Chapitre 6 : Les probabilités Objectifs : *Connaitre les propriétés des probabilités conditionnelles * Connaitre la propriété des probabilités totales *Savoir rédiger et utiliser un tableau ou un arbre de probabilité Concrètement : * Le théorème de Bayes basée sur les probabilités conditionnelles permet à partir d’observation d’obtenir des calculs probabilistes. Il est souvent utiliser par exemple pour étudier la défaillance de crédits bancaires. Exercices : Indice TES 2012 Bordas Activité 1p148+3p149 Remarque : E désigne l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. I. Probabilité conditionnelle Définition : Soient A et B deux évènements de l’ensemble E, A étant de probabilité non nulle (p(A) 0). La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté . Propriétés : Soient deux évènements tels que p(A) 0. Alors : 0 pA(B) 1 ; pA(B)+ pA( )=1 Dans une situation d’équiprobabilité : éé éé . Propriétés : p(A B) peut se calculer de deux façons : i) ii) avec p(A) 0. avec p(B) 0. II. Représentation des probabilités 1.Tableau Voici comment l’on peut représenter une situation de probabilité dans un tableau. Total Total 1 Pour trouver alors les probabilités conditionnelles, on utilisera la définition. 2.Arbre Voici comment l’on peut représenter une situation de probabilité dans un arbre. Remarque : i) La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1. ii) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement Exercices : Indice TES 2012 Bordas 1,4,7,10,11,12,14p155+21,26,27,37p157+38p18 Exercices supplémentaires : Indice TES 2012 Bordas 2,3,5,6,8,9,13,15,16,17,18,19p155+20,22,23,24,25,28,29,30,31,32,33,34,35,36p157+39,40,41, 42,43p158 II. Probabilités Totales Propriété : Soit un événement A, réunion d’événements A1,A2,…An, deux à deux incompatibles. Pour tout événement B, on a p(B)=p(A1 B)+ p(A2 B)+… p(An B) c’est-à-dire : p(B)= p(A1) pA1(B)+ p(A2) pA2(B)+…+ p(An) pAn(B) où A1,A2,…An sont des événements de probabilités non nulle. Cas particulier : Soient A et B deux évènements, A étant de probabilité non nulle (p(A) 0). alors p(B)=p(A B)+ p( B) c’est-à-dire p(B)= p(A) pA(B)+ p( ) Exercices : Indice TES 2012 Bordas 45p159+49p160+79p166+81p167+sujetA ,Bp169+sujetCp170 (B) Exercices supplémentaires : Indice TES 2012 Bordas 44,46,47,48p159+50,51,52,53,54,55,56p160+p161,162,163+74,75,76,77,78p166+82p167+p168 +83,84,85,86p170