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Fiche Physique - Chiffres significatifs et présentation d’un résultat scientifique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Chiffres significatifs et présentation d’un résultat scientifique
Les chiffres significatifs sont, dans un résultat numérique, les chiffres « qui ont un sens ». En effet, un calcul
« pur » avec une calculatrice peut vous donner 75 chiffres après la virgule, mais quel sens accorder à ceux-ci quand
on cherche par exemple la taille d’une personne ou le poids d’un objet ? Nous allons voir le lien entre les chiffres
dit significatifs, c’est-à-dire qui ont un sens, et la précision d’un calcul. Nous donnerons quelques règles permettant
de savoir combien de chiffres significatifs il faut retenir à la fin d’un calcul numérique. Enfin, nous expliquerons
comment presenter, de façon générale, un calcul numérique.
I - Chiffres significatifs et précision
La relation entre nombre de chiffres significatifs et précision est simple : plus il y a de chiffres significatifs , plus
la précision est élevée. En effet, le dernier chiffre significatif donne la position du chiffre dont on est le moins sûr
(par défaut et sauf mention contraire d’une unité en plus ou en moins).
Exemple : dire qu’une longueur L est L = 1, 83 m signifie que l’on est sûr du 1, du 8 et que la première incertitude
porte sur le 3 à une unité près. Au final, cette notation signifie que l’on est sûr que la vraie longueur sera comprise
dans [1, 82 m; 1; 84 m]. On note aussi (et on le redira plus tard) L = (1, 83 +
− 0, 01) m.
Le « début du doute » est donc sur le dernier chiffre significatif qui est donc celui de l’imprécision. Le corollaire
est que s’intéresser à un chiffre situé au delà n’a aucun sens puisque l’on n’est déjà pas certain du dernier chiffre
significatif !
La présentation d’un résultat numérique s’arrête avec le premier chiffre incertain
qui est aussi le dernier chiffre significatif .
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Un chiffre est dit significatif s’il est soit différent de zéro, ou si c’est un zéro situé à droite d’un chiffre
significatif. Autrement dit, tous les chiffres qui ne sont pas des « zéros à gauche » sont significatifs. On notera pour
aller plus rapidement CS pour chiffre significatif . Par exemple :
• 0,14 possède 2 CS
• 1,8 possède 2 CS
• 1,02 possède 3 CS
• 1,80 possède 3 CS
• 3,4010 possède 5 CS
• 0,00701 possède 3 CS
• 10−3 possède 1 CS car il est sous entendu 1.10−3
La nuance entre 1,8 et 1,80 est importante : cela signifie dans le second cas que notre incertitude porte sur
la deuxième décimale, donc que l’on a a priori une valeur réelle comprise entre 1,79 et 1,81. Dans le premier cas,
l’incertitude porte sur le 8, donc la valeur réelle est comprise entre 1,7 et 1,9 ce qui est bien moins précis. Les zéros
à droite jouent donc un rôle très important !
Exceptions :
• les nombres entiers apparaissant dans une formule, les constantes mathématiques ont un nombre infini de
chiffres significatifs : 2, π, e, ln 3.
• de même pour les constantes fondamentales : c0 , µ0 , ε0 , etc. à l’exception du nombre d’Avogadro car c’est
une constante dont on ne connaît pas toutes les décimales.
Maintenant que l’on sait ce qu’est un chiffre significatif , on va voir comment les opérations entre résultats
numériques fixent le nombre de chiffres significatifs du résultat final.
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Fiche Physique - Chiffres significatifs et présentation d’un résultat scientifique
II - Règles fixant le nombre de chiffres significatifs
A.
Principe et règles
L’objectif recherché est assez simple : on veut qu’en effectuant des opérations entre résultats numériques entachés
d’incertitudes, on puisse connaître l’incertitude finale. Cela est un domaine compliqué qui nous renverra plus loin
au problème des mesures et des calculs d’erreurs et incertitudes. Pour le moment, on retiendra les quelques règles
simples suivantes :
• Lorsque l’on multiplie ou divise des nombres, le résultat présente autant de chiffres significatifs que le
facteur qui en possède le moins ;
• lorsque l’on ajoute ou soustrait des nombres, le résultat présente autant de décimales que le terme qui en
possède le moins ;
• lorsque l’on prend une « fonction » d’un nombre, le résultat possède autant de chiffres significatifs que le
nombre de départ ;
• on arrondit au plus proche chiffre, et on arrondit par convention le 5 par excès ;
• on effectue les applications numériques avec les valeurs non arrondies sinon on propage les erreurs dues aux
arrondis ! En pratique, on arrondit seulement à la fin avec le résultat calculé sans arrondis.
Il faut faire très attention au dernier point, notamment au concours : on a tendance souvent à réutiliser la valeur
numérique demandée quelques questions auparavant dans un nouveau calcul alors que celle-ci avait été arrondie.
Du coup on aura rapidement de gros écarts avec les vraies valeurs.
B.
