Séminaire Lelong. Analyse A NDRÉ M ARTINEAU Sur le théorème du graphe fermé Séminaire Lelong. Analyse, tome 7 (1966-1967), exp. no 6, p. 1-12 <http://www.numdam.org/item?id=SL_1966-1967__7__A6_0> © Séminaire Lelong. Analyse (Secrétariat mathématique, Paris), 1966-1967, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Lelong. Analyse » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 6-01 Séminaire LELONG (Analyse) année, 7e 1966/67, 26 avril 1967 n° 6 SUR LE THÉORÈME DU GRAPHE FERMÉ par André MARTINEAU Introduction. s’agit ici d’une généralisation du théorème suggérée par A. GROTHENDIECK dans sa thèse [6]. Il du graphe fermé dans la direction première solution à ce problème a été fournie par D. A. RAIKOV. A la suite de RAIKOV, une autre solution a été donnée par L. SCHWARTZ [13], qui s’appuie sur sa théorie de l’intégration et sur un lemme de A. DOUADY, mais qui ne recouvre pas exactement la conjecture de Grothendieck. L’énoncé de Schwartz est particulièrement La et suggestif, ma puisée monstration résultats dans l’ouvrage la théorie de la sur a été d’en fournir une nouvelle dé- de BANACH [1]. même quand ils sont détaillerai, Je [9] principale contribution les démonstrations des principe connus,y en catégorie dont j’ai besoin dans la démonstration des énoncés du type Schwartz. 1. Remarques Dans la dère sont Une sur la théorie de la catégorie. suite, sauf mention expresse séparés (terminologie de Y partie du tous les espaces que contraire, je consi- d’un espace topologique X est dite rare,y si elle est incluse dans un fermé sans point intérieur ; elle est maigre, si elle est réunion dénombrable de parties rares (ire catégorie chez BArRE et chez les Polonais). L’espace X est dit non maigre, s’il n’est pas est dit espace de homéomorphe à un Baire, espace produit de droites est , non sous-ensemble si tout ouvert non métrique complet un X vide de est de espace de Baire maigre sans Baire, est de lui-même. non mais par L’espace x de X maigre. On a : Y une partie de tels que pour tout X. On être forcément métrisable. voisinage désigne V de par x D(Y) X maigre. Tout espace exemple un espace , THEOREME 1. - Soit points un l’ensemble des l’ensemble V n X soit (~) est le suivant (~) en ensemble un diffère quel que non maigre ;9 est réunion d’une suite de Y Si au plus par un Si a) soit 0 . tre un des B ? soit ensemble est B Alors non vide inclus dans l’hypothèse. et ceci contredit 9 0 En que B chaque est effet, l’hypothèse signifie sous-ensemble de maigre dans que, pour étant A chaque ensemble U B ~ Supposons deux disjoints tels existe est alors que 9 et BL 9 il rencon- L,n 0(Y) Soit que, pour chaque OE , ~ I , OE G w n OE ~ X . maigre dans B chaque , ~’~ a on U B i ~ei wOE , est z/ chaque est rare, donc Maintenant faisons est maigre. A , Y une soit famille d’ouverts deux à maigre, et maximale. Il en par ZORN. Je dis que une rare. U alors U B A, Alors,9 rare. 1 et D(Y ) , contient U maigre. ouvert un D(Y) parties . n A l’hypothèse Y plus grand ouvert dont tout sous-ensemble ouvert rencontre En plémentaire effet, dans le dans un voisinage W de W nF rencontre y tel que W Y suivant un voisinage de donc est aEA ~ contraire, cas si x est arbitrairement un point intérieur de ce com- petit, on trouvera y et un n Y soit maigre, puisque 0 (Y~ _ ~ . L’ensemble ensemble maigre, absurde. Ceci prouve ( 8 ~ . Donc, x maigre. (~) Prouvons X = C(DY) maigre en Pour ô et à tout son point Prouvons vant (ç) : Y Yi = donc Y~ sous-espace de le résultat appliquons n est X . à l’espace précédent D(Y) , Yi Par définition de maigre dans X~ ~ est conséquence maigre en tout non (~) : 0(Y) . Soit fl A. est brable (a) (b) Y est (03B4) à ouvert dense de 2. Les espaces un ~I ouvert un ouvert inclus dans non maigre n , donc et à son sous-espace 0(Y) , qui montre que TI n 03A0 n maigre, est