distance Calculer la densité surfacique σ r de l'axe. présente sur la face externe du cylindre. Que vaut le champ électrique à l'extérieur du cylindre ? Relier σ à la discontinuité du champ. 2 Charges et potentiels de sphères concentriques Une boule conductrice S1 de rayon de rayon extérieur R3 sont concentriques et potentiel, V2 Q2 R1 est placée dans une autre boule conductrice S2 R2 . Les trois sphères Q1 la charge de la sphère S1 et V1 son Q3 la charge de la face externe de S2 , et et comportant une cavité sphérique de rayon R1 < R2 < R3 . On note la charge de la face interne de S2 , le potentiel de S2 . 1. Quelle relation a-t-on entre Q1 et Q2 ? En utilisant le théorème de Gauss, détermi- ner le champ à l'extérieur du système (r > R3 ) et en déduire l'expression de Déterminer de même le champ entre les conducteurs et l'expression de 2. On charge S1 avec une charge totale Q0 puis on la place dans S2 V2 . V1 . neutre et élec- triquement isolée. Déterminer les charges de chacune des faces et les potentiels des conducteurs. 3. À partir de la situation précédente, on relie les deux conducteurs par un l. Déterminer la nouvelle répartition des charges et les nouveaux potentiels. 4. On impose V1 = 0 et V2 donné. Déterminer les charges de chacune des faces. 3 Condensateur plan comprenant un bloc métallique Un condensateur plan de surface S et d'épaisseur e a une capacité C . On intercale entre les deux plaques du condensateur un bloc de métal plan initialement neutre, d'épaisseur d<e et de même surface S. On néglige les eets de bord. 1. Calculer directement la nouvelle capacité C0 du système. 2. Retrouver le résultat en appliquant la loi d'association des condensateurs. 2 4 Microphone à condensateur Un microphone-condensateur est constitué de deux armatures conductrices planes, de surface S, l'une P1 xe, l'autre P2 pouvant se déplacer légèrement dans la direction Ox perpendiculairement à son plan sous l'eet d'une onde sonore. À tension constante P1 et P2 , Q0 lorsque la distance entre P1 U0 = 400 V, e = 3.10−2 mm et S = 15 cm2 . la charge est suivantes : 1. Calculer la capacité C0 et la charge P2 est e. U0 entre On donne les valeurs Q0 . 2. Le condensateur étant seul, on déplace q. et P2 de xe et on augmente la charge Q0 de Comment sont modiées la capacité et la tension entre les armatures ? 5 Condensateur cylindrique modié Un condensateur à symétrie cylindrique est constitué de trois surfaces cylindriques R1 vaut h ; R2 et R3 (R1 < R2 < R3 ). coaxiales de rayons respectifs , La hauteur des trois armatures est la même et elle est grande devant le rayon de l'armature externe. Un l conducteur relie l'armature interne (1) et l'armature externe (3). 1. Exprimer le champ électrique en fonction des données du problèmes. On pourra introduire des charges portées par les armatures. 2. Dénir et déterminer la capacité du condensateur ainsi formé. Commenter. 6 Courant surfacique - discontinuité du champ magnétique 1. On considère une distribution volumique de courants, uniforme, passant parallèle- z = a et z = −a. le vecteur densité volumique → − → − → − − j = j0 → u x pour |z| < a et j = 0 pour |z| > a. ment à Ox entre les deux plans courant est donc donné par de (a) Analyser les symétries de la distribution de courant et en déduire en tout point de l'espace la direction du champ magnétique créé. (b) Analyser les invariances du problème. (c) Comparer les champs magnétiques en deux points symétriques par rapport à xOy . 2. Déterminer l'expression du champ magnétique en tout point de l'espace. a devient très petite en maintenant le produit j0 a constant. continuité du champ magnétique à la traversée du plan z = 0 3. On suppose que l'épaisseur Que peut-on dire de la où se localisent les courants ? 7 Champ magnétique créé par un cylindre chargé en rotation a uniformément chargé en volume avec une densité ρ, en rotation autour de son axe avec la vitesse angulaire ω constante. Le cylindre On considère un cylindre de rayon volumique est inniment long. 3 1. À partir de considérations de symétrie, prévoir la direction du champ magnétique créé et les variables dont il dépend. 2. Exprimer le vecteur densité volumique de courant. 3. En prenant le champ nul à une distance innie de l'axe, déterminer le champ magnétique en tout point. 8 Champ magnétique dans une cavité Un conducteur rectiligne inni, parcouru par un courant I uniformément réparti dans sa section, est formé de l'espace compris entre deux cylindres de rayons R et R0 (R0 > R), d'axes parallèles mais non confondus. Calculer le champ magnétique créé dans la cavité de rayon R. 9 Densité de courant donnant un champ donné On considère en coordonnées cylindriques un champ magnétique d'expression : 3 − → − uθ 0 ≤ r ≤ a B = B0 ar exp − ar → → − − 2B0 a → a≤r B = r uθ 1. Déterminer la densité volumique de courant en tout point de l'espace. 2. Montrer qu'il existe en r = a une répartition surfacique de courant et donner l'inten- sité du courant correspondant. 4