TD de mécanique des fluides n 1
publicité
CPGE PSI 2005-2006 2 Cinématique des fluides y TD de mécanique des fluides no 1 M r θ x O Cinématique des fluides 1 Écoulement tourbillonnaire et allure des lignes de courant 4 Écoulement entre deux cylindres en rotation 1) On considère l’écoulement caractérisé par le − −e . champ des vitesses → v = ax → y L’écoulement entre deux cylindres d’axe (Oz) en rotation est donné par le champ des vitesses suivant, en coordonnées, cylindriques : ¶ µ B → − → − eθ. v = Ar + r b) Quel est l’allure des lignes de courant ? Commentaire. 2) On considère l’écoulement caractérisé par le − −e en coordonchamp des vitesses → v = Γ/(2πr )→ θ nées polaires. a) Cet écoulement est-il tourbillonnaire ? b) Quel est l’allure des lignes de courant ? Commentaire. 2 Écoulement laminaire On considère l’écoulement laminaire dont le champ de vitesses a pour expression → − − v = v (y)→ ex . Eddie S AUDRAIS — Auxerre 2005-2006 Étudier cet écoulement (on cherchera à en donner le maximum de caractéristiques). 3 Écoulement non stationnaire On considère un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est de la forme → − −e + a sin ωt → −e . v (M, t ) = (−kx + bt )→ x y 1) Caractériser cet écoulement. 2) Déterminer les trajectoires des particules de fluide et les lignes de courant. 3) Calculer l’accélération d’une particule de fluide de deux manières différentes. → − −e + v (r, θ)→ −e . v (M) = v r (r, θ)→ r θ θ 1) Montrer que l’écoulement est potentiel. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par le potentiel des vitesse φ(r, θ) ? 2) La solution générale de cette équation est de la forme φ(r, θ) = α0 ln r + β0 + Ce champ des vitesses correspond-il à : — un écoulement stationnaires ? — un écoulement incompressible ? — un écoulement rotationnel ? Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cylindres sont correctes. Existe-t-il un potentiel des vitesses ? + 1) En utilisant la conservation de la masse, donner l’expression de v (r, t ) et fonction de r , du rayon de la bulle R(t ) et de sa dérivée. 2) Déterminer le champ des accélérations. 6 Écoulement autour d’un cylindre On considère un cylindre d’axe horizontal Oz et de rayon R, en mouvement rectiligne uniforme à la vi→ − tesse U e x dans le référentiel terrestre RT . n=1 ∞ ¡ X n αn r + βn r γn r n + δn r −n ¢ −n ¢ cos(nθ) sin(nθ) , où αn , βn , γn et δn sont des constantes. a) Par des considérations de symétrie, montrer que γn = 0 et δn = 0, ∀n. b) Que vaut la vitesse du fluide loin du cylindre ? En déduire l’expression du potentiel des vitesses φ loin du cylindre. Montrer que l’on a α1 = −U et αn = 0, ∀n 6= 1. 5 Écoulement radial On considère une bulle sphérique de rayon R(t ), dont les variations engendrent un écoulement dans le fluide, caractérisé par un champ des vi→ − → − tesses de la forme v (M, t ) = v (r, t ) e r en coordonnées sphériques, le fluide étant supposé parfait et incompressible. ∞ ¡ X n=1 Eddie S AUDRAIS — Ne pas apprendre son cours est un délit a) Cet écoulement est-il tourbillonnaire ? On se place dans le référentiel R lié au cylindre, dans lequel l’écoulement sera supposé stationnaire, incompressible, irrotationnel et plan, invariant par translation le long du cylindre. En coordonnées cylindriques, le champ des vitesses est donc de la forme c) En utilisant la condition aux limites sur la surface du cylindre, montrer que β1 = −R 2U et βn = 0, ∀n > 2. d) Donner alors l’expression du potentiel φ(r, θ), et en déduire l’expression du champ des vitesses. → − − 3) Déterminer les points d’arrêt (→ v = 0 ). Déterminer la vitesse sur le cylindre. En quels − points a-t-on k→ v k <U ? Commenter ces résultats en s’aidant de la représentation des lignes de courant : 7 Étude cinétique d’une tornade On décrit une tornade par un écoulement incompressible à symétrie cylindrique autour d’un axe Oz, décrit en coordonnées cylindriques par un − − champ de vitesses de la forme → v = v θ (r )→ e θ et un → − vecteur tourbillon Ω uniforme au sein de la tornade et nul en dehors : ( → − Ω0 e z → − Ω= → − 0 pour r 6 a pour r > a. 1) En utilisant le théorème de Stokes sur un cercle de rayon r , établir l’expression de v θ (r ) pour r 6 a et r > a. Où la norme de la vitesse est-elle maximale ? 2) On appelle vortex le cas limite obtenu lorsque Γ , où Γ est une a → 0 et Ω0 → ∞, avec Ω0 a 2 = 2π constante finie. a) Chercher un potentiel des vitesses φ tel que → − −−−→ v = grad φ pour r 6= 0. Comparer φ(r, θ = 0) et φ(r, θ = 2π) et conclure. b) Montrer que la superposition d’un vortex d’axe Oz à l’écoulement dérivant du potentiel ¶ µ R2 cos θ φ = −U r + r étudié dans l’exercice 6 (écoulement autour d’un cylindre) satisfait encore aux conditions aux limites sur le cylindre et à l’infini, et est irrotationnel. → − Calculer la circulation de v sur le cercle de rayon R et de centre O.
