- ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
URL: http://www.emath.fr/cocv/
Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
D. BRESCH ET J. SIMON
Resume. Les variations normales d'un domaine de reference sont fre-
quemment utilisees dans les problemes d'optimisation de forme. On
montre que de telles variations ne preservent pas la regularite du domaine. Plus precisement, on exhibe un domaine borne de classe Lipm ,
m entier, et une variation de classe C1 telle que + n ne soit pas
de classe C m;1 . La variation peut ^etre choisie aussi petite que l'on
desire.
Ceci montre que l'utilisation des variations normales dans une methode iterative d'approximation pour la recherche d'un domaine optimal entra^ne une perte de regularite a chaque iteration, de sorte qu'il
est preferable d'utiliser les variations transverses qui, elles, conservent
la regularite du bord.
1. Introduction.
Dans les problemes d'optimisation de la forme d'un domaine et dans les
problemes de frontiere libre, on est amene a deformer un domaine de reference .
J. Hadamard 12] a considere, des 1907, les hhvariations normales ii, de la
forme n, ou est une fonction scalaire denie sur le bord ; de et ou n
est le champ de vecteurs unitaire normal a ; (oriente vers l'exterieur). Le
domaine deforme a alors pour frontiere (voir gure 1) :
; + n = fz + (z ) n(z ) : z 2 ;g :
Cette methode a ete utilisee par de nombreux auteurs, citons C. Bandle 1],
C. Bardos et O. Pironneau 2], R.H. Ghallagher et O.C. Zienkiewicz 9],
T. Masanao et N. Fujii 14], B. Morel 17], O. Pironneau 19] et egalement
P.{A. Raviart 20].
L'objet du present travail est d'etablir que cette methode ne conserve pas
la regularite du bord : Si ; est un graphe local qui est Lipm , m entier,
en general ; + n n'est pas mieux que C m;1 (les lettres a double baton
servent ici a noter la regularite des surfaces, denie ci-dessous, donc C n'est
pas l'ensemble des complexes). On le montre sur un exemple avec de classe
C1 et arbitrairement petit. On prouve egalement que, en dimension deux,
seules les variations normales d'amplitude constante preservent la regularite.
Didier Bresch, Jacques Simon : Universite Blaise Pascal and C.N.R.S., Laboratoire de
Mathematiques Appliquees, 63177 Aubiere cedex, France.
Email: [email protected], [email protected].
Recu par le journal le 7 decembre 1997. Revise les 26 fevrier et 20 avril 1998. Accepte
pour publication le 5 mai 1998.
c Societe de Mathematiques Appliquees et Industrielles. Typeset by TEX.
252
D. BRESCH ET J. SIMON
Une alternative : les variations transverses. L'optimisation de forme avec
utilisation de methodes iteratives conduit a des deformations successives du
domaine. Par des variations normales assez nombreuses, on s'exposerait a
perdre toute la regularite (lorsqu'elle est d'ordre ni).
Il est donc preferable d'utiliser des variations scalaires portees par un
champ de vecteurs w dierent de la normale. Le domaine deforme a alors
pour frontiere ; + w (voir gure 2). Pour conserver la regularite de la
frontiere il sut que w soit aussi regulier que ; (et que soit regulier et pas
trop grand) et pour pouvoir atteindre toute forme voisine de ; il sut que
w lui soit hhtransverse ii (c'est-a-dire qu'il ne soit nulle part tangent a ;).
On peut utiliser un champ w deni seulement sur ;, par exemple une
approximation reguliere de la normale. On peut aussi utiliser un champ
deni dans tout l'espace, par exemple un champ radial si est etoile, ce
qui permet de le conserver lors de variations successives, tant qu'il reste
transverse.
Γ+αw
Γ+αn
Γ
Γ
Figure 1 : Variations normales.
Figure 2 : Variations transverses.
Les variations reparties. Au lieu de variations scalaires portees par un champ
donne, on peut aussi representer les variations par un champ de vecteurs u.
La frontiere du domaine deforme est alors ; + u = fz + u(z ) : z 2 ;g.
