Partie réelle et partie imaginaire d`un nombre complexe Réel et

Nombres complexes – Partie réelle et partie imaginaire
Exercices corrigés
Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)




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Exercice 1 : donner la partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe écrit sous forme algébrique
Exercice 2 : effectuer des opérations sur les complexes pour en préciser les parties réelle et imaginaire
Exercice 3 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme de termes ik selon k
Exercice 4 : comprendre les notions de nombre réel et de nombre imaginaire pur
Exercice 5 : montrer qu’un nombre complexe est un réel ou un imaginaire pur (plusieurs méthodes)
Exercice 6 : déterminer la valeur d’un paramètre pour qu’un complexe soit un réel ou un imaginaire pur
Exercice 7 : résoudre une équation dans l’ensemble des complexes en utilisant l’égalité de 2 nombres
Exercice 8 : utiliser une forme trigonométrique pour connaitre une partie réelle et une partie imaginaire
Exercice 9 : utiliser une forme exponentielle pour démontrer des formules trigonométriques
Exercice 10 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la puissance d’un complexe
Exercice 11 : démontrer qu’un complexe est un réel
Exercices 12 : déterminer un ensemble de points M(z) tel que z² soit un réel ou un imaginaire pur
Exercice 13 : déterminer un ensemble de points M(z) en utilisant une fonction de z
Exercice 14 : exhiber les solutions d’une équation en utilisant deux méthodes (analytique, géométrique)
Exercice 15 : étudier le nombre complexe in selon la valeur de l’entier naturel n
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1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe écrit sous sa forme algébrique
Soit un nombre complexe
tel que
(avec
et
réels). Alors l’écriture
est appelée forme
algébrique (ou écriture cartésienne) de ce complexe. Par ailleurs, on dit que :

