CCP Maths 1 PC 2003 — Corrigé

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CCP Maths 1 PC 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter
Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce sujet propose une étude des matrices symétriques réelles. Il comporte deux
parties liées, des résultats généraux démontrés dans la première partie étant réutilisés
dans la seconde.
La première partie se propose de démontrer certains résultats classiques sur les
matrices, et en particulier sur les matrices symétriques, positives ou définies positives.
La seconde partie a pour objectif de caractériser de différentes manières une matrice symétrique réelle et définie positive, en particulier par le biais de différents
exemples calculatoires. Elle aboutit au résultat final suivant : une matrice symétrique
réelle d’ordre 3 est définie positive si, et seulement si, les déterminants des matrices
supérieures gauches d’ordre 1, 2 et 3 extraites de cette matrice sont strictement
positifs.
Peu de questions de ce problème sont vraiment difficiles, mais il utilise des techniques classiques d’algèbre bilinéaire et de diagonalisation, qu’il est nécessaire de bien
maîtriser. Il traite d’algèbre réelle, mais peut tout à fait être étendu à des espaces
vectoriels plus généraux. De plus, des exemples sont fréquemment demandés en petites dimensions, ce qui suppose d’avoir bien compris ce que l’on fait. En résumé,
c’est un bon problème de révision pour cette partie du programme.
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Indications
Partie I
I.1 Faire les calculs directement, sans repasser par les coordonnées.
I.2 Utiliser la propriété rappelée au début de l’énoncé.
I.4.a Pour le sens direct, utiliser la propriété avec un vecteur propre.
Pour la réciproque, se placer dans une base de diagonalisation.
I.5.b Trouver deux matrices diagonales A et B telles que le spectre de A−B contienne
un élément positif et un négatif.
I.6.b Considérer, pour tout i, une base de diagonalisation de vi .
I.7.a Utiliser la question précédente pour le sens direct, et faire le calcul directement
pour la réciproque.
I.7.b Diagonaliser A et utiliser la question I.6.b pour trouver une base convenable.
I.8 Diagonaliser S1 et S2 dans la même base.
I.9.a Factoriser S2 2 − S1 2 et utiliser les propriétés démontrées aux questions I.2
et I.8.
Partie II
II.1 Démontrer par exemple a ⇒ b ⇒ c ⇒ d ⇒ a, en utilisant la question I.4.a.
II.2.c Faire le calcul et résoudre le système obtenu.
II.3.b Utiliser la caractérisation de la projection.
II.3.d Utiliser la formule du changement de base pour exprimer M à partir de T.
II.4.c Pour le sens direct, raisonner par contraposée.
II.4.d Construire un raisonnement par récurrence à partir de la question II.4.c.
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Partie I
I.1.a Soient (X, Y) ∈ (Mn,1 (R))2 . On a
t
X Y = hX | Yi = hY | Xi = t Y X
On pouvait aussi écrire que la matrice t X Y, d’ordre 1, est nécessairement
symétrique.
I.1.b On a ( t X Y)2 = ( t X Y)( t X Y). Pour obtenir la première égalité, on applique
le résultat de la question précédente au deuxième terme ; pour obtenir la seconde
égalité, on l’applique au premier terme. Par suite,
t
t
t
t
t
( X Y)2 = X(Y Y)X = Y(X X)Y
I.1.c Soit S ∈ Sn (R). On a d’une part,
t
et d’autre part,
t
t
X SY = X(SY) = hX | SYi
X SY = t X t S Y = t (SX) Y = hSX | Yi
d’où
hX | SYi = hSX | Yi
I.2.a Soient (S1 , S2 ) ∈ (Sn+ (R))2 . Pour tout X ∈ Mn,1 (R), on a
t
t
t
X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0
S1 + S2 ∈ Sn+ (R)
donc
I.2.b Soient S1 ∈ Sn+ (R) et S2 ∈ Sn++ (R). Pour tout X ∈ Mn,1 (R) non nul, on a
t
t
t
X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0
| {z } | {z }
>0
>0
S1 + S2 ∈ Sn++ (R)
donc
I.2.c Soit A ∈ Mn (R). Pour tout X ∈ Mn,1 (R), on a
t
donc
t
t
X A AX = (AX) AX = kAXk2 > 0
t
A A ∈ Sn+ (R)
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I.3.a Soit S ∈ Sn (R) telle que ∀X ∈ Mn,1 (R),
propre de S et X un vecteur propre associé. On a
t
t
0 = X SX = X λX = λ kXk2
| {z }
t
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X SX = 0. Soient λ une valeur
donc
λ=0
6=0
Par définition, un vecteur propre est toujours non nul. Le sous-espace propre
associé à une valeur propre est formé de l’union des vecteurs propres associés
et du singleton {0}, mais 0 n’est jamais un vecteur propre.
On en déduit que toutes les valeurs propres de S sont nulles. Or S est symétrique
réelle, donc diagonalisable, ce qui montre que S est semblable à la matrice nulle.
Par suite,
S=0
On a un résultat un peu plus fort que celui utilisé ici : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormale. En particulier,
ses sous-espaces propres propres sont orthogonaux deux à deux, ce qui peut
être utile pour déterminer une base propre en petite dimension. En effet,
en dimension 3 par exemple, si les trois valeurs propres sont distinctes et
que l’on a trouvé une base des deux premiers sous-espaces propres, le troisième vecteur de la base peut être pris comme étant le produit vectoriel des
deux autres (de même si les deux premiers vecteurs forment une base d’un
sous-espace propre de dimension 2).
I.3.b On cherche une matrice M non nulle, carrée et d’ordre 3 telle que
t
∀X ∈ M3,1 (R)
X MX = 0
t
Une telle matrice est nécessairement antisymétrique. En effet, M +M
t
est symétrique et, pour tout vecteur X ∈ M3,1 (R), 0 = X MX. On en déduit
t t
t
t
t
0 = X MX+ ( X MX) = X(M+ M)X, donc la question précédente montre
t
que M + M = 0, puis que M est antisymétrique.
De plus, n’importe quelle matrice antisymétrique convient. En effet,
si M est antisymétrique et si X est un vecteur,
t
t
X MX = ( t X MX) = t X t M X = − t X MX
t
donc X MX = 0. Il ne reste plus qu’à choisir une matrice antisymétrique.
On peut proposer la matrice

0 0
A = 0 0
0 1

0
−1
0
En effet, pour tout X ∈ M3,1 (R),
t
X AX = x1
x2
= x1
x2
 
0
0
x1
x3
0 −1 x2 
1
0
x3

0
x3 −x3  = 0
x2

0
0
0

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