Action d`un champ magnétique (Ex)

PCSI 2
Action d’un champ magnétique
ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE
I Demi-cercle
!
Calculer la résultante F et le moment résultant M en C des efforts s'exerçant sur le circuit
(C).
On donne l’expression du champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant
d’intensité I en coordonnées cylindriques :
€
€! µ I !
B = 0 eθ .
2πr
dα
α
= tan .
On donne :
α
2
2 cos 2
2
€
∫
!
! !
⎛ 1 2 ⎞ OC
Réponse : F = µ 0 Ii ⎜ − ⎟
; M = 0.
⎝ 2 π ⎠ OC
€
€
€ Cadre
II
Un cadre rectangulaire AECD est parcouru par un courant d’intensité
I = 20 A et peut tourner autour de l’un de ses côtés, AE, horizontal.
Ce cadre est constitué d’un fil rigide de masse linéique λ = 10 g.cm-1.
Soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme, vertical, dirigé
vers le haut et d’intensité B = 3,0.10-2 T, il prend une position
d’équilibre définie par un angle de rotation θ autour de AE.
B
E
A
Indiquer le sens du courant.
C
Calculer θ.
On donne : AE = 20 cm, EC = 10 cm et g = 9,8 m.s-2.
θ
D
Réponse : θ = 66°.
III Spire rectangulaire
Une spire rectangulaire rigide (AC = 10 cm, AE = 8 cm) est mobile autour d’un
axe passant par le côté AE.
Elle est parcourue par un courant d’intensité I = 10 A, dans le! sens! indiqué sur le
schéma, et est placée dans un champ magnétique uniforme B = Bi avec B = 0,3
T.
1) Donner, dans le repère
!
magnétique M de la spire.
! ! !
(O, i , j , k )
z
E
B
O
les
€ composantes du moment
θ = 60°
!
2) Donner l’expression du moment du couple Γ des forces d’origine
€
électromagnétique
s’exerçant sur la spire.
€
x
D
A
y
C
I
3) En déduire ΓAE (moment du couple électromagnétique par rapport à l’axe AE, orienté de A vers E), ΓED, ΓDC, ΓCA, ΓAD et ΓEC.
€
!
!
!
!
!
Réponse : M = −6, 9.10 −2 i + 4, 0.10 −2 j (en A.m2) ; Γ = −1, 2.10 −2 k (en N.m) ; ΓAE = - ΓDC = -1,2.10-2 N.m ; ΓED = ΓCA = 0 ;
ΓAD = - ΓEC = -7,5.10-3 N.m.
€
2016 – 2017
€
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PCSI 2
Action d’un champ magnétique
IV Petites oscillations d’un aimant
!
Un aimant homogène, de moment magnétique M , de moment d’inertie J par rapport
! à son centre de gravité G, est libre de tourner
autour de G dans un plan horizontal. Il est soumis à l’action d’un champ magnétique B uniforme.
1) L’aimant est légèrement tourné€par rapport à sa position d’équilibre stable, tout en restant dans le plan horizontal, puis lâché.
Quelle est la période T des petites oscillations ultérieures ?
€
!
2) Afin d’en déduire la valeur
! du champ magnétique ! B , sans connaître ni le moment d’inertie, ni le moment magnétique de
l’aimant, on ajoute au champ B un champ
! magnétique !B' crée par une bobine.
On place d’abord la bobine telle que B' et le champ B soient parallèles et de même sens et l’on mesure la période T1 des petites
oscillations de l’aimant.
€
On change ensuite le
bobine et on mesure la nouvelle valeur T2 de la période des petites oscillations.
€ sens du courant dans la €
En déduire B en fonction de l’intensité B’ du champ créé par la bobine et du rapport T1/T2 sachant que B < B’.
€
€
⎛ T ⎞2
1− ⎜ 1 ⎟
J
⎝T2 ⎠
Réponse : T = 2π
; B = B'
.
MB
⎛ T ⎞2
1
1+ ⎜ ⎟
⎝T2 ⎠
€
€
V Moteur synchrone
On considère un modèle simple pour décrire le moteur synchrone. Le rotor, caractérisé par
! un
!
moment magnétique m , tourne avec la même vitesse angulaire que le champ magnétique B qui
!
! !
l’entraîne. On s’intéresse à l’angle interne du moteur θ = m, B et au couple M exercé par le
ω
( )
B
θ
champ sur le moment magnétique. On prendra B = 0,2 T ; m = 8,0 A.m2 et f = 50 tours/s.
€
€
1) Donner l’expression de M en fonction de θ.
€
€
2) Que vaut θ si le moteur fonctionne « à vide » (il n’entraîne rien), dans l’hypothèses où on néglige tout frottement.
m
3) Le moteur doit entrainer un dispositif mécanique (charge) qui exerce un couple résistant MT = 0,65 N.m. Calculer l’angle interne
et la puissance P fournie par le moteur.
4) La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ? Quel est le couple maximal que peut fournir ce moteur ?
Réponse : M = m.B.sinθ ; θ = 0 à vide ; θ = 24° et P = 20.101 W en charge ; Mmax = 1,6 N.m.
2016 – 2017
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