est la partie réelle de et on la note

est la partie imaginaire de et on la note
Donc
Donc
Donc
et
et
et
Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie réelle d’un nombre complexe est nulle, alors ce
complexe est un imaginaire pur. Ici, est un imaginaire pur.
Donc
et
Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie imaginaire d’un nombre complexe est nulle, alors
ce complexe est un réel. Ici, est un réel.
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2
Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
⏟
Donc
et
Rappel : Opérations dans
L’ensemble
est muni d’une addition et d’une multiplication (ainsi que d’une soustraction et d’une division),
qui possèdent les mêmes propriétés et règles de calcul que dans l’ensemble
applicables dans
le sont également dans . En outre, dans l’ensemble des complexes,
(
Donc
. Les identités remarquables
.
)
et
Remarque : Pour ne plus avoir de nombre imaginaire pur au dénominateur, on multiplie (ou on divise) le
numérateur et le dénominateur par .
(
Donc
)
et
Remarque : Pour ne plus avoir de nombre complexe au dénominateur, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur.
Rappel : Conjugué d’un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe
̅
. On a donc
(avec
et
réels) est le nombre complexe noté ̅ défini par
et
.
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3
Donc
et
Rappel : Produit d’un nombre complexe par son conjugué
Le produit d’un nombre complexe
(avec
. On a donc
et
réels) par son conjugué ̅
est égal à
.
Remarque importante : Autrement dit, le produit d’un nombre complexe
carré du module de , noté | |. On a donc
̅
par son conjugué ̅ est égal au
| | .
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4
Exercice 3 (1 question)
Niveau : moyen
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
tel que :
Correction de l’exercice 3
∑
Retour au menu
On remarque que le nombre complexe
est la somme des termes d’une suite géométrique de raison .
Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit
une suite géométrique de raison
. Alors la somme
des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec
où
désigne le rang à partir duquel la suite
est définie :
∑
∑
Donc
⏟
et
.
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5
Exercice 4 (1 question)
Niveau : facile
Parmi les nombres complexes suivants, certains sont des réels ou des imaginaires purs. Les préciser.
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
Rappel : Nombre réel et nombre imaginaire pur
 Dans l’ensemble des complexes, un réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.
Autrement dit, un nombre complexe
si
tel que
. Les réels sont donc de la forme
(avec
et
réels) est un réel si et seulement
.
 Dans l’ensemble des complexes, un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est
nulle. Autrement dit, un nombre complexe
pur si et seulement
tel que
Comme
Comme
,
et
. Les imaginaires purs sont donc de la forme
Remarque : L'ensemble des imaginaires purs peut être noté
donc
(avec
réels) est un imaginaire
.
.
n’est pas un imaginaire pur. De plus, comme
,
est un imaginaire pur. En outre, comme
,
n’est pas un imaginaire pur. Mais, comme
,
,
n’est pas un réel.
n’est pas un réel.
est un réel.
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6
Comme
, est un imaginaire pur. De plus, comme
le nombre complexe nul.
,
est un réel. En définitive,
est
Rappel : Le nombre complexe nul est le seul nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont
nulles.
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Exercice 5 (3 questions)
Niveau : facile
Soient les nombres complexes
et
tels que
et
.
1) Vérifier que
est un nombre réel.
2) Vérifier que
est un nombre imaginaire pur.
3) Que peut-on en déduire de et ?
Correction de l’exercice 5
Retour au menu
Rappel : Nombre réel et nombre imaginaire pur
Pour montrer qu’un nombre complexe
est un réel, on peut indifféremment montrer :
1) que sa partie imaginaire est nulle, c’est-à-dire que
2) qu’il est égal à son conjugué (ou que la différence entre ce nombre et son conjugué est nulle), c’est-àdire que
3) que ce nombre est non nul et qu’il admet un argument de la forme
, c’est-à-dire que
Pour montrer qu’un nombre complexe est un imaginaire pur, on peut indifféremment montrer :
1) que sa partie réelle est nulle, c’est-à-dire que
2) qu’il est égal à l’opposé de son conjugué (ou que la somme entre ce nombre et son conjugué est nulle),
c’est-à-dire que
3) que ce nombre est non nul et qu’il admet un argument de la forme
(
, c’est-à-dire que
)
1) Vérifions que
est un nombre réel.
1ère méthode : On effectue directement l’opération.
Comme
,
est un nombre réel.
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2e méthode : On écrit les complexes sous leur forme algébrique puis on effectue l’opération.