I~ n Y 0(Y ) est non Y , donc U 0(Y) - U 0(Y ) n n Y propriété. non Y . L’ensemble un II ce ensemble un pour l’espace rencontre de cette jouissant suivant Y rencontre x TI C maigre, donc 03A0 n en application de un maigre. Soit voisinage de D(Y) ,donc Prouvons 0(Y) il est clair que tout ouvert inclus dans ensemble un x E P nous X . dans est cela, sui- Si donc non maigre 0(Y ) est maigre. K-souslin-iens. Espaces polonais. - Rappelons que, selon N. BOURBAKI, on dit qu’ un espace polonais, s’il est homéomorphe à un espace métrique complet de type dénom(séparable). Cette catégorie a les propriétés de stabilité suivantes : Tout sous-espace fermé d’un espace polonais est un polonais ; espace Le produit d’une famille dénombrable d’espaces polonais La somme est un espace polo- nais ; (c) (d) d’une famille dénombrable Tout sous-espace ouvert d’un espace C’est un (e) donc polonais, espace est aussi un ( § 6, un espace Tout espace polonais est image continue de dans le texte de un polonais est l’ensemble des nombres entiers naturels muni de Soit N exercice 6, l’ouvrage p. de BOURBAKI 145). Néanmoins 9 résultat relatif à la [3]y je est d’espaces polonais ne le résultat un espace sa polonais. topologie discrète. polonais. On Les résultats (e) s’y le démontre pas, polonais; espace a (a) trouve puisque ce propriété: la à en (d) sont exercice n’est pas catégorie. B. Espaces sousliniens. - On appelle espace souslinien ~8 ~9 ~ 1,3 ~9 [3], un espace topologique X image continue d’un espace polonais. On peut encore dire que X est image continue de Un sous-espace Y de X est dit souslinien, s’il 1~ ~ . est un Des espace souslinien. propriétés suivantes : (a), (b) , (c~ 9 (d) résultent alors les propriétés de stabilité (0~~ ( a~ ~ (bl) L’image continue d’un espace souslinien est un Un sous-espace f ermé d’un espace souslinien est (dl) Le produit La somme d’une famille dénombrable souslinien ; espace souslinien ;9 sousliniens est d’espaces souslinien ;9 d’une famille dénombrable d’espaces sousliniens est souslinien ; Tout sous-espace ouvert d’un espace souslinien est souslinien. Il résulte de la conjonction X lien d’un espace par ensemble boré- désigne de tout ceci que,9 si l’on élément de la plus petite tribu d’ ensembles stables par un réunion dénombrable et par passage au contenant les complémentaire, fermés, que tout borélien d’un espace souslinien est souslinien. donne C. ~5 ~, espace souslinien un dirons Un espace o et U V K(V) , à valeurs dans U de Soient il existe X plication ~ un de P a dans tel que un V ouvert conte- entraîne ~a~ polonais espace P, une ap- tels que semi-continue, On vérifie aisément que les espaces et tout e U , K-souslinien, s’il existe est dit topologiques, et compacts de V . Nous l’ensemble des si, pour tout voisinage ? de u de celle de Z.FROLIK adaptée deux espaces est semi-continue que $ ~(u~ , nant (cf. ~_7 ~~ . ROGERS [12]. et de C. A. sousliniens d’espaces famille sur une K-sousliniens. - Notre définition est Espaces application une A l’opération Le résultat de Remarque. - de K-analytiques CROQUET ~4 ~ sont K-sous- liniens, et C. A. ROGERS [12J montre que, si X est complètement régulier (c’est justement le cas qui nous intéresse dans la suite)y cette notion équivaut à celle de CHOQUET. La catégorie (0 ) (a2 (b ) des espaces L’image continue K-sousliniens d’un espace propriétés K-souslinien est Un sous-espace fermé d’un espace Le des jouit un K-souslinien ; K-souslinien ; espace K-souslinien est produit d’une famille dénombrable d’espaces suivantes : K-sousliniens est K-sous- linien ; (c ) La somme d’une famille dénombrable d’espaces K-sousliniens est un espace K-souslinien. Mais le (d2), souslinien et si Pour avoir un analogue Y au (d )y n’est pas vrai est ouvert dans exemple, on prendra pour X pour Y un F en E général K(X) , car, si