1 – DS8
Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir surveillé de Sciences Physiques n◦8 du 30-03-2017
— Durée : 3 heures —
Problème no 1 – Déformation et inversion de l’ammoniac NH3
JR Seigne
2017
Ce problème a été réalisé en utilisant, en particulier, le cours de Mécanique quantique de l’École Polytechnique
de Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard.
Des données utiles au problème sont situées à la fin de l’énoncé.
La molécule d’ammoniac à l’état gaz possède la formule brute NH3 . Sa structure spatiale est celle d’une pyramide
comme on peut le voir sur le schéma de la figure 1. Les trois atomes d’hydrogène H constituent un plan dont
la distance à l’atome d’azote évolue au cours du temps. La hauteur de la pyramide peut varier en fonction
des déformations que la molécule effectue. L’étude spectroscopique de la molécule montre qu’elle absorbe (et
1
émet) dans l’infrarouge à un nombre d’onde σ =
= 9, 8 × 102 cm−1 . Cette longueur d’onde correspond aux
λ
déformations de la pyramide qui - tout en restant bien pyramidale - voit la hauteur du plan contenant les atomes
d’hydrogène évoluer. Ce phénomène sera étudié par une approche en Mécanique classique.
N
H
H
z
H
Figure 1 – Structure pyramidale de la molécule d’ammoniac NH3
A. Déformation de la pyramide
L’étude de la déformation de la pyramide s’effectue en commençant par considérer une particule situé au
barycentre des trois atomes d’hydrogène possédant la masse 3mH . On est ainsi ramené à l’étude d’un système
de deux corps - cette particule représentant les atomes d’hydrogène et l’atome d’azote. On peut démontrer que
l’étude d’un système à deux corps peut être réalisée en considérant une seule particule fictive possédant une
masse appelée masse réduite m du système, soumise à la force d’interaction existant entre les deux corps. Si le
système est constitué d’un corps de masse m1 et d’un second de masse m2 , la masse réduite est :
m=
m1 m2
m1 + m2
1. Écrire la structure électronique de l’atome d’hydrogène et celle de l’atome d’azote. En déduire le nombre
d’électrons de valence et donner le schéma de Lewis de la molécule d’ammoniac.
2. Lorsque des atomes liés à un même atome central - comme ici l’atome d’azote - occupent l’espace, ils
cherchent à minimiser leurs interactions. Ceci devrait conduire à une molécule plane où les atomes d’hydrogène
seraient disposés à 120˚ les uns des autres. Quelle explication pouvez-vous donner pour justifier la structure
pyramidale ?
3. Déterminer numériquement la masse m de la particule fictive permettant l’étude des déformations de la
pyramide NH3 .
On note z la coordonnée verticale du plan des atomes d’hydrogène par rapport à l’atome d’azote qui sert
d’origine. On considère que l’interaction entre les atomes d’hydrogène et l’atome d’azote est décrite par la force
suivante :
V0
F~ = − 4 z (z 2 − 4a2 ) ~ez
4a
où V0 = 0, 25 eV est une énergie et a une distance telle que 2a = 39 pm. Toutes les autres forces sont négligées.
4. Justifier le fait que V0 soit bien une énergie.
5. Montrer que la force F~ dérive d’une énergie potentielle Epot que l’on déterminera à une constante près dans
un premier temps.
6. Déterminer la constante précédente pour que la plus petite valeur de l’énergie potentielle soit nulle. On
pose maintenant z = a ε où ε est la coordonnée verticale adimensionnée de l’étude de la position du plan des
atomes d’hydrogène par rapport à l’atome d’azote. Montrer que l’énergie potentielle s’écrit alors :
JR Seigne
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DS8 – 2
2
V0 2
ε −4
16
7. Représenter Epot (ε) et étudier les différentes positions d’équilibre.
8. Décrire qualitativement le mouvement des trois atomes d’hydrogène lorsque l’énergie du système est E > V0 .
9. En réalité, l’énergie E est toujours petite devant V0 : 0 < E ≪ V0 . Établir l’équation différentielle vérifiée
par ε. Montrer que le mouvement est alors caractérisé par la fréquence :
r
2V0
1
f0 =
2π ma2
Epot =
10. Faire l’application numérique et confronter le résultat à la radiation infrarouge évoquée pour la molécule
d’ammoniac.