Comme
,
est un nombre réel.
3ème méthode : On utilise le conjugué.
Rappel : Propriétés des conjugués de nombres complexes
Soient deux nombres complexes et
et soit un entier naturel
non nul.
 Le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués, c’est-à-dire :
 Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués, c’est-à-dire :
( )
 Le conjugué d’un quotient est égal au quotient des conjugués, c’est-à-dire :
 Le conjugué d’une puissance est égal à la puissance du conjugué, c’est-à-dire :
(
)
Rappel : Somme d’un complexe et de son conjugué
Soit un nombre complexe . Alors
Il vient alors que
. Autrement dit, le nombre
. Par conséquent,
2) Vérifions que
est un réel.
est un nombre réel.
est un nombre imaginaire pur.
1ère méthode : On effectue directement l’opération.
Comme
,
est un nombre imaginaire pur.
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2e méthode : On écrit les complexes sous leur forme algébrique puis on effectue l’opération.
D’après la question précédente, on a :
(
Comme
,
)
est un nombre imaginaire pur.
3ème méthode : On utilise le conjugué.
Rappel : Différence d’un complexe et de son conjugué
Soit un nombre complexe . Alors
On a vu que
, d’où
un nombre imaginaire pur.
. Autrement dit, le nombre
. Par conséquent, comme
est un imaginaire pur.
,
est
3) On déduit des résultats précédents que
et
sont des nombres complexes conjugués, ce que nous
ème
avions d’emblée observé en proposant la 3 méthode.
Remarque : Outre les 3 méthodes abordées dans cet exercice, d’autres méthodes peuvent être utilisées, qui
seront appréhendées ci-après dans cette fiche.
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Exercice 6 (2 questions)
Soit
et soit
Niveau : facile
tel que
.
1) Déterminer la(les) valeur(s) du réel
2) Déterminer la(les) valeur(s) du réel
pour que
pour que
soit un réel.
soit un imaginaire pur.
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
Tout d’abord, observons que
et
1) Déterminons la(les) valeur(s) du réel
Posons
Comme
.
pour que
soit un réel.
le discriminant du trinôme du second degré
, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
. Alors
.
√
Ainsi,
√
est un réel si et seulement si
ou
2) Déterminons la(les) valeur(s) du réel
Posons
Comme
soit un imaginaire pur.
le discriminant du trinôme du second degré
, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
Ainsi,
pour que
.
√
√
√
est un imaginaire pur si et seulement si
. Alors
√ ou
.
√
√
√ .
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Exercice 7 (2 questions)
Niveau : difficile
̅
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
2) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
.
.
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
Rappel : Egalité de nombres complexes – Nombres complexes égaux
Deux nombres complexes
sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et
et
même partie imaginaire, c’est-à-dire si et seulement si
Soit le nombre complexe
où
Alors
et
Pour tout
.
̅
l’équation
.
.
et
1) Résolvons dans
et
.
,
̅
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Par conséquent, comme
{
{
̅
,
{
{
(
{
)
(
)
{
{
{
{
{
Posons le discriminant du trinôme du second degré
. Alors
, le trinôme n’admet aucune racine réelle. Par conséquent, il vient que :
√
√
̅
{
√
. Comme
√
{
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L’ensemble des solutions de l’équation
2) Résolvons dans
Pour tout
l’équation
̅
est : {
√
√
}
.
,
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
{
Par conséquent,
Si
, c’est-à-dire
, alors
Or, d’après
{
,
.
donc
.
. Alors, résoudre l’équation
revient à résoudre l’équation
. En posant le discriminant du trinôme du second degré
d’inconnue , il vient que
. Comme
, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
Posons
avec
√
Mais comme
√
, c’est-à-dire
, seule est à retenir la racine réelle positive
Ainsi,
. Enfin, si
, alors
.
et si
, alors
.
On vérifie alors aisément que les nombres complexes
En effet,
et
En définitive, les solutions de l’équation
et
(
sont solutions de l’équation donnée.
)
sont les nombres complexes
et
.
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Exercice 8 (5 questions)
√
Soient
1)
2)
3)
4)
√
Niveau : moyen
,
et
trois nombres complexes.
Ecrire sous sa forme algébrique.
Déterminer le module et un argument de
Déterminer le module et un argument de
Ecrire sous forme trigonométrique.
(
5) En déduire les valeurs exactes de
.
.
) et
(
).
Correction de l’exercice 8
1) Ecrivons
√
√
√
Retour au menu
sous sa forme algébrique.
√
√
√
√
(√
√ )
√
√
√
√
√
√
(√
√ )
√
2) Déterminons le module puis un argument de
.
Rappel : Module et argument d’un complexe
⃗
Soit
le point d’affixe
un repère orthonormal direct du plan complexe et soit
(où
et
désignent des réels non tous nuls).

