Page 1 sur 2 Agrégation Interne 2001 Exercices d’induction II Exo n°1 : dL d’un câble coaxial dont les armatures sont des cylindres dz coaxiaux d'axe Oz, supposés infiniment longs, & de rayons a & b > 0. dL 2. L'inductance propre linéique Lo d'une ligne bifilaire dont les câbles sont des cylindres d'axe Oz, dz supposés infiniment longs, de même rayon a, & dont les axes sont distants de b > 2a. Calculer, par la méthode énergétique, l'inductance intérieure linéique & comparer au résultat précédent. dM 3. L'inductance mutuelle linéique M o d'un ensemble de deux dz lignes bifilaires parcourues par les courants I1 & I2, dont les traces des axes dans le plan Oxy constituent un carré de côté b (cf figure). 1. L'inductance propre linéique Lo 4. L'inductance mutuelle d'un fil infini dirigé suivant Oz, parcouru par le courant I1, & d'un bobinage torique d’axe Oz, de rayon moyen D, de section carrée de côté a, parcouru par le courant I2, & comportant N spires. AN : a = 1 cm, D = 10 cm, µo = 4.107 SI, & N = 200 spires. Exo n°2 : Un cadre rectangulaire, de dimensions 2ax2b, conducteur, de résistance électrique R, de masse m, parcouru par un courant constant i, est mobile autour de son côté AB porté par l'axe Ox. Le plan du cadre fait avec l'axe Oy l'angle (cf figure). On néglige le champ magnétique propre créé par le cadre. L'ensemble est plongé dans un champ magnétique B extérieur & constant, dirigé suivant l'axe Oz. Déteminer les positions d'équilibre du cadre & discuter leur stabilité. AN: on donne: m = 10 g, i = 10 A, B = O,l T, b = 2,5 cm, g = 10 m / s². Exo n°3 : Pertes par courants de Foucault. On considère une tôle d’acier, donc un parallélépipède de dimensions a b e respectivement suivant les axes Ox, Oy, Oz, avec e a ou b de conductivité , plongée dans un champ magnétique variable B(t ) Bm cos t.i , dirigé suivant Ox, Bm étant une constante. Calculer p, puissance volumique dissipée dans la tôle par effet Joule par les courants de Foucault. Conclusion ? Exo n°4 : Moteur asynchrone. 1. Création d’un champ tournant : Trois solénoïdes identiques ont leurs axes régulièrement décalés de 2 , & sont situés à la même distance du point O. Ils sont parcou3 rus par un système de courants triphasés équilibrés : 2 4 i1 I 2 . sin t , i2 I 2 . sin t i3 I 2 . sin t 3 3 Calculer le champ magnétique B créé au point O par ce système. Quelle est sa propriété ? Une petite bobine plate b, court-circuitée sur elle-même, a une Agrégation Interne 2001 Exercices d’induction II Page 2 sur 2 résistance électrique R, une inductance propre L, une surface S & comporte N spires. Cette bobine peut tourner autour de l'axe Oz, de telle sorte que la normale N à b tourne autour de Oz dans le sens trigo nométrique à la vitesse angulaire ' constante. Elle est plongée dans un champ magnétique tournant B , de module constant B, & tournant autour de Oz dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire constante (a priori, & ' sont différentes). 2. Expliquer qualitativement pourquoi la bobine va tourner dès que le champ tournant sera établi. 3. Si b tourne à la vitesse angulaire ', & si la normale N fait avec le champ B l'angle N , B à l’instant t = 0, calculer l'intensité du courant induit i(t) dans b, en régime sinusoïdal forcé. 4. Calculer la valeur instantanée (t) & la valeur moyenne du moment des forces électromagnétiques s'exerçant sur b. ' L 5. On pose : g appelé glissement ( étant supposé constant), & Q (facteur de qualité de R la bobine à la fréquence du secteur). Donner l'allure de la courbe = f (g). Calculer les valeurs extrémales de & vérifier qu'elles sont indépendantes de R. Donner les valeurs correspondantes de g, & calculer la puissance maximale Pm disponible. 6. Un ventilateur, solidaire de b, présente un couple résistant r qui est la somme d'un terme constant f & d'un terme proportionnel au carré de la vitesse : r f v .'2 . Par une simple discussion graphique, & sans faire de calculs, répondre aux questions suivantes : le système peut-il démarrer seul ? comment peut-on envisager de faciliter ou de rendre possible le démarrage ? comment se trouve fixée la vitesse de régime permanent ? quelle est la vitesse limite qu'on est certain de ne jamais dépasser ? Agrégation Interne 2001 Exercices d’induction II