Chapitre : situations de proportionnalité

Chapitre : situations de proportionnalité
I le temps
Les heures (h), minutes (min) et secondes (s) sont des grandeurs proportionnelles deux à deux.
Voici le schéma de conversion facile à retrouver lorsqu’on sait que 1 h = 60 min et 1 min = 60 s
× 3600
× 60
× 60
min
h
: 60
: 60
: 60
: 3600
s
: 3600
exemples : 12 min = 0,2 h et
36 s = 0,01 h
donc 3 h 12 min 36 s = 3h + 0,2 h + 0,01 h = 3,21 h
5,83 h = 5 h + 0,83 h = 5 h 49,8 min = 5 h 49 min + 0,8 min = 5 h 49 min 48 s
II la vitesse
× 60
× 60
Définition : La vitesse moyenne V d’un objet qui parcourt une distance d en un temps t est définie par : V =
d
t
600
= 120 km/h
5
Remarque 1 : Si l’automobiliste roule constamment à 120 km/h alors la distance qu’il parcourt est
proportionnelle à au temps qu’il met pour la parcourir.
V d
Remarque 2 : la formule = est utile pour calculer une vitesse. Avec la règle de trois pour les équations, on
1 t
V×t
retrouve facilement les formules : d =
utile pour calculer une distance
1
d×1
utile pour calculer un temps
et t =
V
Remarque 3 : L’unité de vitesse dépend des unités de distance et de temps. On peut donc convertir les unités
de vitesse en changeant les unités de d et de t.
120 km 120 000 m
Exemples : 120 km/h =
=
= 2 000 m/min
1h
60 min
340 m/s = 1 224 000 m/h = 1 224 km/h (faire 340 m en 1s revient à faire 1 224 km en 1h)
Remarque : La calculatrice convertit les « h min s » en « h » avec la touche ο (sur la casio fx 92 !).
Exemple : pour entrer 2 h 30 min 36 s, taper 2°30°36° puis « exe » donne 2,51 h en appuyant sur ο .
Exemple : Un automobiliste parcourt 600 km en 5 h. Sa vitesse moyenne est donc de V =
III reproduction de figure
On peut agrandir ou réduire une figure : on parle alors de reproduction de figure.
Définitions : Lors d’une reproduction de figure, les longueurs de la figure finale sont proportionnelles aux
longueurs de la figure initiale. L’échelle d’une reproduction de figure est le coefficient de proportionnalité
pour passer des longueurs sur la figure initiale aux longueurs de la figure finale.
longueur sur la figure finale
Pour calculer l’échelle e d’une reproduction, on utilise la formule e =
longueur sur la figure initiale
Si e > 1 alors il s’agit d’un agrandissement.
Si e < 1 alors il s’agit d’une réduction.
Si e = 1 alors il s’agit d’une reproduction en vraies grandeurs.
Propriété d’une reproduction de figure: Suite à la reproduction d’une figure, les longueurs sont multipliées par
l’échelle et les mesures des angles sont conservées (c'est-à-dire qu’elles ne changent pas).
IV Thalès
Théorème de Thalès (admis) : On considère un triangle ABC. M est un point de [AB] et N un point de
[AC].
AB AC BC
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors on a :
=
=
AM AN MN
A
(MN) // (AB)
1,2 cm
M
1,5 cm
N
4,5 cm
B
C
Question : Calculer AB.
Réponse : J’applique le théorème de Thalès :
M ∈ [AB]
AB AC BC
N ∈ [AC]
donc
=
=
AM AN MN
( MN ) // ( BC )
On a :
AB 6
1,2 × 4,5
=
donc AB =
= 3,6 cm (on utilise la règles de trois pour les équations)
1,5
1,1 1,5
Remarque : on a aussi
AM AN MN
grand
petit
=
=
. Il faut choisir
ou
puis être cohérent.
AB AC BC
petit
grand
Exercice 1 : Sur cette figure, le triangle A’B’C’ est B
une reproduction du triangle ABC.
a ) Quelle est l’échelle de cette reproduction ?
b ) S’agit-il d’un agrandissement ou d’une réduction ?
☺ et [A’C’] ?
c ) Combien mesurent A’B’C’
A'
C'
63°
B'
Activité : Sur la figure de droite, la petite maison a
été agrandie : On a « zoomé » sur le point A de tel
sorte qu’avant l’agrandissement, il y avait la petite
maison et après l’agrandissement, on a obtenu la
grande maison.
a ) Après l’agrandissement, où se retrouve le point
P ? Et O ? Et N ?
En quoi ont été agrandi : les segments [MO] et
[NA], le triangle AMN ?
A
C
5 cm
O'
P'
B
b ) La grande maison est combien de fois plus
grande que la petite ? Trouve 5 fractions de longueur
qui valent 3.
O
M
P
c ) Trouve 3 paires de droites parallèles.
Exercices pour préparer le contrôle (avoir sa calculatrice)
C
Exercices 71, 72, 73 P 102 + l’exercice de cette feuille + 26 P 230
Eléments de correction des exercices pour préparer le contrôle
71, 72, 73 P 102 : corriger P 274-275
(42 km ; ≈45,8 km/h ; 0,475 h = 28,5 min)
26 P 230 corrigé p286
refaire exercice 2 de la feuille :
A’B’ 3
a ) échelle e =
= = 0,75
AB 4
b ) c’est une réduction car :
A'B'C' est plus petit que ABC
ou bien l’échelle est plus petite que 1
☺ =☺
c ) B’A’C’
BAC = 63°
A’C’ = e × AC = 0,75 × 5 = 3,75 cm
N
A