Lorsque u est deni dans tout l'espace, un puissant outil de demonstration
est fourni par le changement de variable I + u qui permet de ramener le
domaine variable + u au domaine xe , cf. 18] et 22].
Ces variations preservent la regularite, comme on le precisera a la n du
paragraphe 5. Elles ont ete utilisees par de nombreux auteurs, en particulier J. Bello, E. Fernandez{Cara, J. Lemoine et J. Simon 3], O. Bodart
et P. Demeestere 4], D. Chenais, J. Monnier et J.{P. Vila 6], M. Chouilli
et A. Henrot 7], P.R. Garabeddian et M.M. Schier 10], E. Fernandez{
Cara 8], P. Guillaume 11], M. Masmoudi 15], F. Mignot, F. Murat et
J.{P. Puel 16], F. Murat et J. Simon 18], B. Rousselet 21], J. Simon 22] voir aussi, A. Henrot et M. Pierre 13].
2. Perte de regularite pour un ouvert Lipm .
On dit que ; 2 C m s'il est localement le graphe d'une fonction de classe
Cm . Plus precisement on le denit de la facon suivante.
Definition 2.1. Soit ; Rd et m 0 un reel.
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
253
(i) On dit que ; 2 C m s'il existe a > 0 et b > 0 tels que, pour tout v 2 ;,
il existe :
| des coordonnees cartesiennes (z1 : : : zd ) d'origine v , auxquelles on associe z? = (z1 : : : zd;1 ) et un cylindre " = fz 2 Rd : jz? j < a jzd j < ag de
section "? = fz? 2 Rd;1 : jz? j < ag
| une fonction # 2 Cm ("? ) telle que #(0) = 0, k#kCm b et, 8z 2 ",
z 2 ; () zd = #(z? ) :
(ii) On dit que ; 2 Lipm , si # 2 Lipm ("? ).
u
t
Une fonction est dite Lipm pour m entier si elle est m ; 1 fois dierentiable
a derivees lipschitziennes.
Notons que ; 2 C m est equivalent a ; est une variete Cm , si m 1, et
; 2 Lipm est equivalent a ; est une variete Lipm , si m 2.
Par contre, ; 2 Lip1 est plus fort que ; est une variete Lip1 (cf. 18] p.
II{43, ou l'on trouve un exemple d^u a M. Zerner).
Le resultat principal de ce travail est le suivant.
Theoreme 2.2. Soit m entier, m 1. Il existe
; 2 Lipm tels que : 8t > 0,
2 C1 (Rd)
; + t n 2= C m;1 :
u
t
Ce theoreme donne en particulier
; + n 2= C m;1 :
Cette propriete seule ne serait pas probante car on ne peut esperer de regularite de ; + n que si est hhassez petit ii (par exemple si, en chaque point
de ;, j j est inferieur au rayon de courbure de ;).
La non regularite pour chaque t > 0 enoncee au theoreme 2.2 montre
qu'on ne peut esperer mieux que C m;1 , quelle que soit la hhtaille ii de la
variation normale, a savoir t .
Demonstration du theoreme 2.2. Il sut de construire un exemple en dimension 2. Le resultat general, en dimension d, s'en deduit en considerant
;d = ;2 Rd;2 et d (z1 z2 : : : zd ) = 2 (z1 z2 ).
En dimension 2, on choisit ; egale au graphe de la fonction f denie par
0,
f (x) = 0xm =m sisi xx 0,
(2:1)
et (x y ) = 1 + x. Evidemment, ; 2 Lipm .
Pour m = 1, la normale n etant discontinue a l'origine, ; + t n est
composee (voir gure 3) de deux morceaux qui ne se raccordent pas de sorte
qu'il n'est m^eme pas C 0 .
Pour m 2, ; + t n est la courbe parametree denie par
; + t n = f(X (x) Y (x)) : x 2 Rg
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
254
avec
D. BRESCH ET J. SIMON
8
<x
X (x) = : x ; tp(1 + x)xm;1
1 + x2m;2
8
< t(1m + x)
Y (x) = : x + p t(1 + x)
m
1 + x2m;2
si x 0,
si x 0,
(2:2)
si x 0,
si x 0.
