Algèbre vide. est stable par combinaison linéaire.

Algèbre
On désigne par E le R-espace vectoriel des suites à valeurs réelles qui vérient la relation
de récurrence :
un+2 = un+1 + 2 un
∀ n ∈ N.
(R)
1-a. La suite stationnaire nulle vérie de façon triviale la relation (R). L'ensemble F n'est pas
vide.
Considérons deux suites un et vn , éléments de F , et deux nombres réels a et b, un calcul
élémentaire montre que la suite (wn ) = a.(un ) + b.(vn ) vérie la relation (R). L'ensemble F
est stable par combinaison linéaire.
F est un sous ensemble non vide de E , stable par combinaison linéaire, et (E, +, .) est un
R-espace vectoriel, donc (F, +, .) est un sous espace vectoriel de (E, +, .).
1-b. Une suite géométrique (un ), dénie par son premier terme (u0 ) et sa raison q est élément
de F si et seulement si elle vérie la relation (R) :
u0 q n+2 = u0 q n+1 + 2 u0 q n
∀n ∈ N
Si nous laissons de côté le cas trivial u0 = 0, cette relation équivaut à l'équation en q :
q2 − q − 2 = 0
dont les solutions immédiates sont q1 = 2 et q2 = −1.
Les suites géométriques éléments de F sont les suites de la forme (2n u0 ) ou ((−1)n u0 ), la
valeur de u0 est arbitraire.
1-c. En particulier pour u0 = 1, les suites géométriques (2n ) et ((−1)n ), dénies pour tout
nombre entier naturel n, sont éléments de F .
L'ensemble F étant stable par combinaison linéaire, la suite (un ), dénie pour tout nombre
entier naturel n par un = a 2n + b (−1)n , est élément de F .
Soit (un ) une suite quelconque de F , le système linéaire


α 20 + β (−1)0 = u0
 α 21 + β (−1)1 = u1
est un système de Cramer qui admet une solution unique en (α, β) :
’
u0 + u1 2 u0 − u1
(α, β) =
,
3
3
“
Avec ces valeurs, on a pour tout n : un = α 2n + β (−1)n , donc (un ) = α.(2n ) + β.((−1)n ).
La famille {(2n ), ((−1)n )} est une famille génératrice de l'espace vectoriel (F, +, .).
Le système linéaire


α 20 + β (−1)0 = 0
 α 21 + β (−1)1 = 0
est un système de Cramer qui admet une solution unique (α, β) = (0, 0).
La famille {(2n ), ((−1)n )} est une partie libre de l'espace vectoriel (F, +, .).
Nous concluons que ((2n ), ((−1)n )) est une base de l'espace vectoriel (F, +, .).
L'ensemble des suites réelles qui vérient la relation R dénit un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps des réels.
Blge0401, page 1/4 - 6 décembre 2004
2- Soient (xn ) et (yn ) les suites dénies pour tout nombre entier naturel n par x0 = 1, y0 = 0,
xn+1 = 2 yn et yn+1 = xn + yn .
2-a. Le calcul des cinq premiers termes de la suite (yn ) s'eectue de proche en proche :
x0 = 1
x1 = 0
x2 = 2
x3 = 2
x4 = 6
x5 = 10
et
et
et
et
et
y0
y1
y2
y3
y4
=0
=1
=1
=3
=5
donne
donne
donne
donne
donne
y0 = 0
y1 = 1
y2 = 1
y3 = 3
y4 = 5
y5 = 11
Pour tout entier naturel k , nous avons les équations de dénition :
(1)
(2)
xk+1 = 2 yk
yk+1 = xk + yk
Nous utilisons la relation (2) pour exprimer yn+2 :
yn+2 = yn+1 + xn+1
Dans la relation obtenue nous exprimons xn+1 en fonction de yn+1 avec la relation (1) :
yn+2 = yn+1 + 2 yn
Nous retrouvons la relation R, caractéristique de l'ensemble F . (yn ) est un élément de F .
Un calcul direct, à partir des valeurs calculées, donne x2 = x1 + 2 x0 .
Pour k supérieur à 1, la relation (1), xk = 2 yk−1 , liée au résultat précédent, établit que l'on
vérie xn+2 = xn+1 + 2 xn 1 ≤ n.
La relation R, vériée pour n = 0 et pour n ≥ 1, est vériée pour tout n.
La suite (yn ) est un élément de F .
Nous disposons de deux éléments (xn ) et (yn ) de l'espace vectoriel de dimension 2, (F, +, .).
Pour que ces deux éléments forment une base, il faut et il sut qu'ils soient linéairement
indépendants.
Pour que deux réels α et β vérient α.(xn ) + β.(yn ) = (0), il faut qu'ils vérient le système
d'équations :