B. Étude de l’inversion
L’inversion de la molécule d’ammoniac correspond au passage de la pyramide avec les atomes d’hydrogène d’un
côté de l’atome d’azote N à leur position de l’autre côté comme on peut le voir sur le schéma de la figure 2.
On a une situation comparable à un parapluie qui se retourne. La molécule d’ammoniac oscille en permanence
entre les deux pyramides. Cette inversion correspond à une fréquence νinv = 24 GHz. Cette fréquence a été
mesurée avec une très grande précision, elle est en quelque sorte une empreinte digitale de la molécule NH3 . Ce
comportement particulier de l’ammoniac a été utilisé en  pour la mise au point du MASER pour Microvave
Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Le MASER est le précurseur à la fois sur le plan physique
et technique du LASER qui a été réalisé dans les 10 ans qui ont suivi. Rappel : LASER pour Light Amplification
by Stimulated Emission of Radiation. L’inversion de la molécule d’ammoniac ne peut qu’être étudiée grâce à la
théorie de la Mécanique quantique.
H
H
N
H
H
Inversion
N
H
H
Figure 2 – Inversion de la structure pyramidale de la molécule d’ammoniac NH3
Pour simplifier l’étude de la fonction d’onde, on modélise le potentiel V (ε) = Epot (ε) par une double-puits infini
donné sur le graphique de la figure 3. L’étude sera effectuée dans le cas où l’énergie E du quanton de masse m
est petite devant la barrière de potentiel V0 : 0 < E ≪ V0 . On étudie les états stationnaires de fonction d’onde
ψ(ε, t).
V (ε)
1
2
V0
b
−3
b
b
3
b
b
b
b
0
1
2
−2
−1
Figure 3 – Double-puits de potentiel de la molécule NH3
b
3
ε
11. Soit ϕ(ε) la fonction d’onde spatiale d’un état stationnaire du quanton de masse m et d’énergie E. Établir
l’équation différentielle vérifiée par ϕ(ε) en fonction de V (ε) en particulier.
r
r
r
2ma2 E
2ma2 (V0 − E)
2ma2 V0
12. On pose K =
et µ =
≃
puisque E ≪ V0 . Exprimer en fonction
2
2
~
~
~2
de K ou de µ, les équations différentielles vérifiées par ϕ(ε) en fonction de la zone du double-puits de potentiel
retenue. En déduire les formes générales des solutions de ces équations différentielles.
13. En ε = ±3, le potentiel devient infini. Quelle est la conséquence pour les solutions précédentes ? Simplifier
les solutions qui peuvent l’être.
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Pour la suite du problème, on écrira la fonction d’onde spatiale qui est une fonction réelle sous la forme suivante :

ϕ1 (ε) = α1 sin K(ε + 3)





ϕ2 (ε) = α2 ch µε + β2 sh µε





ϕ3 (ε) = α3 sin K(ε − 3)
14. Quelles sont les conditions que doit vérifier ϕ(ε) en ε = ±1 ?
On commence par s’intéresser aux solutions sites symétriques pour lesquelles β2 = 0, c’est-à-dire à des solutions
paires pour ϕ(ε).
15. Montrer que l’application des conditions de la question précédente entraı̂ne les deux équations suivantes :
1
1
1
tan 2Ks = −
Ks
µ tanh µ
avec Ks = K
16. La valeur de µ est telle que exp µ ≫ exp −µ. Montrer alors que la contrainte sur l’énergie se traduit par
l’équation :
tan 2Ks = −2Ks ps
avec ps =
1 + 2 exp −2µ
2µ
17. On recherche la plus petite valeur de l’énergie non nulle accessible. La valeur de µ permet d’écrire que
ps ≪ 1. Montrer que la solution de l’équation de contrainte précédente a pour solution :
2Ks = π(1 − ps )
On pourra s’aider d’une méthode graphique pour s’expliquer et d’un développement limité judicieux de la
fonction tangente.
On considère maintenant les solutions antisymétriques, c’est-à-dire les solutions pour lesquelles α2 = 0 et β2 6= 0.
18. Montrer que l’application des conditions que doit vérifier la fonction d’onde spatiale entraı̂ne :
1
1
tan 2Ka = − tanh µ avec K = Ka
Ka
µ
19. Montrer que la constante K = Ka est telle :
2Ka = π(1 − pa )
avec pa =
1 − 2 exp −2µ
2µ
20. Déduire de l’ensemble des calculs précédents, l’expression de la plus basse énergie accessible pour le quanton
pour les solutions symétriques E1s et pour les solutions antisymétriques E1a .
