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I2
Lois de l’induction
Exercices de cours
Exercice 1 Application de la loi de Faraday
Utiliser la loi de Faraday
Évaluer qualitativement la variation du flux d’un champ magnétique
On approche le pôle nord d’un aimant d’une spire. On a choisi
d’orienter la spire comme indiqué sur le schéma.
−
→
v aimant/spire
(1) En raisonnant sur les lignes de champs créées par un aimant,
donner le signe puis le sens de variation du flux magnétique
extérieur à travers la spire.
i
(2) Dessiner un schéma électrique équivalent en plaçant la force
électromotrice induite.
SUD
NORD
−
→
S
(3) En déduire le sens réel du courant i dans le circuit.
(4) Quel est le sens du champ magnétique créé par la spire?
Exercice 2 Inductance propre d’un bobine longue
Évaluer le flux d’un champ magnétique
Évaluer l’inductance propre d’une bobine longue
On considère une bobine très longue telle que l’on puisse négliger les effets de bords (on peut considérer la bobine infinie) composée de
N = 1,0 · 103 spires, parcourue par un courant i.
Les caractéristiques de la bobine sont les suivantes: section S = 1,0 · 10−3 m2 , longueur l = 0,10 m.
N
Le champ magnétique dans la bobine est quasi-uniforme de norme B = µ0 i
l
(1) Faire un schéma et orienter les surfaces décrites par chaque spire, on placera en particulier un vecteur unitaire. En déduire
−
→
l’expression du champ magnétique B à l’intérieur de la bobine longue.
(2) Calculer le flux propre à travers une spire puis à travers les N spires de la bobine.
(3) En déduire la valeur du coefficient d’auto-inductance L de la bobine.
Exercice 3 Énergie stockée dans le champ magnétique
Réaliser un bilan énergétique
On reprend l’exercice précédent. Exprimer la force électromotrice induite en précisant la convention utilisée. En déduire la puissance puis
l’énergie stockée sous forme magnétique dans la bobine. On supposera qu’aucune énergie magnétique n’est stockée lorsque la bobine
n’est parcourue par aucun courant.
Exercice 4 Calcul d’une inductance mutuelle
Déterminer l’inductance mutuelle pour des bobines en influence totale
On considère deux bobines longues, l’une, parcourue par le courant i int , est placée à l’intérieur de l’autre, parcourue par le courant i ext .
On note S int et S ext les sections respectives des bobines, N int et N ext leur nombre de spires. On suppose que les deux bobines ont la même
longueur l.
On suppose que les bobines sont suffisamment longues pour que le champ que chacune d’entre elle crée est nul à l’extérieur et vaut
Ni
Bi = µ0 ii à l’intérieur. L’indice i est soit int ou ext selon la bobine considérée et le champ est orienté dans le sens conventionnel des
li
spires.
(1) Exprimer le flux magnétique φ ext→int que crée la bobine extérieure à travers la bobine intérieure.
(2) Même question pour le flux magnétique φ int→ext que crée la bobine intérieure à travers la bobine extérieure.
(3) Exprimer le coefficient d’inductance mutuelle et montrer que les deux flux magnétiques donnent la même expression de ce coefficient.
1
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Exercices de cours
Exercice 5 Circuits couplés par inductance mutuelle
Établir le système d’équation couplé (inductance mutuelle)
M
R1
On considère les deux circuits suivants couplés par induction
mutuelle, fixes dans le référentiel d’étude. Le coefficient M est le coefficient d’inductance mutuelle entre les deux circuits, L1 et L2 sont
les inductances propres totales des deux circuits. On a représenté ces
inductances propres sous la forme de bobines idéales.
E1
L1
i1
R2
L2
E2
i2
(1) Exprimer le flux magnétique à travers le circuit 1 et en déduire la force électromotrice induite e1 dans ce circuit.
(2) Même question dans le circuit 2. On notera e2 la force électromotrice induite dans ce circuit.
(3) Tracer un schéma équivalent pour chaque circuit et en déduire les deux équations différentielles vérifiées par les courants.
(4) Les écrire en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω.
Exercice 6 Transformateur de tension parfait
Établir la loi des tensions
i1
i2
U1
U2
Deux bobines sont enroulées autour d’un cadre métallique ferromagnétique.
• L’enroulement de gauche est appelé l’enroulement primaire: la tension à ses bornes est notée U1 , il est parcouru par un courant i1
et contient N1 spires identiques. Les grandeurs électriques sont sinusoïdales.
• L’enroulement de droite est appelé l’enroulement secondaire: la tension à ses bornes est notée U2 , il est parcouru par un courant i2
et contient N2 spires identiques. Les grandeurs électriques sont sinusoïdales.
• Le cadre ferromagnétique sert à canaliser les lignes de champ magnétique de façon à ce que le flux qui traverse une spire du primaire
soit le plus proche possible de celui qui traverse une spire du secondaire. On supposera que le couplage est parfait c’est-à-dire que
ces flux sont égaux. On note φ le flux traversant une spire, orientée positivement dans le sens de la flèche en pointillé.
Le circuit primaire est relié à un générateur, il crée alors un flux magnétique dans le cadre. Ce flux magnétique est dirigé vers le circuit
secondaire où il crée un courant dans le circuit secondaire (une tension).
Nous allons chercher le lien entre U1 et U2 en négligeant tout effet résistif dans le circuit, toute perte magnétique dans le cadre et tout
courant induit dans le cadre.