X F n espace discret Y ~ K(Y) non est K- général. dénombrable, et en X pour compactifié le Y . de X L’espace est mais K-souslinien, son ouvert Y l’est pas. ne Désignons F-borélien de par ensemble stable par réunion tout élément de la X, plus petite tribu intersection dénombrable et contenant les fermés de dénombrable, X . Alors il résulte des linien, tout appliquée F-borélien de sous-ensemble Remarque. aux Plus (02 }9 ~a2 ~p ~b2 ~~ ~c2 ~ propriétés généralement, fermés de X peut on donne un (cf. a le résultat THEOREME de0(v) ) 2. - Soit par un Y NN dans En effet, entraine Y semi-continue, V pour tout ouvert ~~ j ~ ~ ’~ , K-souslinien. un comme [10J démonstration). X y est alors Y diffère de .........~.. K-souslinien, il existe une application $ telle que contenant il existe séparé, que ~(i~ est compact, D(Y) (donc ~..~ N un donc notre espace est CL l’opération théorème classique de 0. NIKODYM V Et K-sous- K-souslinien. maigre. Démonstration. - Puisque est K-souslinien. K-souslinien dans ensemble X prouver que le résultat de suivant, qui généralise la remarque suivant notre est ensemble Notons que tout espace souslinien est On X que, si on a tel de Nous considérons l’ensemble Cet ensemble est maigre. Pour le est maigre y En est vertu de la E maigre, § 1, puisque a (D(Y) - Z) c Y n D(Y) . comme on a vu au satisfaisant suite, on dira qu’un ensemble la propriété de Baire. Remarque. - § 1 que Y - D(Y) n conclusions du théorème 2 aux sur le ce nous que système tout ferme de X des jouit avons dit Donc C..propriété . de la Y jouit de est le résultat de l’o- Y plus haut que de la Baire, en propriété de Baire, vertu de l’invariance propriété de Baire relativement à l’opération t~ (cf. KURATOWSKI [7] pour l’étude de l’opération û(. et l’invariance de la propriété de Baire relativement de la cette Y Posons Alors il résulte de d Et le résultat est démontré . Dans la pération puisque au 03A6(i) . conséquence, jouit de remarque que, quels que soient on propriété ~’~~ , démontrée la suite ainsi définie. On i Soit d’où en voir, opération). à 3. La On de deux ensembles satisfaisant à la condition de Baire. somme a la propriété suivante bien (cf. connue par exemple BOURBAKI ~3~, exercice 27, 119). p. G PROPOSITION 1. - Soient gre un groupe qui satisf ait à la propriété de Baire. Alors est un voisinage de l’ élément neutre. 0(A) Démonstration. - L’ouvert A rencontre suivant un est ensemble non voisinage ouvert arbitraire est un V.y n non maigre, 0(A) est ce C’est-à-dire non maigre, qui démontre qu’il existe x A 9 suite, nous V. En x2 e considérons les E du partie G de espace de un non de l’élément neutre de 4. ~1 plication à des théorèmes du t Dans la est donc est maigre,9 première partie E G une mai- non et Baire, maigre, et tel que tout ouvert inclus non donc aussi la A topologique, A G conséquence,y de la et si y E V si maigre. Alors, 0(A~ , tout ouvert de G est proposition. tels que graphe fermé. catégories suivantes : catégorie [GT] des groupes topologiques, avec comme morphismes les homomorphismes algébriques et continus ; La catégorie [EVTk] des espaces vectoriels topologiques sur un corps topolo- La - gique k 9 avec comme morphismes les applications linéaires continues ; La des espaces vectoriels topologiques sur un corps topolocatégorie gique k , dont la topologie peut être définie par une famille de semi-normes (ce qui impose des conditions à k ). Un élément de cette dernière catégorie sera dit - abusivement espace localement convexe. qu’un Nous dirons [GT] de définition, F , autre morphisme le u03B1 pour tout existe fine des de topologies du si les type $ , espace vectoriel qu’un inductive dans lier, est de topologie une morphisme si, et seulement si, un dans G de u 0 est u03B1 un a . G Nous dirons que Nous dirons est topologique, groupe de morphisme est la