Opération reste commentaire On divise a par b Si r0 - index - mf-go

Chapitre. II :
- Tale S spécialité maths 2010 – 2011
PGCD de deux entiers -
I. Activité :
Rechercher les diviseurs communs à 12 et 18
II. Le Plus Grand Commun Diviseur
1°/ Diviseurs communs à deux entiers :
Propriété de réduction : (admise)
Soit
l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers
–
–
Corollaire
*
* Si divise ,
et .
où r est le reste de la division euclidienne de
[l’ensemble des diviseurs de b]
par .
Remarques :
* Les diviseurs communs à 0 et sont les diviseurs de pour tout
.
* Les diviseurs communs à 1 et sont – 1 et 1 pour tout
* Deux entiers non nuls ont un nombre fini de diviseurs, alors il en existe un plus grand que les autres .
Définition
Le plus grand commun diviseur à
Il est noté :
est appelé le PGCD de
PGCD(a ; b).
et de ,
Conséquence :
si, et seulement si,
.
Démo :
2°/ PGCD et algorithme d’Euclide :
Lemme d’Euclide
désignent des entiers relatifs non nuls.
Si
Démo :
Algorithme d’Euclide : a IN* et b IN*, avec a > b.
On remplace
par des couples de nombres de plus en plus petits, qui ont le même ensemble de diviseurs communs
Opération
reste
On divise a par b
r0
r1
Si r0 ≠ 0, on divise b par r0
r2
Si r1 ≠ 0, on divise r0 par r1
⋮
⋮
rn
0
Si rn – 1 ≠ 0, on divise rn – 2 par rn – 1
0
Si rn ≠ 0, on divise rn – 1 par rn
Ci-dessus, on note rn le dernier reste non nul.
commentaire
0 r0 < b et PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r0)
0 r1 < r0 et PGCD(b ; r0) = PGCD(r0 ; r1)
0 r2 < r1 et PGCD(r0 ; r1) = PGCD(r1 ; r2)
⋮
rn < rn – 1 et PGCD(rn – 2 ; rn – 1) = PGCD(rn – 1 ; rn)
PGCD(rn – 1 ; rn) = rn
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PGCD de deux entiers -
On trouve forcément un reste nul, en effet, les restes sont des entiers positifs qui vont en décroissant strictement
( 0<
et
Propriété
est égal au dernier reste non nul obtenu par l’algorithme
Si ne divise pas , le PGCD des entiers naturels non nuls
d’Euclide.
Un exemple : recherche du PGCD de 1078 et 322 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On écrit les divisions euclidiennes successives …
L’utilisation d’un tableur est intéressante.
3°/ Propriétés du PGCD :
Propriété :
Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls
et
sont les diviseurs de
.
Démo :
Propriété :
Si on multiplie deux entiers naturels non nuls
par un même entier naturel
≠
, leur
est multiplié par
soit :
Démo :
Un exemple :
Conséquence :
Si est un entier naturel non nul, diviseur commun à
et , alors :
Un exemple :
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PGCD de deux entiers -
Identité de Bézout :
désignent deux entiers relatifs non nuls.
, alors il existe des entiers relatifs
Si
Démo :


–


–
 
–

tels que
–
Si et sont des entiers naturels, on suppose par exemple que
et ne divise pas .
L’algorithme d’Euclide s’écrit :
q0 + r0 ;
r0 q1 + r1 ; … ; rn-2 = rn-1 qn + rn ; rn-1 = rn qn+1 avec 0 < rn < rn – 1 < … < r0 < .
D’où, r0 = – q0 = u0 + v0 avec u0 = 1 et v0 = – q0
r1 = – r0 q1 = + ( – q0) × (– q1) = × (– q1) + × (1 + q0 q1) = u1 + v1 avec u1 = – q1 et v1 = 1 + q0 q1
En réitérant ce procédé, on montre que tous les restes rk, avec 0
, obtenus dans l’algorithme d’Euclide s’écrivent sous la
forme rk = uk + vk, où uk et vk sont des entiers relatifs qui s’expriment en fonction de q 0, q1, …, qk, et en particulier le dernier
reste non nul rn qui est le PGCD de et .

Les autres cas, par exemple
et
se ramènent aux cas précédents : –
il existe un couple
d’entiers relatifs tels que
–
Il existe donc des entiers relatifs
–
et
tels que
Remarque :
Le couple
et
étant entiers naturels,
n’est pas unique.
Par exemple, pour
et
Or, 1 = 3 × 1 + 2 × (– 1) d’où
Exemple:
Déterminer un couple
, on obtient PGCD(3 ; 2) = 1.
et
ou 1 = 3 × (– 1) + 2 × 2
d’où
et
d’entiers tels que
1/ on écrit l’algorithme d’Euclide ;
2/ on isole les restes:
(feuille annexe)
4°/ Nombres premiers entre eux
Définition : Dire que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.
Exemples : 25 et 27 ,
et
Quotient de deux entiers non nuls par leur PGCD
désignent deux entiers relatifs non nuls.
Si
, alors il existe des entiers relatifs
( Les nombres et sont premiers entre eux)
Démo :
IV.
et
premiers entre eux tels que
(feuille annexe)
Théorème de Bachet-Bézout :
Deux entiers relatifs non nuls
que
Démo :
sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs
tels
(feuille annexe)
Exemple:
désigne un entier naturel non nul. Appliquer le théorème à
et
, puis à
et
.
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V. Théorème de Gauss :
1°/ Théorème :
et désignent trois entiers relatifs non nuls.
divise le produit
et si est premier avec
Si
, alors
divise
Démo :
Remarque :
Vérifier que est premier avec car peut diviser
Par exemple, 6 divise 300 , or 300 = 15 × 20 et
en ne divisant ni , ni
2°/ Conséquences :
Propriété :
et désignent des entiers relatifs non nuls et un nombre premier.
Si divise le produit
alors
divise
ou
divise .
Rappel : définition d’un nombre premier
Démo :
Propriété :
Si
et
désignent des entiers relatifs non nuls
sont premiers entre eux et si chacun d’eux divise
, alors
divise
.
Démo :
Ex 1 :
5 et 9 sont premiers entre eux et divisent 1 035, alors .
Ex 2 : Démontrer que 6 divise
avec
IN.
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