CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE

CHAPITRE 11 :
LOIS DE PROBABILITES A DENSITE
I.
Définition :
a. Variable aléatoire continue :


On parle d’une variable aléatoire X continue lorsque X peut prendre n’importe qu’elle valeur d’un
intervalle I de ℝ.
On s’intéresse alors à des événements de type (a < X < b) que l’on dit compris entre a et b.
b. Densité de probabilité :


On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de ℝ toute fonction définie sur I et vérifiant :
o f est continue et positive sur I.
o ∫ ( )
.
Remarque :
o Si I = [a ; b], la notation ∫ ( )
∫ ( ) .
( )
o Si I = [a ; +∞], la notation ∫
∫
( )
.
c. Loi de probabilité à densité :

On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en posant, pour tous réels a et b de I et a ≤ b :
(

Propriétés :
(
o
(
o
(
o
o
(
)
∫ ( )
)
)
)
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
d. Espérance mathématiques :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b] alors l’espérance
( )
mathématiques de X est le réel défini par ∫
II.


Loi uniforme sur un intervalle [a ; b] :
Soit a et b deux nombres réels a b, la loi uniforme sur [a ; b] est la loi ayant pour densité la fonction
f définie sur [a ; b] par ( )
Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme [a ; b] :
)
o Pour tout réel X appartenant à [a ; b] : (
o
( )
III. Loi exponentielle :
a. Définition : λ est un réel strictement positif.
Une variable aléatoire à densité T suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de
probabilité est la fonction f définie sur [0 ; +∞] par ( )
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b. Propriété :


Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous réels a et b tel que
(
)
)
)
En particulier (
et (
c. Durée de vie sans vieillissement :
Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs t et h :
(
)
(
)
d. Espérance :

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire T suivant une loi de paramètre λ est définie par :
( )
avec ( )
∫

On a ( )

Démonstration : Voir ROC
IV. Loi normale centrée réduite :
a. Théorème de Moivre-Laplace :


On suppose qu’une variable aléatoire Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Soit Zn la variable aléatoire définie par

Alors pour tous réels a < b tels que a < b on a :
(
√
)
(
)
∫
√
b. Définition :
La loi normale centrée réduite notée 𝓝 (0,1) est la loi continue ayant pour densité de probabilité la
fonction f définie sur ℝ par ( )
√
.
c. Propriétés :



Le maximum de f est atteint en 0.
La courbe Cf de la densité de probabilité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
L’aire sous Cf est 1.
V.
Propriétés de la loi normale centrée réduite :
a. Règles de calcul :



(
(
(
)
)
(
).
(
)
).
(
)
.
b. Valeurs remarquables liées à la loi :

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α ∈ ]0 ; 1[, il
)
existe un unique réel strictement positif
tel que (
.

Démonstration : Voir ROC
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

Propriétés :
o
.
o
.
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est 0 et
son écart-type est 1.
VI. Lois normales :
a. Loi normale ͺ𝓝 (μ,


):
Soit μ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire X suit la loi
normale 𝓝 (μ, ) si et seulement si la variable aléatoire
suit la loi normale centrée réduite.
Si X suit la loi normale 𝓝 (μ, ), alors son espérance ( )
et son écart-type est σ.
b. Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X suivant la loi normale :

Pour calculer (

Pour déterminer t tel que (
):
)
:
c. Les intervalles « Un, deux, trois sigma » :



(
(
(
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)
)
)
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