famille Baire, c’est-à-dire que si GY G dans G , une application u K-sousliniens et de de groupes dans type K.p , s’il est limite inductive est de G groupe E topologique type K. sur E,y type [EVTNk] moins [EVTNk] d’espaces sont sousliniens et de Baire. G et si la est K-ultrabornologique, s’il topologie fines que cette est la topologie. K-sousliniens et de Baire E E de a est, plus Une limite particu- en IL-ultrabornologique. E L’espace est Pour travailler sur un d’une information le dans le cas ultrabornologique, corps quelconque supplémentaire de si si chacun des sur non est souslinieno cas de [GT] , j’ai besoin K-sousliniens, information les espaces est valué k dans le ou E03B1 inuti- discret. On dit de X qu’un espace X est un espace de Lindelof, si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement dénombrable. Un espace polonais est un espace de Lindelof. ce PROPOSITION 2. - Tout espace K-souslinien X Démonstration. - L’espace X est défini polonais convenable. chaque p E p 9 j)(p) Il existe un ~(p.) ~ ... ~ P Y(p ~) ~ --~ K(~~ , cy On V(p) par les ... y et de V(p) p dans on F(p ) U P, un espa- X . Pour de tel que extraira estime un recouvrement alors étendre un théorème de Banach dénombrable partie dénombrable neN à la question. peut étant e " répond P où voisinage Du. recouvrement de P ~12~. espace de Lindelof un A ,y un recouvrement quelconque de compact. Donc, il existe une partie finie F(p) Soit ~~ 9 est 03A6(p) ~ 03A9p , telle que est ~l~ (page 230). de A qui A 3. - Soient (a) Si est u alors lien9 (b) Soit homomorphisme algébrique continu ; un est u v un deux groupes G et G G topologiques G de dans homomorphisme algébrique continu de G p G de de sur type K.03B2 , F-boré- graphe q alors est v homomorphisme topologique. un Démonstration. (a) : Preuve de ferme, V s er pour tout plication = conséquence, Par (u u a ~~~ o est que, si u03B1)-1 o est G (ne x images aux le (V) F-borélien X G . En identité .. 1 (u peut suppo- pas oublier que les effet, l’ap- d’un fermé de F-borélien est l’image d’un donc F- un d’intersection et de opérations réciproques) o de u o donc de donc G03B1 G2 , G03B1 x G2 est sur G de G03B1 projection K-souslinien, x dans u03B1 Cet ensemble est la est G03B1 On famille de définition de une K-souslinien dans est fermée, graphe 039303B1 (V) . hypothèse, ensemble sur (u x G03B1 G . . (G a G2) réunion commutent Y voisinage de l’élément neutre de étant continue, l ’image u borélien dans En = a, dans G2 x V et un hypothèses entraînent Nos Gl V Soit G2 x F-borélien. Soit X ~ = (Eat aussi, donc aussi aussi, enfin, la x le projection V) n a sous- Y de X G . OE Maintenant, L’image donc est W soit de Z03B1 Ga dans G2 (W = par u K-souslinien. Donc ensemble un symétrique R bles Donc g. (W on n peut donc l’un des Z), en g parcourant extraire T est un non Z , fermé tel que o u03B1 est la projection ZOE est espace de Lindelöf. Les forment sous-recouvrement un un sur G2 recouvrement ouvert de dénombrable, soit maigre. Mais ils sont tous égaux, donc de ensem- Z . (b) : Preuve de a un le noyau de N Soit donc linien, v K-souslinien est graphe fermé. L’espace v" L’application v. comme de dans G~ d’un quotient K-sous- est continue. C. Q. F. D. En des exemple localement K.p y et dénombrable à l’infinio Pour voir que compact de l’élément neutre de est F compact, G est dans la classe G~ engendré par un voisinage compact W dénombrable à l’infinie et ouverte et fermé. Alors remarquera que le sous-groupe on Si localement s’applique à Gl le théorème hypothèses y y espace discret. un est est G une représentants de partie finie F dans et dénombrable à l’infini. On On remarquera en est G a outre que, dans engendré le sous-groupe de un G~ sous-groupe de G y par et des N,~ compact localement alors ce cas, les hypothèses sont les meilleures