Exemples
Illustrons ces différentes règles, dont la dernière justement, pour bien comprendre :
• Le produit 0,12/3,12 donne à la calculette 0,03846... Or c’est le rapport d’un nombre possédant 2 chiffres
significatifs par un nombre en possédant 3 : le résultat doit être écrit avec 2 chiffres significatifs , ce sera donc
0,038 1 . De même, π × 0, 242 /1, 46 conduit à 0,12, π ayant un nombre infini de chiffres significatifs ;
• la somme 1,60+0,1 conduit à 1,7 (plus petit nombre de décimales) ;
• e1,2 conduit à 3,3 ;
• La grandeur α = 1, 02/2 s’écrit α = 0, 5 par respect du seul chiffre significatif du dénominateur, mais la
« vraie » valeur est 0,51. Si on demande par la suite de calculer β = 0, 5 − α, reprendre le résultat arrondi
précédent conduit à zéro, alors que le calcul complet donne β = 0, 01 qui est la valeur à donner. Il faut donc
faire très attention à conserver les valeurs exactes durant les calculs numériques et non à reprendre les valeurs
successivement arrondies.
Il ne faut pas être surpris le jour du concours par d’éventuelles incohérences : les énoncés en sont souvent
remplis, même si cela s’améliore notablement.
C.
Un résultat simplifiant la vie
Un théorème de statistiques indique qu’un résultat numérique utilisant des résultats eux-mêmes arrondis est
entaché de 5 à 20% d’erreur c’est-à-dire au niveau du deuxième chiffre significatif. Indiquer plus de 2 chiffres
significatifs est donc inutile en réalité si aucune étude sérieuse d’incertitudes n’est effectuée conjointement.
On se limitera au maximum à 2 chiffres significatifs , sauf indication contraire de l’énoncé.
1.
ou encore 3, 8.10−2 en notation scientifique ou 38.10−3 en notation ingénieur comme on le verra plus loin.
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III - Présentation d’un résultat numérique
A.
Notations scientifique et ingénieur
Un résultat numérique peut être présenté de deux façons différentes : la notation scientifique ou la notation
ingénieur.
• Dans la notation scientifique, le résultat numérique est constitué d’un nombre dont la partie entière est
un chiffre compris entre 1 et 9 multiplié par une puissance entière de 10 ;
• dans la notation ingénieur, le résultat numérique est constitué d’un nombre compris entre 1 et 999 et
d’une puissance entière de 10 qui est un multiple de 3. Cette notation est intéressante pour l’emploi d’unités
adaptées.
Par exemple, une longueur L = 12300 m serait représentée par L = 1, 2300.104 m en notation scientifique et
L = 12, 300.103 m = 12, 300 km. Notons qu’il est important de conserver les deux zéros dans chaque notation car
ils sont significatifs. Dans les calculs numériques « de tête », la notation scientifique est particulièrement pratique.
B.
Problème de la valeur nulle
La valeur zéro doit être traitée avec beaucoup de précautions. En effet, on a la convention suivante
Si une valeur est un vrai zéro (c’est-à-dire exactement), alors il n’est pas besoin de préciser l’unité.
Ainsi, écrire pour une tension par exemple U = 0 signifie que cette tension est rigoureusement nulle. C’est très
différent d’écrire U = 0 kV par exemple, qui signifie que l’erreur est sur le dernier chiffre significatif, c’est-à-dire ici
le 0. Cette dernière notation veut donc dire que U 6 0, 1 kV = 100 V, ce qui est nettement assez élevé pour causer
des problèmes... Par conséquent,
On n’écrit jamais qu’une grandeur est à peu près égale à zéro.
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On doit toujours écrire que quelque chose est petit ou grand devant quelque chose, et jamais en tant que tel.
Pour rebondir sur l’exemple précédent, écrire qu’une tension est petite devant une autre régnant dans une centrale
nucléaire permet de se dire qu’elle peut quand même être dangereuse. Si on écrit qu’elle est à peu près nulle à la
place, on prend de gros risques car on ne sait plus de quoi on parle...
C.
Présentation proprement dite
La règle de présentation est très simple : on donne le résultat numérique avec une unité adaptée. Si on a une
incertitude, alors il faut l’indiquer en « plus ou moins » en respectant le même nombre de décimales (pour être en
accord avec la règle sur l’addition vue dans la précédente partie) et en mettant l’unité commune choisie en facteur.
Exemple : on note U = (4, 34 +
− 0, 03) V, ce qui signifie que la valeur estimée est 4,34 volts à plus ou moins 0,03
volt près. On n’écrit pas U = (4, 34 +
− 0, 3) V ou encore U = (4, 34 +
− 0, 003) V - non respect de la cohérence des
décimales dans les deux cas.
Il faut faire attention aux conversions d’unités éventuelles : par exemple si on estime une masse m à 11,6kg
avec une incertitude de 15 grammes, il faut écrire m = (11600 +
− 15) g ou m = (11, 600 +
− 0, 015) kg pour respecter
à la fois l’unité commune et le nombre de décimales.
Enfin, attention aux conversions trop rapides : écrire 0, 43 kg ne signifie pas 430 g, car dans ce second cas on a
trois chiffres significatifs et dans le premier seulement 2.
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