3ème - Trigonométrie dans le triangle rectangle Correction d

3ème - Trigonométrie dans le triangle rectangle
Correction d’exercices type brevet - Page 232
Exercice 64
1. a) Construction
b) Le triangle SKI est un triangle rectangle en S,
donc d’après le théorème de Pythagore :
IK 2 = SI 2 + SK 2
10, 42 = SI 2 + 9, 62
SI 2 = 10, 42 9, 62
SI 2 = 108, 16 92, 16
SI 2 =p16
SI = 16
SI = 4 cm
2. Le triangle SKI est rectangle
◆ en S, donc :
✓
SK
adj
d
cos(IKS) =
=
IK
hyp
9, 6
d
cos(IKS) =
10,
✓4
◆
9, 6
d
IKS = arccos
' 23°
10, 4
Remarque : étant donné que l’on a les trois longueurs, on peut choisir le cosinus, le sinus ou la tangente pour calculer la mesure
d mais comme la longueur SI est une longueur que l’on a calculé, il est préférable d’utiliser les autres longueurs
de l’angle IKS,
dont on est sûre.
Exercice 65
1 - Le triangle CDB est un triangle rectangle en D, donc :
d = BD
cos(CBD)
BC
4
cos(60°) =
BC
cos(60°)
4
=
1
BC
4⇥1
BC =
= 8.
BC = 8cm
cos(60°)
2 - Deux méthodes : la trigonométrie ou le théorème de Pythagore.
Si l’on utilise le théorème de Pythagore :
Le triangle BCD est un triangle rectangle en D,
donc d’après le théorème de Pythagore :
BC 2 = BD2 + CD2
82 = 42 + CD2
64 = 16 + CD2
CD2 = 64 16
CD2 =p48
CD = 48
CD ' 6, 9
CD ' 6, 9cm
3 - Le triangle ABC est un triangle rectangle en B,
donc d’après le théorème de Pythagore :
AC 2 = BA2 + BC 2
AC 2 = 62 + 82
AC 2 = 36 + 64
AC 2 =p100
AC = 100
AC = 10
AC = 10 cm
d = BC
4 - a) Le triangle ABC est rectangle en B, donc on a : tan(BAC)
AB
d =8=4
donc tan(BAC)
6 ✓3 ◆
4
d
b) d’où BAC = arctan
3
d
d
BAC ' 53, 1
BAC ' 53°
Exercice 66
On commence par reporter les longueurs données sur la figure.
La difficulté de cet exercice est de savoir dans quel triangle il faut se placer.
1) a) Le triangle M N P est rectangle en P :
PN
tan(Pd
MN) =
Pp
M
2 3
d
tan(P M N ) =
6
p !
2 3
d
b) P M N = arctan
= 30°
6
c) Le triangle M RS est rectangle en S :
dS) = RS
sin(RM
RM
RS
sin(30°) =
5
sin(30°)
RS
=
1
5
5 ⇥ (sin 30°)
RS =
= 2, 5 cm
1
2 - Le triangle M RS est rectangle en S :
dS) = M S
cos(RM
MR
MS
cos(30°) =
5
cos(30°)
MS
=
1
5
5 ⇥ cos(30°)
MS =
' 4, 3 cm
1
Exercice 67
Sera traité dans le chapitre géométrie dans l’espace.
Exercice 68
On commence par faire une figure et en reportant les longueurs données dans
l’énoncé.
1) RF = F S
RS = 18
1, 5 = 16, 5 m
2) On veut savoir si l’échelle est assez longue dans cette configuration, c’est à
dire si P F  25 m. Calculons la longueur P F .
Le triangle F P R est rectangle en R,
donc d’après le théorème de Pythagore :
P F 2 = RP 2 + RF 2
P F 2 = 102 + 16, 52
P F 2 = 100 + 272, 25
P F 2 =p372, 25
P F = 372, 25
P F ' 19, 3 m
Il ne faut pas oublier de conclure :
Dans cette position, le pied du camion est situé à environ 19,3 m de la
fenêtre. Donc l’échelle, dont la longueur maximale est de 25 m, sera assez
longue pour atteindre la fenêtre.
3) Le triangle F P R est rectangle en R :
FR
tan(Fd
P R) =
RP
16, 5
tan(Fd
P R) =
10
✓
◆
16, 5
d
F P R = arctan
' 59°
10
Donc l’échelle fait un angle d’environ 59° avec l’horizontale.