Quand m = 2, ; + t n 2= C 1 car la pente de cette courbe est discontinue
au point parametre par x = 0 (voir gure 4). En eet, la pente vaut t a
gauche et t=(1 ; t) a droite car, quand x ! 0+ , on a Y (x) ; Y (0) tx et
X (x) ; X (0) (1 ; t)x.
Γ+tαn
Γ+tαn
Γ
Γ
tα
tα
Figure 3 : Cas m = 1 (t = 1=2).
Figure 4 : Cas m = 2 (t = 1=2).
Quand m 3, ; + t n est, au voisinage du point parametre par x = 0,
le graphe de la fonction F denie par Y (x) = F (X (x)): Excepte au point
parametre par x = 0, F est indeniment derivable et sa derivee d'ordre
k 2 vaut, comme on le veriera au lemme 4.1 ci-dessous,
;
dk;1 X dY
dk Y dY dk X
dk F X = Pk dX
dx : : : ;dxk;1 dx : : : dxk ; ; dx dxk
(2:3)
dX 2k;1
dX k+1
dX k
dx
dx
ou Pk est un polyn^ome. En x = 0, les derivees d'ordre 1 a m ; 2 de X et
les derivees d'ordre 1 a m ; 1 de Y sont continues mde;1 sorte que le premier
terme du second membre est continu. Par contre ddxm;X1 est discontinu : il
dY
vaut 0 a gauche et ;t(m ; 1)! a droite. De plus, dX
dx (0) = 1 et dx (0) = t.
Pour k = m ; 1 le second membre est donc discontinu en x = 0, puisqu'il
est la somme d'un terme qui est continu et md'un
;1 F autre qui ne l'est pas. Comme
d
X est localement un homeomorphisme, dX m;1 est lui aussi discontinu en 0,
c'est-a-dire que F n'est Cm;1 dans aucun voisinage de 0.
Il en resulte que ; + t n 2= C m;1 . En eet, comme F 2 Lip1 , le lemme
6.1 ci-dessous montre que dans aucun repere cette courbe ne peut ^etre le
graphe d'une fonction Cm;1 au voisinage de 0.
u
t
Domaine borne. On a construit, dans la demonstration du theoreme 2.2, un
domaine ; qui n'est pas borne. On peut en construire un qui soit borne, en
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
255
modiant la surface construite en dehors du voisinage de 0, ou se trouve la
singularite.
Optimalite. Le theoreme 2.2 donne la perte de regularite la plus elevee possible par des variations normales. En eet, on a la propriete suivante :
Soient ; 2 Lipm et 2 Lipm;1 (Rd) ou m 2. Alors, pour tout t assez
petit,
; + t n 2 Lipm;1 :
(2:4)
Plus precisement, il sut qu'en tout point z de ; on ait tj (z )j < jR(z )j, ou
R(z) est le rayon de courbure (ordinaire si d = 2, hhminimal ii si d 2) de ;
en z .
3. Perte de regularite pour un ouvert C m .
On peut completer le theoreme 2.2 par le resultat suivant, dont une demonstration abregee a ete donnee dans 5].
Theoreme 3.1. Soit m reel, m 1. Il existe
; 2 Cm
2 C1 (Rd)
tels que : 8t > 0, 8" > 0,
; + t n 2= C m;1+" :
u
t
Notons qu'ici m n'est pas necessairement entier. Dans le cas entier, le
theoreme 2.2 est plus fort car
Lipm+"
C m Lipm :
Signalons que pour 1 m < 2, on peut construire un domaine ; 2 Lipm
tel que, pour tout t > 0, ; + t n ne soit m^eme pas un graphe (et donc
; + t n 2= C 0 ).
Demonstration. On se ramene, comme au theoreme 2.2, a la dimension 2.
Le cas m > 2 non entier. On reprend l'exemple utilise lors de la demonstration du theoreme 2.2, a savoir ; est le graphe de la fonction f denie par
(2.1). Comme m n'est plus entier, on a maintenant ; 2 C m .