21. Comparer E1s et E1a et exprimer la différence d’énergie ∆E1 > 0 entre ces deux niveaux accessibles.
Sur le graphique de la figure 4, on peut voir les représentations des fonctions d’ondes spatiales symétriques et
antisymétriques correspondant aux énergies E1s et E1a à des échelles identiques.
Afin d’expliquer le phénomène d’inversion et la mesure de la fréquence νinv = 24 GHz, on s’intéresse à deux
fonctions d’onde construites par combinaison linéaire des deux solutions précédentes :
1
ϕg = √ (ϕs − ϕa )
2
1
et ϕd = √ (ϕs + ϕa )
2
Ces deux fonctions sont qualifiées de gauche (ϕg ) ou de droite (ϕd ) car la densité de probabilité est élevée à
gauche (respectivement à droite) de la barrière de potentiel et faible à droite (respectivement à gauche) comme
on peut l’imaginer assez aisément grâce aux graphiques de la figure 4. On considère enfin la fonction d’onde :
1
ψ(ε, t) = √
2
JR Seigne
E1s t
E1a t
ϕs (ε) exp −i
− ϕa (ε) exp −i
~
~
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DS8 – 4
ϕs
ϕa
0
ε
0
ε
Figure 4 – Fonctions d’ondes spatiales ϕs (ε) symétrique à gauche et ϕa (ε) antisymétrique à droite
22. Expliquer pourquoi la fonction d’onde ψ(ε, t) décrit un quanton localisé à gauche à la date t = 0.
23. Montrer qu’au cours du temps la densité de probabilité associée à la fonction d’onde ψ(ε, t) oscille à la
fréquence νinv que l’on exprimera en fonction de ∆E1 et de h. Expliquer que l’oscillation de cette fonction
d’onde correspond bien au phénomène d’inversion.
24. Déterminer la valeur numérique de νinv et la comparer à la valeur attendue sachant que la valeur de
νinv est très sensible à la modélisation du double-puits de potentiel proposé à la figure 3. Comment se nomme
en Mécanique quantique le phénomène qui permet d’expliquer l’inversion de la molécule d’ammoniac NH3 ?
Expliquer.
Données :
Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 × 108 m · s−1
Constante d’Avogadro : NA = 6, 0 × 1023 mol−1
Constante de Boltzmann : kB = 1, 4 × 10−23 J · K−1
Constante de Planck : h = 6, 6 × 10−34 J · s
Constante réduite de Planck : ~ = h/(2π)
Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C
Masse d’un nucléon : mn = 1, 7 × 10−27 kg
H : Z = 1 et A = 1
N : Z = 7 et A = 14
On rappelle l’équation de Schrödinger pour un quanton de masse m possédant l’énergie E, évoluant en milieu
unidimensionnel d’axe Ox dans un potentiel 1 V (x) indépendant du temps. Le quanton est représenté par la
fonction d’onde ψ(x, t). On a :
i~
∂ψ(x, t)
~2 ∂ 2 ψ(x, t)
=−
+ V (x) ψ(x, t)
∂t
2m ∂x2
Dans le cas d’un potentiel V (x) indépendant du temps, les états stationnaires du quanton sont décrits par la
fonction d’onde ψes (x, t) telle que :
ψes (x, t) = ϕ(x) exp −i
E
t
~
où ϕ(x) est la fonction d’onde spatiale.
1. Attention : en Mécanique quantique, on nomme potentiel V (x) en réalité une énergie potentielle.
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Problème no 2 – Ondes et particules
CCP MP 2016
Dans ce problème, nous étudierons quelques propriétés d’ondes mais aussi quelques propriétés des corpuscules
associés comme les photons, les phonons et les électrons.
Données :
Constante de Planck : h = 6, 6 × 10−34 J · s et ~ = h/2π = 1, 0 × 10−34 J · s
Constante de Boltzmann : kB = 1, 4 × 10−23 J · K−1
Constante d’Avogadro : NA = 6, 0 × 1023 mol−1
Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 × 108 m · s−1
Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C
Masse de l’électron : me = 9, 1 × 10−31 kg
γ
λ < 10 pm
X
10 pm < λ < 100 nm
UV
100 nm < λ < 380 nm
Visible
IR
780 nm < λ < 1 mm
Radio
1 mm < λ
Formules trigonométriques :
cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
1 + tan2 α =
1
cos2 α
1 + cotan2 α =
1
sin2 α
A. Ondes électromagnétiques
1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation ω et le vecteur d’onde ~k d’une onde électromagnétique et
les caractéristiques de la particule associée, le photon.