 αx +βy = 0
0
0
 α x1 + β y1 = 0
Soit, avec les valeurs calculées :


1α + 0β = 0
 0α + 1β = 0
Le calcul est simple qui donne pour unique solution (α, β) = (0, 0).
La seule combinaison linéaire nulle des deux suites (xn ) et (yn ) est celle dont les coecients
sont nuls.
La partie {(xn ), (yn )} est une partie libre de l'espace vectoriel (F, +, .).
((xn ), (yn )) est une base de cet espace vectoriel.
Blge0401, page 2/4 - 6 décembre 2004
2-b. Les coordonnées (a, b) de la suite (xn ) dans la base ((2n ), ((−1)n )) existent, pour les
déterminer nous résolvons le système de Cramer


a 20 + b (−1)0 = x0
 a 21 + b (−1)1 = x1
Ce que l'on peut écrire, en utilisant les calculs précédents :


a+b = 1
 2a − b = 0
1
2
La solution est immédiate : (xn ) = .(2n ) + .((−1)n ).
3
3
Nous utilisons la même méthode pour déterminer les coordonnées de la suite (yn ) dans la
base ((2n ), ((−1)n )).

 a+b = 0
 2a − b = 1
1
1
donne : (yn ) = .(2n ) − .((−1)n ).
3
3
La matrice de passage de la base ((2n ), ((−1)n )) à la base ((xn ), (yn )) s'écrit :


P =


1
1
3
3
1
2
−
3
3







1 1 1



3-a. On considère la matrice A =  1 0 0 
.
1 0 0
Les calculs sont immédiats, qui donnent :




5 3 3
3 1 1




3
2



A =  1 1 1  et A =  3 1 1 
.
3 1 1
1 1 1
Le système en (α, β) , α.A + β.A2 = 0, est équivalent au système :




1α + 3β = 0
1α + 1β = 0



0α + 1β = 0
La seule solution est (α, β) = (0, 0).
Les matrices A et A2 sont linéairement indépendantes.
3-b. Le système en (α, β) , α.A + β.A2 = A3 , est équivalent au système :




1α + 3β = 5
1α + 1β = 3



0α + 1β = 1
La seule solution est (α, β) = (2, 1), soit A3 = 2.A + A2 .
Blge0401, page 3/4 - 6 décembre 2004
L'unicité du couple (α, β) se justie par le fait que les matrices A et A2 sont linéairement
indépendantes :
Deux résultats diérents, (α, β) 6= (α0 , β 0 ), donneraient (α − α0 ).A + (β − β 0 ).A2 = 0 avec
(α − α0 , β − β 0 ) 6= (0, 0), ce qui est contraire à l'hypothèse d'indépendance linéaire.
3-c. Nous utilisons les résultats de la question 2-a. pour réécrire les égalités A = 1.A + 0.A2 et
A2 = 0.A + 1.A2 sous les formes respectives A1 = x0 .A + y0 .A2 et A2 = x1 .A + y1 .A2 .
Nous avons établi, à la question précédente, l'égalité A3 = 2.A + 1.A2 .
Nous utilisons les résultats de la question 2-a. pour réécrire cette expression sous la forme
A3 = x2 .A + y2 .A2 .
Nous supposons établie, pour 1 ≤ p ≤ n − 1, la proposition (3) suivante :
Ap = xp−1 .A + yp−1 .A2
(3)
Pour p = n − 1, la proposition (3) s'écrit :
An−1 = xn−2 .A + yn−2 .A2
2≤n
Nous multiplions par A les deux membres de cette égalité pour obtenir :
An = xn−2 .A2 + yn−2 .A3
2≤n
Dans cette dernière égalité, nous remplaçons A3 par l'expression obtenue à la question 3-a. :
An = xn−2 .A2 + yn−2 .(2.A + A2 )
Nous obtenons ainsi :
An = 2 yn−2 .A + (xn−2 + yn−2 ).A2
Dans cette écriture, nous reconnaissons l'expression des termes xn−1 et yn−1 dénis à la
question 2 :
An = xn−1 .A + yn−1 .A2
La proposition (3), vériée pour p = 1, p = 2 et p = 3, supposée vraie jusqu'à l'ordre n − 1
est démontrée à l'ordre n.
Cette proposition est donc établie, par récurrence pour tout n supérieur à 1 :
An = xn−1 .A + yn−1 .A2
4- Application, pour n = 13, nous calculons x12 et y12 :
x12 =
2
(−1)12
3
y12
1
(−1)12
3
1 12
2 +
3
= 1366
1 12
=
2 −
3
= 1365
Nous en déduisons l'expression de A13 :

A13

5461 2731 2731


2


= 1366.A + 1365.A =  2731 1365 1365 
2731 1365 1365
Blge0401, page 4/4 - 6 décembre 2004