est le nombre réel positif, noté | | ou , défini par :
Le module de
√
| |

Un argument de
(
), noté
l’angle orienté ( ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
| |
|
√
√
|
|
√
(
√
, définie par : {
) |
√
√
est défini par
√( √ )
(
√ √
√
√
√
{
ou , est une mesure de
√
⃗
.
)
√
√
donc
√
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3) Déterminons le module puis un argument de
| |
|
|
|
|
√
.
√
√
√
est défini par {
√
donc
√
4) Ecrivons
sous forme trigonométrique.
Rappel : Forme trigonométrique d’un complexe non nul
Soit un nombre complexe
non nul de module | |
l’écriture
et dont un argument est
. Alors
est une forme trigonométrique du complexe .
Remarques importantes :

Il existe plusieurs formes trigonométriques d’un même complexe
non nul puisqu’il existe plusieurs
arguments de .

Le nombre complexe nul
D’après la 2e question, | |
n’admet pas de forme trigonométrique puisqu’il n’a pas d’argument.
√ et
s’agit ici d’une écriture trigonométrique du nombre complexe
D’après la 3e question, | |
Ainsi, comme
| |
| |
√ (
(
)
(
)). Il
. Donc
√ (
(
)
(
)). Il
.
√ et
s’agit ici d’une écriture trigonométrique du nombre complexe
. Donc
.
, on obtient les résultats suivants :
| |
| |
√
√
Rappel : Propriétés des modules de nombres complexes
Soient deux nombres complexes et
et soit un entier naturel
non nul.
 Le module d’une somme est inférieur ou égal à la somme des modules, c’està-dire :
|
|
| |
| |
(inégalité triangulaire complexe)
 Le module d’un produit est égal au produit des modules, c’est-à-dire :
 Le module d’un quotient est égal au quotient des modules, c’est-à-dire :
 Le module d’une puissance est égal à la puissance du module, c’est-à-dire :
|
|
| || |
| |
| |
| |
|
|
| |
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( )
(
)
Rappel : Propriétés des arguments de nombres complexes
Soient deux nombres complexes et
non nuls et soit un entier naturel
non nul.
 Un argument d'un produit est égal à la somme des
arguments, c’est-à-dire :
 Un argument d’un quotient est égal à la différence des
( )
arguments, c’est-à-dire :
 Un argument d’une puissance est égal au produit de la
[
puissance par l’argument, c’est-à-dire :
Par conséquent, une écriture trigonométrique de
(
est
5) Déduisons de ces résultats les valeurs exactes de
(
)
) et
(
(
[
]
[
]
]
).
).
On a montré respectivement à la 1ère question et à la question précédente que :
√
⏟
√
√
⏟
√
⏟
(
)
⏟
(
)
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,
d’où les égalités suivantes :
(
)
√
√
(
)
√
√
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Exercice 9 (1 question)
Niveau : moyen
deux réels. En utilisant la notation exponentielle d’un complexe, retrouver les quatre formules
Soient et
suivantes :
1)
2)
3)
4)
Correction de l’exercice 9
Retour au menu
Rappel : Forme exponentielle d’un complexe non nul
non nul de module | |
Soit un nombre complexe
l’écriture
et dont un argument est
. Alors
est une forme exponentielle du complexe .
Remarques importantes :