(1) Exprimer le flux magnétique φ1 traversant l’enroulement primaire en fonction de φ et N1 . Faire de même pour le flux magnétique
φ2 traversant l’enroulement secondaire.
(2) Calculer les forces électromotrices et dessinez le schéma équivalent.
(3) En déduire alors la relation entre U1 et U2 .
(4) Le primaire est branché sur le secteur américain, à 110 V. On souhaite brancher sur le secondaire un appareil français (fonctionnant
donc sur du 220 V). Comment doit-on choisir le nombre d’enroulements des circuits?
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Exercices de cours
Interpréter qualitativement les phénomènes
Établir les équations mécaniques et électriques
Effectuer un bilan énergétique
Exercice 7 Rails de Laplace: Générateur
On reprend le dispositif des rails de LAPLACE mais cette fois-ci,
au lieu d’être branché sur un générateur, le circuit comporte un am−
→
pèremètre. Un opérateur tire la barre mobile avec la force F op e x . Ce
dispositif modélise avec une géométrie simple le principe des générateurs électriques.
On modélise par une résistance R la résistance du circuit et on oriente le sens conventionnel du courant de manière arbitraire. On note
−
→
v la vitesse de translation de la barre [CD]. Le champ magnétique
−
→
B est vertical et uniforme.
On négligera l’inductance propre du circuit.
R
l
−
→
−
→
B = B ez
A
D
−
→
ey
−
→
v
−
→
ez
i
−
→
ex
C
x
x (t)
0
(1) Si la barre est en mouvement dans le sens indiqué par le schéma, expliquer l’existence puis prévoir sans calculs le signe du courant
i.
(2) Après avoir calculé le flux à travers le circuit, tracer un schéma électrique équivalent et écrire l’équation électrique du circuit.
(3) Après avoir effectué un bilan des forces sur un système judicieux, déterminer l’équation mécanique du système.
(4) Les deux équations sont couplées. En utilisant les deux équations, en déduire une équation ne portant que sur la vitesse v de la
barre (aucune mention de i). En déduire les valeurs limites de la vitesse v lim et du courant i lim .
(5) Résoudre cette équation en supposant que la force exercée par l’opérateur est constante et que la barre est immobile à t = 0. En
déduire i (t).
(6) Réaliser un bilan de puissance électrique à partir de l’équation électrique.
(7) Réaliser un bilan de puissance mécanique à partir de l’équation mécanique.
(8) Quel lien remarquez-vous entre la puissance électrique induite et la puissance de la force de Laplace? Écrire alors le bilan de
puissance global. Que devient-il en régime permanent.
Expliquer le fonctionnement d’un moteur à entrefer plan
Établir l’équation électrique
Établir l’équation mécanique
Faire un bilan d’énergie
Exercice 8 Rails de Laplace: Moteur
R
On utilise à nouveau les rails de Laplace mais cette fois un générateur continu impose un courant dans le circuit. On suppose que i, E
et B sont positifs.
−
→
→
On notera v la projection de la vitesse −
v sur e x . On suppose
qu’initialement la vitesse de la barre est nulle.
−
→
−
→
B = B ez
−
→
ey
−
→
v
E
l
D
−
→
ez
i
C
x
0
x (t)
(1) Expliquer qualitativement dans quel sens va bouger la barre et justifier le sens de la force électromotrice induite.
(2) Écrire l’équation électrique après avoir tracé un schéma équivalent du circuit.
(3) Écrire l’équation mécanique.
(4) Découpler les équations et déduire les valeurs limites du courant et de la vitesse de la barre.
(5) Résoudre les équations et tracer les courbes représentatives de v et i.
(6) Réaliser un bilan d’énergie. Comment peut-on améliorer la conversion de puissance électrique en puissance mécanique?
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−
→
ex
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Exercices de cours
Expliquer le fonctionnement d’un haut parleur électrodynamique
Écrire l’équation électrique
Écrire l’équation mécanique
Faire un bilan énergétique
Exercice 9 Haut parleur
Les rails de LAPLACE, qui sont alimentés par un générateur de tension E , comportent une résistance R et une auto-inductance L (pour
tenir compte du fait que les haut-parleurs réels sont bobinés).
−
→
On note B le champ magnétique uniforme vertical dans lequel
baignent les rails. La barre mobile est soumise à une force de frot−
→
→
tements de la part des rails F f = −λ−
v (λ > 0). Comme la barre
de masse m est solidaire d’une membrane servant à transmettre la
vibration à l’air, une force de frottement supplémentaire s’applique
−
→
→
sur la barre F son = −α−
v (α > 0)
Un ressort de raideur k relie la barre à un solide fixe dans le
référentiel d’étude.
a
R
l
D
−
→
−
→
B = B ez
E
i
−
→
ey
−
→
v
−
→
ez
−
→
ex
C
L
x
0
x (t)
(1) Tracer un schéma équivalent et en déduire l’équation électrique du circuit.
(2) Écrire l’équation mécanique que vérifie la position de la barre.
(3) En régime sinusoïdal forcé, le haut parleur transformera-t-il bien une tension sinusoïdale en une position de la barre sinusoïdale?
Pourquoi? Comment obtenir une bonne fidélité du haut parleur?
(4) Réaliser un bilan de puissance. Quel terme du bilan est le terme de source et quel terme est le terme utile? Comment augmenter le
rendement du haut-parleur?
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