14-3-PlanDeW

Boîte à outils : fractions
I-
Égalité de quotients
A - Simplifcation de quotient
Règle
Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le Pour tous nombres a, b et k
dénominateur d'un quotient par un même nombre où b et k sont non nuls :
a×k a
a÷k a
non nul alors on obtient un quotient égal.
= et
= .
b×k
b
b÷k
b
42
Exemple 1 : Simplife le quotient − 140 .
42
−140
= − 140
42
42
−140
= − 10 × 7 × 2
42
−140
= − 10
On détermine le signe du quotient.
3×2×7
On cherche les facteurs communs à 42 et 140.
3
On simplife le quotient.
Exemple 2 : Détermine le nombre manquant dans l'égalité
− 1,2
...
=
.
6
18
×3
− 1,2
...
=
6
18
Pour passer de 6 à 18, on multiplie par 3.
×3
donc
− 1,2 −3,6
=
6
18
Ainsi, pour trouver le nombre manquant,
on multiplie – 1,2 par 3, ce qui donne − 3,6.
B - Réduction de quotients au même dénominateur
Exemple 1 : Réduis les quotients
2
9
et
5
12
au même dénominateur.
Multiple de 9 : 9, 18, 27, 36, 45,
54,...
Multiple de 12 : 12, 24, 36, 48, 60,...
Un multiple commun de 9 et 12 est
3
6
.
C'est aussi le plus petit.
2
9
=
2×4
9×4
=
8
36
et
5
12
5×3
= 12 × 3 =
15
36
On cherche un multiple commun non
nul aux dénominateurs (le plus petit
possible).
On détermine les écritures
fractionnaires ayant 36 pour
dénominateur.
Exemple 2 : Compare les quotients
2
7
3
et 8 .
Les dénominateurs 7 et 8 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Le plus petit multiple commun est 7 × 8 = 56, donc
Or
16
56

21
56
donc
2
7
3
2 × 8 16
=
7 × 8 56
et
3 × 7 21
=
.
8 × 7 56
 8.
C - Produit en croix
Propriétés
• Si deux nombres en écriture fractionnaire sont
égaux alors leurs produits en croix sont égaux.
• Réciproquement, si les produits en croix de
deux nombres en écriture fractionnaire sont
é
g
a
u
x
alors ces deux nombres sont égaux.
Pour tous nombres a, b, c et d
où b et d sont non nuls :
a c
=
équivaut à a × d = b × c.
b d
Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture
fractionnaire ne sont pas égaux, il suft de démontrer que leurs produits en croix
ne sont pas égaux.
Exemple 1 : Les nombres
2,1
3,5
et
2,1 × 6,9 = 14,49 et
3,5 × 4,1 = 14,35
14,49 ≠ 14,35
donc
2,1
3,5
≠
4,1
6,9
4,1
6,9
sont-ils égaux ? Justife.
On calcule les produits en croix.
On les compare.
L e s produits en croix ne sont pas
égaux
donc les nombres ne sont pas égaux.
Exemple 2 : Détermine le nombre manquant dans l'égalité
− 1,2 × 7 = 6 × ?
donc − 8,4 = 6 × ?
?=−
II -
8,4
6
= − 1,4
− 1,2 ...
= .
6
7
On écrit l'égalité des produits en croix.
On trouve le nombre manquant.
Addition ou soustraction
Règle
Pour additionner (ou soustraire) des nombres
en écriture fractionnaire ay a n t l e m ê m e
dénominateur, on additionne (ou on soustrait)
les numérateurs et on garde le dénominateur
Pour tous nombres a, b et c
où b est non nul :
a c a c
 =
.
b b
b
commun.
Remarque : Si les nombres en écriture fractionnaire n'ont pas le même
dénominateur, il faut les réduire au même dénominateur.
13
Exemple : Calcule l'expression A = − 1  30 −
Multiples de 30 : 30 ; 60 ; 90 ; 120
...
Multiples de 12 : 12 ; 24 ; 36 ; 48 ;
60 ...
− 11
.
12
On cherche le plus petit multiple
commun non nul à 30 et 12.
A=
−1 × 60 13 ×2 11 × 5