On decompose m = e + r ou e est la ;partie entiere et 0; < r < 1. Les
expressions (2.2) montrent que X 2 Ce;1 0 1] et Y 2 Ce 0 1] de sorte
que (2.3) permet d'ecrire
de;1 F X (x) = &(x) + xr #(x) #(x) = t2 (m ; 1) : : : (;m ; e + 1)
e
dX e;1
(1 + x2m;2 ) dX
dx (x)
; ; ou & 2 C1 0 1] . E videmment, 1=# 2 C1 0 1] et 8" > 0, 8a > 0, xr 2=
Cr+" (0 a]), ce qui entra^'ne
de;1F X 2= Cr+" (0 a]):
dX e;1
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
256
D. BRESCH ET J. SIMON
Comme X est un dieomorphisme, il en resulte que F 2= Cm;1+" (0 a]) ce
qui, gr^ace au lemme 6.1, prouve que ; + t n 2= C m;1+" .
Le cas 1 < m < 2. On choisit a nouveau ; etant le graphe de la fonction f
denie par (2.1), par contre on choisit 1. Maintenant m = 1 + r et les
expressions (2.2) doivent ^etre remplacees par
(x
si x 0,
X (x) = x ; p txr
si x 0,
2r
1
+
x
8
si x 0,
<t
Y (x) = : x1+r + p t
si x 0.
1+r
1 + x2r
Quand x ! 0+ on a Y (x) ; Y (0) ;tx2r =2 et X (x) ; X (0) ;txr donc
le point parametre par x = 0 est un point de rebroussement de la courbe
; + t n. Au voisinage de ce point, elle ne peut pas ^etre un graphe local, ce
qui prouve que ; + t n 2= C 0 .
Le cas m 2 entier. Le resultat relatif au cas non entier entra^'ne que,
8" > 0, il existe ;" 2 C m+"=2 tel que : 8t > 0, 8 > 0,
;" + t n" 2= C m;1+ +"=2 :
En prenant = "=2 c'est presque ce qu'on veut, sauf que ; depend ici de ".
On construit ; independant de " de la facon suivante. On divise 0 1] en
une suite d'intervalles 2;k;1 2;k ] et on choisit une fonction f de classe Cm
telle que
4 ;k ;1
;k;1
si x 2= ]0 1,
f (x) = 0(x ; 4 2;k;1 )m+2;k sisi 24 2;k;1 x x 3 25 2;k;ou
1.
3
3
3
La demonstration du cas non entier montre que la portion ;de
courbe
k+1
;
k
;
1
;
k
m
;
1+2
relative a l'intervalle 2
2 ] verie ;k + t n 2= C
donc,
8" > 0, ; + t n 2= C m;1+" :
Le cas m = 1. Il resulte du cas 1 < m < 2.
u
t
4. Derivees du graphe associe a une surface parametree.
On se propose ici de demontrer la formule (2.3). En fait, nous allons demontrer la formule un peu plus precise (4.2) pour les besoins de la proposition 5.1.
Lemme 4.1. Soit k entier, k 1. Soit X 2 Ck (;a a]), une fonction
croissante telle que X (;a) = ;A0 , X (a) = A et dX
dx c > 0. Soit Y 2
Ck (;a a]).
On denit une application F 2 Ck (;A0 A]) par : 8x 2 ;a a],
;
F X (x) = Y (x):
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
257
Ses derivees sont donnees par : 8x 2 ;a a],
dF X =
dX
et, pour k 2,
dk F X = Qk
dX k
dY
dx
dX
dx
(4:1)
dk;k1;X1 dY : : : dk;k;1 Y1 dk Yk
dY dk Xk
dx : : : dx
dx
dx
dx
dx
+ ; dX k ; ; dx
; dX 2k;1
dX k+1 (4:2)
dx
dx
dx
; dX
ou Qk est un polyn^ome homogene de degre k.
u
t
Demonstration du lemme 4.1. D'apres les hypotheses sur la fonction X , elle
admet un inverse ' qui, par des formules classiques de derivation, est de
classe Ck . Par denition
;
F (X ) = Y '(X ) :
Les proprietes de derivabilite des applications composees montrent que le
second membre est de classe Ck , ce qui prouve que F est de classe Ck sur
;A0 A].