possi- bles. (variante) . - Gl est de type 03B2 , G 2 souslinien ;p G2 a un graphe borélien, u est continue. THÉORÈME 4 G1 u : ~ Démonstration. - Comme mais nos espaces sont précédemment, donc sousliniens, est borélien dans I voit que on alors, si a est souslinien. On achève ra G03B1 comme x G2, dans le théorème 3. Le théorème 3 . vectoriels culier topologiques au cas THÉORÈME localement (a) s’ applique 5 en sur particulier de tout corps vaQué façon non complet triviale au des espaces cas type dénombrable9 de en parti- où le corps est localement compact. (graphe borélien de convexes sur k , Si u est linéaire de Si v est linéaire SCHWARTZ [13]). - E E1 est E dans ultrabornologique, E et de E et E2 sont deux espaces est souslinien, graphe borélien, elle alors: est conti- nue ;9 (b) surjective de E sur E c’est un homomorphisme Démonstration. - Je tiens à souligner que cet énoncé est responsable de tout ce travail. ~ru la définition de la nue de E~ muni de sa topologie topologie ~ il suffit de vérifier que de dans u est conti- et cela résulte du théorème 4. Le point (b) noyau N (a) y résulte de de est v dans le théorème comme élément de la un 3, le car E de quotient par le catégorie C. Q. F. D. On remarquera que ce théorème, lorsque il n’est pas vide, impose des conditions à k . Maintenant, nous supposons que k = R ou k (~ . Dans un vrai espace vectoriel topologique, localement convexe, Hy nous disons qu’un ensemble X est C-borélien, s’il appartient à la plus petite tribu d’ensembles stables par réunion dénombrable, intersection dénombrable, engendrée par les convexes fermés. Par exemple, = H si est un espace de Banach séparable, boréliens Pour vérifier il cela, on a F-boréliens = = C-boréliens extrêmes, suffit de confronter les deux me or tout ouvert est réunion dénombrable de boules fermées. Soit k H S pour et S de deux espaces localement les 5 sur S x k sur Les H~) ~ car sur R = ou C-boréliens H . et de H est continue 5 x S pour convexes toute forme S xH pour H? . x Si est u~ application linéaire une continue de troisième espace localement convexe, l’image de de topologies C-boréliens pour sont aussi les S~ x linéaire continue 5~ produit un Notons par (~ . = H x H xH dans (u~ y identité)" par donc H.- H x dans C-borélienne pour dans H~ réciproque où d’un ensemble BL est un C-borélien est clairement H3 x H H’2)) . (C3 , 03C3(H2 , ~ ~ 6. est E vexes : affaiblie ~ (a) Si , E ~ E ~ sont définis K-ultrabornologique, et ou k = ~ est E localement K-souslinien pour sa con- topologie alors : est linéaire de u E. dans et de E C-borélien, graphe u est con- E est un tinue ; (b) Toute application linéaire homomorphisme. continue v surjective de E sur Démonstration. - Elle est complètement analogue. On peut prendre mé. Le graphe est C-borélien dans chaque F C-borélien dans y linien, demmento donc x E’)) ~ (u o donc u ) donc C-borélien E x dans E F-borélien pour cette (V) est x E topologie, K-souslinien convexe, et pour la en on V convexe V) n F ferest topologie conséquence achève K-sous- comme précé- 6-12 BIBLIOGRAPHIE Théorie des opérations linéaires. - Warszawa, Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1932 (Monografie matematyczne, 1). (S.). - [1] BANACH [2] BOURBAKI (N.). - Topologie générale. Chap. 3 : Nombres réels, 3e éd. - Paris, Hermann, 1960 Groupes topologiques ; Chap. 4: (Act. scient. et ind., 1143 ; 3). (N.). - Topologie générale. Chap. Bourbaki, 9 : Utilisation des nombres réels Paris, Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045; [3] BOURBAKI [4] topologie générale. Bourbaki, 8). CROQUET (G.). - Theory of capacities, en p. [5] Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 5, 1953, 131-295. FROLIK (Z.). - On the descriptive theory of sets, Czech. math. J., t. 13, 1953, p. 335-359. 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