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12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
EFFET TRANSVERSAL DE LA
RUGOSITE D'UNE PAROI SUR UNE
PARTICULE EN TRANSLATION
DANS UN FLUIDE AU REPOS
ASSOUDI R., CHAOUI M.
Université Moulay Ismail Faculté des Sciences, BP 11201
Zitoune, Meknes – MOROCCO
Résumé : Le présent travail, porte sur le calcul de la force
horizontale, due à la rugosité d'une paroi, agissant sur une
particule en translation dans un fluide incompressible au
repos. Dans notre modèle, on suppose que la particule est
de forme sphérique indéformable et que le fluide adhère
aux frontières. Le mouvement de la particule est tel qu'il
engendre un écoulement laminaire ayant un nombre de
Reynolds très petit devant l'unité. De ce fait le modèle de
Stokes quasi-stationnaires est valable pour décrire
l'écoulement en question. Enfin, nous allons nous baser sur
les coordonnées bisphériques pour chercher l'expression de
cette force.
Calcul analytique de la composante horizontale de la
force due à la rugosité
Nous considérons une particule sphérique de rayon a
indéformable, animée d'une vitesse de translation uniforme,
=
, près d'une paroi rugueuse dans un fluide de
viscosité μ au repos. Les champs de vitesse et de pression
(p , ) de l'écoulement engendré par le mouvement de la
particule sont solutions des équations de Stokes quasistationnaire:
=
=0
.
Avec :
(1)
= !"
#"$%&%!" 'ℎè %
= 0
!"'" *+ , % %
(2)
= 0à!′+/#+/+
Mots clés : Rugosité, modèle de Stokes quasi-stationnaires,
coordonnée bisphérique.
Introduction
Le mouvement de petites particules, dans un fluide
visqueux à faible nombre de Reynolds a fait l'objet, depuis
longtemps, de beaucoup d'études en mécanique des fluides
[1,2].
Particulièrement visées par ces études, les
interactions hydrodynamiques qui permettent de prévoir
l'évolution des particules dans l’écoulement porteur. Ces
modèles d'évolution trouvent leurs applications dans
différentes domaines tels que la biologie, la chimie
analytique, la géologie, et la métallurgie qui font appel aux
différentes techniques de séparation de particules de tailles
différentes en suspension dans un fluide visqueux. Ces
techniques, communément appelées "fractionnement par
couplage flux-force (FFF)" et en "cellule (SPLITT)",
utilisent des écoulements dans des canaux étroits.
Dans la littérature, beaucoup d'études ont été faites dans le
cas où les particules sphériques évoluent, dans un fluide,
près de parois lisses, donnant la force de traînée en
coordonnées bisphérique [3]. Mais moins de résultats sont
disponibles dans le cas où les parois sont rugueuses. Vue
que la prise en compte de la rugosité s'impose dans
beaucoup de cas pratique, nous allons nous concentrer dans
ce travail, sur le calcul de la composante horizontale de la
force induite par la rugosité de paroi et qui s'applique sur la
particule.
Figure 1 : sphère animée d'un mouvement de translation
, dans un fluide au repos, à une distance l de la paroi
rugueuse.
Les champs de vitesse et de pression perturbés par
l'existante de la rugosité peuvent s'écrire sous la forme
suivante
1
=
(2)
'6 = '6
(7)
+4
(5)
+ 4'6
(8)
(3)
Où (': ,
) sont les champs de vitesse et de pression
de l'écoulement en l'absence de la rugosité de la paroi, et
(': ,
(1)
(0)
(5)
)
(2)
O(ϵ), des champs de vitesse et de pression de l'écoulement,
généré par la rugosité de la paroi.
sont les perturbations au premier ordre
La difficulté du calcul direct de la force de portance par
l'intégration, sur la surface de la sphère, du tenseur des
des perturbations (': ,
) générées
par la rugosité, peut être contournée par l'utilisation du
contraintes =
(5)
(1)
(5)
12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
théorème de réciprocité de Lorentz [4,5]. Ce théorème
énonce que si dans un fluide limité par une frontière ∂D, on
peut admettre l'existence de deux écoulements différents
( @ , =@ ) et ( @@ , =@@
), alors ces écoulements sont liés par
les relations suivantes
A ′ . =′′ . BC = A
DE
′′
′
. = . BC (4)
DE
où BC est le vecteur élément de surface sur le bord ∂D.
(': ,
(1)
(5)
)
En pratique, l'un des deux écoulements est celui auquel on
s'intéresse physiquement, càd
et l'autre
écoulement, qui est appelé écoulement virtuel (appelé aussi
réciproque ou dual), est choisi selon le problème étudié. .
La force horizontale générée par la rugosité :
(5)
(8)
GH = FHJJ (K)
La composante horizontale
analytiquement par:
M (8)
L
=−
"
A O(P, Q)
R
(8)
FHJJ
s'exprime
S T
. U(VW ). XT . &Y(6)
ST
(2)
Où P est la surface de la paroi lisse équivalente et R(x, y)
est une fonction donnée qui décrit le profil de la rugosité
de paroi réelle. Et U(VW ) est le tenseur de contrainte de
l’écoulement réciproque.
En normalisant la force horizontale par la force de stokes
6_ " P
(8)
LM = −6_ # "
#
(8)
(7)
Où # est le coefficient horizontal adimensionnel de
la force GH (5) .
(8)
Figure 3 : Le coefficient horizontal adimensionnel, # (8) ,
en fonction de la période de rugosité d., avec une amplitude
constante de la rugosité (a = 0.5).
Conclusion : Les résultats obtenus montrent que
l'amplitude et la période de la rugosité sont des paramètres
très importants qui influencent sur l'amplitude de cette
composante. En effet, nous avons trouvé que l’amplitude de
cette composante augmente lorsque l'amplitude de la
rugosité augmente, et en particulier lorsque la particule est
près de la paroi rugueuse, alors que cette composante,
conformément à la réalité, tend vers zéro lorsque la
particule s'éloigne de la paroi rugueuse. Également, la
période de la rugosité a une influence très importante sur
cette composante surtout lorsque la particule se déplace
près de la paroi rugueuse.
Références
[1] M. E. O'Neill, A slow motion of viscous liquid caused
by a slowly moving solid sphere, J. Mathematika, 11, 6774, 1964.
[2] M. E. O'Neill, A slow motion of viscous liquid caused
by a slowly moving solid sphere: an addendum, J.
Mathematika, 14, 170--172, 1964.
[3] M. Chaoui and F. Feuillebois, Creeping flow around a
sphere in a shear flow close to a wall, Quart, J. Mech. Appl.
Math, 56, 381--410, 2003.
[4] H. A. Lorentz, A general theorem concerning the
motion of a viscous fluid and few consequences derived
from it Versl, Kon, Acad. Wet. Amst, 1897.
[5] H. A. Lorentz , Abhandl. Theoret. Phys, 1906.
Figure 2 : Le coefficient horizontal adimensionnel, a# ,
b
en fonction de l’écart ., avec une période constante de la
c
rugosité (d = 3).
(8)