Il existe plusieurs formes exponentielles d’un même complexe

Le nombre complexe nul
Soient
et
non nul.
n’admet pas de forme exponentielle.
deux réels.
1) et 2) Montrons tout d’abord les deux premières égalités (formules d’addition).
Rappel : Propriétés des nombres complexes écrits sous forme exponentielle
Pour tout nombre réel , on a |
|
En outre, pour tous nombres réels
(
et
et
[
)
].
, on a :
Remarque importante : On a par ailleurs les valeurs remarquables suivantes :
(
D’une part,
)
⏟
⏟
( (
(
D’autre part,
))
.
( (
))
)
⏟
⏟
(
)
(
)
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Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Ainsi,
(
)
{
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
(
)
{
3) et 4) Montrons enfin les deux dernières égalités (formules de duplication).
Rappel : Formule d’Abraham De Moivre
Pour tout réel
et pour tout entier , (
D’une part,
⏟
, c’est-à-dire
.
⏟
(
(
D’autre part,
)
)
(
)
)
⏟
⏟
((
) )
((
) )
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Ainsi,
(
)
{
(
)
((
) )
(
)
((
) )
{
Remarque : On pouvait obtenir ces deux derniers résultats en utilisant les deux premiers. En effet, en
remplaçant par , on obtenait :
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18
Exercice 10 (2 questions)
Niveau : moyen
√
On donne le nombre complexe
complexes
,
et
. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres
.
1) en utilisant la forme algébrique.
2) en utilisant une forme exponentielle.
Correction de l’exercice 10
Retour au menu
1) 1ère méthode : On utilise la forme algébrique.
√
(
√
( )
)
Donc
√
)
√
(
Donc
√
√
)
√
√
et
(
(
√
) (
)
(
√
)(
√
√
)
√
et
√
(
√
((
)
) )
(
√
)
(
√
)
(
√
)
√
(
Donc
)
(
et
√
)
2) 2ère méthode : On utilise la forme exponentielle.
√
(
)
(
(
)
)
Il vient alors que :
(
(
)
Donc
et
(
)
(
)
(
)
√
√
)
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Donc
et
(
)
(
(
)
)
(
√
)
√
Donc
(
)
et
(
)
√
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Exercice 11 (1 question)
Soient
et
Niveau : moyen
deux nombres complexes de module 1 tels que
Démontrer que
.
est un réel.
Correction de l’exercice 11
Pour montrer que
1 tels que
est un réel, montrons que
, on a :
(
Or,
Retour au menu
et
de module
)
| | et comme d’après l’énoncé | |
. Il en résulte que :
Finalement,
. Or, pour tous nombres complexes
,
. De même,
| | et | |
, d’où
est un réel.
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21
Exercice 12 (2 questions)
Soit
. On donne
Niveau : moyen
un point du plan complexe dont par
1) A quel ensemble appartient le point
2) A quel ensemble appartient le point
pour que le nombre
pour que le nombre
⃗
est un repère orthonormé direct.
soit un réel ?
soit un imaginaire pur ?
Correction de l’exercice 12
Soit le nombre complexe
Par conséquent,
Retour au menu
où
et
et
. Il vient alors que
.
1) Etudions à quel ensemble appartient
pour que le nombre
L’ensemble recherché est donc la réunion
de l’axe des réels (d’équation
) et
de l’axe des imaginaires purs
(d’équation
).
soit un réel.
⃗
L’ensemble des solutions est représenté cicontre en rouge.
2) Etudions à quel ensemble appartient
pour que le nombre
L’ensemble recherché est donc la réunion
de la première bissectrice (d’équation
) et de la deuxième bissectrice du
repère (d’équation
).
soit un imaginaire pur.
⃗
L’ensemble des solutions est représenté cicontre en rouge.
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Exercice 13 (1 question)
Soit
⃗
Niveau : moyen
et soit
tel que
, orthonormé direct.
A quel ensemble appartient
. On donne
pour que le nombre
un point du plan complexe repéré par
soit un réel ?
Correction de l’exercice 13
Soit le nombre complexe
Retour au menu
où
et
.
Il vient alors que
Par conséquent,
Etudions à quel ensemble appartient
et
.
pour que le nombre
soit un réel.
est un réel si et seulement si le point
appartient à la réunion de l’axe des imaginaires purs et de la
droite d’équation
. L’ensemble des points solutions est représenté ci-dessous en rouge.
⃗
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Exercice 14 (1 question)
Niveau : moyen
Démontrer, sans la résoudre, que les solutions de l’équation
imaginaire égales.
ont des parties réelle et
Correction de l’exercice 14
Soit
Retour au menu
un nombre complexe solution de l’équation
On en déduit que |
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|.
1ère méthode : Méthode analytique
Utilisons la forme algébrique du nombre complexe en posant
Alors, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
où
|
|
|
et
|
.
|
|
|
|
Les solutions de l’équation
ont donc des parties réelle et imaginaire égales.
2ème méthode : Méthode géométrique
Soient
|
,
|
et
|
Par conséquent,
|
trois points du plan complexe dont un repère orthonormé direct est
|
| |
|
|
| |
|
.
appartient à la médiatrice du segment [
Or, une équation de la médiatrice de [
] est
⃗
. Alors
].
.
Autrement dit, les solutions de l’équation donnée sont
les nombres complexes de la forme
.
Ce qui revient à dire que les solutions de l’équation
ont une partie réelle égale à
leur partie imaginaire.
⃗
Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe – Nombres complexes – Exercices corrigés
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Exercice 15 (1 question)
Niveau : facile
Soit un entier naturel . A quelle(s) condition(s) sur
le nombre complexe
est-il un réel ?
Correction de l’exercice 15
Pour tout entier naturel ,
Or,
(
)
Finalement, le nombre complexe
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(
)
(
.
)
.
est un réel si et seulement si
Remarque : On montre de même que le nombre complexe
entier naturel impair.
est un entier naturel pair.
est un imaginaire pur si et seulement si
est un
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