1 × 60
30 ×2 12 × 5
On détermine le signe de chaque
quotient et on réduit les quotients au
même dénominateur 60.
A=
− 60 26 55


60
60 60
=
On additionne les numérateurs et on
garde le dénominateur.
A=
21
60
= 20
III -
=
7×3
20 × 3
− 60  26  55
60
7
On simplife si possible.
Multiplication
Règle
P o u r multiplier des nombres en écriture
fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre
eux et les dénominateurs entre eux.
Remarque : Si b = 1, la formule devient a ×
35
Pour tous nombres a, b, c et d
où b et d sont non nuls :
a c a ×c
× =
.
b d b×d
c a ×c
=
.
d
d
− 39
Exemple : Calcule l'expression B = − 33 × − 80 .
Donne le résultat sous forme simplifée.
35 × 39
B = − 33 × 80
7 × 5 × 13 × 3
B = − 11 × 3 × 2 × 5 × 8
7 × 13
B = − 11 × 2 × 8
B=−
IV -
91
176
On détermine le signe du résultat.
On cherche des facteurs communs.
On simplife.
On calcule.
Division de deux quotients
A - Inverse d'un nombre non nul
Défnition
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.
Propriétés
1
•
Tout nombre x non nul admet un inverse (noté x− 1) qui est le nombre x .
•
Tout nombre en écriture fractionnaire
b
a
a
(a ≠ 0 et b ≠ 0) admet un inverse qui est
b
le nombre .
Remarques :
•
Un nombre et son inverse ont toujours le même signe.
En efet, leur produit 1 est positif et seul le produit de deux nombres de
même signe est positif.
•
Zéro est le seul nombre qui n'admet pas d'inverse.
En efet, tout nombre multiplié par 0 donne 0 et ne donnera jamais 1.
Exemple : Quels sont les inverses des nombres 3 et
1
−7
3
?
L'inverse de − 7 est
L'inverse de 3 est 3− 1 = 3 .
3
 
−7
3
−1
=
1
3
− 3.
=
=
−7
−7
7
3
B - Diviser des quotients
Règle
Diviser par un nombre non nul revient à
multiplier par l'inverse de ce nombre.
Exemple 1 : Calcule C =
C=
8

8 5
÷
7 3
3
C = 7×5
a
a c a d ou b a d .
÷ = ×
= ×
b d b c
c b c
d
−8
5
÷
.
7
−3
On détermine le signe du résultat.
On multiplie par l'inverse du deuxième
quotient.
8 ×3
On multiplie les fractions.
24
35
On calcule.
C = 7 ×5
C=

Pour tous nombres a, b, c et d
où b, c et d sont non nuls :
Exemple 2 : Calcule D =
D=−
32
21
48
35
32
et donne le résultat en le simplifant le plus possible.
On détermine le signe du résultat.
35
D = − 21 × 48
On multiplie par l'inverse du deuxième quotient.
8 ×2 ×2 ×7 ×5
On cherche des facteurs communs.
10
9
On calcule sans oublier de simplifer avant !
D = − 7 ×3 ×3 × 2× 8
D=−
32
21
− 48
− 35
−
Exemple 3 : Quelle est la nature du nombre E défni par E =
E=
3 2

3 3
3 2
−
3 3
5
3
E = 3×1
5 ×3
E = 3 ×1
=
5
3
1
3
E peut s'écrire aussi E =
2
3
2
1−
3
?

 
1
1
2
2
÷ 1−
3
3
.
On commence donc par calculer les
parenthèses.
On multiplie par l'inverse du deuxième
quotient.
On cherche des facteurs communs.
E = 5 donc E est un nombre entier.