2. Quels sont les ordres de grandeur de l’énergie, exprimée en eV, d’un photon visible et d’un photon X qui
est diffracté par les réseaux cristallins ?
3. Pour un photon qui se propage dans un milieu d’indice n, justifier pourquoi sa quantité de mouvement
nh
(impulsion) vaut en norme p =
.
λ0
B. Ondes de matières
4. Donner le vecteur d’onde et la pulsation de l’onde associée à une particule on relativiste d’énergie E et e
dx
quantité de mouvement p~ = m ~ex .
dt
5. Établir la longueur d’onde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste, accéléré avec une
différence de potentiel U .
6. Déterminer la valeur de U , pour laquelle on obtiendrait la même longueur d’onde que celle d’un photon X
de λ = 0, 1 nm.
7. Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On considère que
le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de l’ordre de 10−10 m et que les électrons libres
ont une vitesse due à l’agitation thermique. On se placera à 300 K.
8. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en Physique quantique ?
Placer leur travaux par ordre chronologique.
C. Diffusion de Brillouin
Une onde sonore monochromatique se décrit, comme toute onde, au moyen d’une pulsation ω et d’un vecteur
d’onde ~k. On lui associe une particule appelée phonon.
9. Donner la quantité de mouvement ~q du phonon associé à une onde acoustique de fréquence ν, qui se propage
~ = V ~u = ω ~u, ~u étant le vecteur unitaire de la direction de propagation orienté
dans l’eau avec une célérité V
k
dans le sens de la propagation.
10. Donner l’énergie ep de ce phonon.
11. Évaluer numériquement q et ep (en eV), pour une fréquence sonore de 1, 0 kHz et une vitesse de propagation
V = 1, 5 km · s−1 .
12. Comparer les caractéristiques de ce phonon avec celles d’un photon du domaine visible.
La diffusion de Brillouin correspond à un choc entre une particule photon incident et une particule phonon
avec annihilation du phonon et diffusion du photon émergent. On suppose que le système est un système isolé.
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(a)
photon
incident
DS8 – 6
(b)
phonon
incident
θ
photon
incident
photon diffusé
phonon
émis
θ
photon diffusé
Figure 5 – Vecteurs quantités de mouvement annihilation (a) ou création (b) d’un phonon à partir d’un photon
incident
La situation des vecteurs quantités de mouvement avant et après le choc est représentée par les vecteurs de la
figure 5.
13. Justifier pourquoi la quantité de mouvement se conserve dans un système isolé. Quelle autre grandeur est
conservative ?
On considère un phonon associé à l’onde sonore, engendrée dans l’eau liquide, qui se propage avec célérité
V = 1, 5 × 103 m · s−1 à 50 ◦ C. l’indice optique de l’eau vaut 1, 3. Une source de lumière laser, de longueur d’onde
λinc = 0, 53 µm et de fréquence νinc , arrive sur une cuve remplie d’eau liquide juste saturante. La collision
photon-phonon engendre un photon de longueur d’onde λem et de fréquence νem .
On observe le faisceau lumineux transmis dans la direction qui fait un angle θ avec la direction du faisceau
incident. Dans ce choc, le phonon de quantité de mouvement initiale ~q disparaı̂t. On peut établir, à partir
des lois de conservation précédemment citées et en tenant compte des ordres de grandeur, que la quantité de
mouvement du phonon vaut :
q≃2
θ
nh
sin
λinc
2
+
14. En déduire le décalage en fréquence du photon ∆ν + = νem
− νinc en fonction de λinc , n, V et θ.
15. Évaluer numériquement le décalage Brillouin dans la direction θ = 90˚, pour l’eau saturante à 50 ◦ C
sous les deux formes suivantes :
— absolu en fréquence ∆ν + ,
— relatif en longueur d’onde ∆λ+ /λinc .
16. La résolution d’un spectromètre à réseau vous semble-t-elle suffisante pour déceler ce décalage ?
JR Seigne
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