On va demontrer (4.2) par iterations. Commencons par le cas k = 1. En
derivant l'egalite Y = F X , il vient
dY = ( dF X ) dX
dx dX
dx
ce qui etablit (4.1) puisque dX
dx > 0. En derivant l'expression (4.1), on obtient
2
( d F2 X ) dX =
dX
dx
dY d2 X2
d2 Y2
dx ; dx
; dXdx2
dX
dx
dx
ce qui etablit (4.2), avec Q2 0.
Supposons maintenant que (4.2) soit veriee a l'ordre k. En derivant il
vient
; dk+1F dX
dX k+1; X dx =
dk X dY
dk Y Rk dX
dx : : :; dxk dx : : : dxk
dX 2k;1
dx
;
Qk dX
: : : ddxk;k1;X1 dY
: : : ddxk;k1;Y1 ddx2 X2
dx
dx
; (2k ; 1)
; dX 2k
dx
k Y d2 X
2 Y dk X
dk+1
Y
d
d
dY dk+1 X
dY d2 X2 dk Xk
k+1
k dx2
2 dxk + dx dxk+1
dx
dx
dx
dx
+ (k + 1) dx; dXdxk+2
+ ; dX k ; k ; dX k+1 ;
; dX k+1
dx
dx
dx
dx
;
ou Rk ( ) = dxd Qk ( ) est homogene de degre k. En divisant par dX
dx , on
en deduit l'egalite (4.2) a l'ordre k + 1.
u
t
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
258
D. BRESCH ET J. SIMON
5. Preservation de la regularite.
Les resultats ci-dessus montrent, a l'aide de contre-exemples, qu'on peut
perdre un ordre de regularite en utilisant des variations normales, mais ils ne
nous disent pas si cette perte est systematique. Autrement dit, ne pourraiton pas trouver des variations qui preservent la regularite ?
Les seules possibilites hhgenerales ii de la preserver sont, lorsque d = 2 et
m 2, les suivantes.
| La regularite C1 : si ; est C 1 , alors ; + t n est C 1 pour tout de
classe C1 des que t est assez petit.
| Les variations d'amplitude constante : si ; est au moins Lip2 , alors ;+ t n
est aussi regulier que ; des que t est assez petit.
Hormis ces deux cas, les variations normales font perdre de la regularite
d'apres le resultat suivant.
Proposition 5.1. Soit ; 2 C m dont aucune partie n'est C m+1 , avec d = 2
et m reel, m 2. Les seules fonctions de classe Cm et inferieures au
rayon de courbure telles que ; + n 2 C m sont les constantes.
u
t
m
On se limite aux variations C car, sinon, on pourrait toujours en trouver
une dont l'irregularite compense exactement celle de ; de sorte que ; + n
soit C 1 (en eet, etant donne ;1 de classe C 1 et voisin de ;, il existe un
et un seul tel que ; + n = ;1 !).
Mais une telle variation serait isolee au sens ou aucune variation voisine ne
preserverait la regularite de ;. On suppose inferieur au rayon de courbure
de ; pour le m^eme motif.
Demonstration. Supposons pour l'instant m entier. E tant donne z 2 ;, on
choisit un systeme de coordonnees (x y ) d'origine z tel que le plan d'equation
y = 0 soit tangent a ; en z . Dans ce repere, ; est le graphe d'une fonction
# 2 Cm (;a a]), a > 0. Une portion de la courbe deformee est ; + n =
f(X (x) Y (x)) : jxj < ag ou
0
X (x) = x ; pe(x)# 0(x) 2 Y (x) = #(x) + p e(x)0 2
1 + j# (x)j
1 + j# (x)j
et e(x) = (x #(x)).
Comme (z ) est inferieur au rayon de courbure en z , il existe un intervalle
;a a] dans lequel X 0 c > 0. De plus X et Y sont Cm;1 et
(m)
(m) #0
X (m;1) = Sm1 ; (1 + je##0(x)j2 )3=2 Y (m;1) = Sm2 ; (1 +ej#
#0 (x)j2)3=2
ou Smi designe une fonction C1 dependant des derivees d'ordre 1 a m ; 1
de e et #. Il resulte donc du lemme 4.1 que ; + n est le graphe d'une
fonction F 2 Cm;1 (;A A]). L'egalite (4.2) donne
F (m;1) X = Sm3 + e #(m) (5:1)
ou = (Y 0 ; X 0 #0 )(1 + j#0 (x)j2);3=2 (X 0 );m .
Par hypothese, #(m) n'est C1 dans aucun voisinage de 0. Au contraire, e
et sont C1 , donc F (m;1) ne peut ^etre C1 dans un voisinage de 0 que si
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
259
e(0) ou (0) = 0. Cette derniere condition se reduit a Y 0(0) = 0 (puisque
#0 (0) = 0) qui elle-m^eme donne e0 (0) = 0. Ceci ne peut ^etre satisfait pour
tout point z de ; que si y est constant.
Reciproquement, quand est constant, (0) = 0 donc (5.1) montre que
F (m;1) est derivable en 0, d'ou ; + n 2 C m .
Lorsque m n'est pas entier, on remplace dans (5.1) m par sa partie entiere
M . Comme #(M ) n'est Cm;M dans aucun voisinage de 0, F (M ;1) ne peut
^etre C1 que si, a nouveau, e(0) ou e0 (0) = 0.
u
t
Cette demonstration montre donc que la regularite n'est preservee qu'aux
points de ; ou ou sa derivee tangentielle est nulle. Dans les autres points,
on perd exactement un ordre de regularite.
Observons qu'en dimension d 3, le resultat de la proposition 5.1 n'est
plus vrai. En eet, si ; est de la forme ;2 Rd;2, les variations independantes de z1 et z2 preservent sa regularite. Pour la generaliser, il faudrait
imposer que ; ne soit C m+1 dans hhaucune direction ii.
Rappelons, pour ^etre complet, que les variations reparties preservent la
regularite. Plus precisement on a le resultat suivant, cf. 18] : Soient ; 2 C m ,
m 1, et u 2 Cm (Rd Rd) tels que ju(z) ; u(z0 )j c jz ; z0 j avec c < 1.
Alors,
; + u 2 C m:
Dans ce resultat C m et Cm peuvent ^etre remplaces respectivement par
Lipm et Lipm moyennant, lorsque m = 1, cf. 3], l'hypothese supplementaire
c c; (; a alors la propriete du c^one uniforme, et on peut choisir c; =
1=(1 + 2 )1=2 ou est la pente du c^one).
6. Annexe
L'objet du resultat suivant est de demontrer que l'ordre de regularite de la
fonction # ne depend pas du systeme de coordonnees utilise, pourvu que
l'on se place dans un repere ou # existe et est lipschitzienne (par contre la
fonction #, elle-m^eme, varie avec le repere).
Lemme 6.1. Soient m 1, ; 2 C m , des coordonnees cartesiennes (zi )
d'origine v 2 ;, un cylindre " = fz : jz?j < a jzd j < ag et une fonction
# 2 Lip1 ("?) tels que : 8z 2 ",
z 2 ; () zd = #(z? ):
Alors il existe b > 0 tel que
# 2 Cm ("? (b)):
u
t
Demonstration. La denition 2.1 fournit un systeme de coordonnees (zbi )
d'origine v , un cylindre "b = fzb : jzb? j < ba jzbd j < bag et une fonction
#b 2 Cm ("c? ) tels que : 8 zb 2 "b ,
zb 2 ; () zbd = #b (zb?)
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
260
D. BRESCH ET J. SIMON
Les proprietes ci-dessus etant conservee par tout changement de variable qui
preserve zbd , on peut se ramener au cas ou
zb2 = z2 : : : zd
d;1 = zd;1 :
On peut alors ecrire :
zb1 = z1 cos + zd sin zbd = ;z1 sin + zd cos :
La propriete z 2 ; \ "(ba) est donc equivalente a &(z ) = 0 ou
&(z ) = ;z1 sin + zd cos ; #b (z1 cos + zd sin z2 : : : zd;1 ):
Par hypothese, elle est aussi equivalente a zd ; #(z? ) = 0 si z 2 "(a). Donc
;
& z? #(z? ) = 0
;
@ z #(z)
pour tout z? 2 "? (b) ou b = inf(a ba). Comme # 2 Lip1 ("? ), @z
d
ne s'annule pas dans "? (b). Les proprietes de derivabilite de la solution d'une
equation implicite montrent alors que # 2 Cm ("? (b)).
u
t
Bibliographie
1] C. Bandle : Existence theorems, qualitative results and a priori bounds for a class of
non-linear Dirichlet problems. Arch. Rational Mech. Anal., 58 1975, 219{238.
2] C. Bardos, O. Pironneau : Petites perturbations et equations d'Euler pour l'aeroelasticite. M 2 AN, 28, 1994, 463{497.
3] J. Bello, E. Fernandez{Cara, J. Lemoine, J. Simon : The dierentiability of the drag
with respect to the variations of a lipschitz domain in a Navier-Stokes ow. SIAM J.
Control Optim., 35, n 2 1997, 626{640.
4] O. Bodart, P. Demeestere : Sentinels for the identication of an unknown boundary.
Math. Models. Methods Appl. Sci., 7, n 6 1997, 871{885.
5] D. Bresch, J. Simon : A remark on the loss of regularity due to normal variations of a
domain. Z. Angew Math. Mech., 76, suppl. 2 ICIAM/GAMM 95, Applied Analysis
1996, 193{196.
6] D. Chenais, J. Monnier, J.{P. Vila : Optimisation de forme pour un systeme uidethermique. Application a l'industrie automobile. 27e Congres d'Analyse Num
erique,
Super-Besse 1995.
7] M. Chouilli, A. Henrot : Use of domain derivative to prove symmetry results in partial
dierential equations. Pr
epublication de Besancon, n 31, 1994.
8] E. Fernandez{Cara : Sobre la approximacion numerica de un problema de control
geometrico. Collect
anea Mathem
atica, 3 (XXXIII), 1982, 225{247.
9] R.H. Ghallagher, O.C. Zienkiewicz : Optimal structural design. Wiley, New York
1973.
10] P.R. Garabeddian, M.M. Schier : Convexity of domain functionnals. J. Anal. Math.
2 1953, 181{263.
11] P. Guillaume : Derivees d'ordre superieures en conception optimale de forme. These,
Universite Paul Sabatier, Toulouse 1994.
12] J. Hadamard : Memoire sur le probleme d'analyse relatif des plaques elastiques encastrees. Oeuvres de J. Hadamard, 2 1907 Ed. C.N.R.S., Paris 1968.
13] A. Henrot, M. Pierre : Optimisation de forme : aspect th
eorique. A para^tre.
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261
SUR LES VARIATIONS NORMALES D'UN DOMAINE
261
14] T. Masanao, N. Fujii : Second{order necessary conditions for domain optimization
problems in elastic structures. J. Optim. Theory Appl., 72, n 2 1992, 355{402.
15] M. Masmoudi : Outils pour la conception optimale de formes. These d'
etat, Universite
de Nice 1987.
16] F. Mignot, F. Murat, J.{P. Puel : Variations d'un point de retournement par rapport
au domaine. Comm. P.D.E., 4 1979, 1263{1297.
17] B. Morel : Utilisation en analyse numerique de la formule de variation de Hadamard.
R.A.I.R.O., R-2 1973, 115{119 .
18] F. Murat, J. Simon : Sur le contr^ole par un domaine geometrique. Rapport du L.A.
189 n 76015, Universite Pierre et Marie Curie, Paris 1976.
19] O. Pironneau : Optimal shape design for elliptic systems. Springer-Verlag, New York
1984.
20] P.{A. Raviart : Problemes de perturbations singulieres et modeles limites sur les
equations de Vlasov-Maxwell. 27e Congres National d'Analyse Num
erique, SuperBesse 1995.
21] B. Rousselet : Quelques resultats en optimisation de domaines. These d'Etat, Universite de Nice 1982.
22] J. Simon : Dierentiation with respect to the domain in boundary value problems.
Numer. Funct. Optimiz., 2 (78) 1980, 649{687.
ESAIM: Cocv, Juin 1998, Vol. 3, 251-261