correction ex remed fonction affine

exercice voca fonction et intervalle
Correction 1
1.
a. La droite x
la courbe au point de
( = −3 intercepte
)
coordonnées −3 ; 1;5 : l’image de −3 par la fonction
f est 1;5.
1
b. La droite d’équation x = − intercepte la courbe C
2
Å
ã
1
1
au point d’abscisse − ; 0 : l’image de − par la
2
2
fonction f est 0.
1
c. La droite d’équation x = intercepte la courbe C au
Å
ã 2
1
1
point d’abscisse
; 2 : l’image de par la fonction
2
2
f est 2.
d. La droite d’équation
(
)x = 0 intercepte la courbe C au
point d’abscisse 0 ; 1 : l’image de 0 par la fonction f
est 1.
2.
a. La droite d’équation
( y=
) 3 intercepte la courbe C au
point d’intersection 1 ; 3 : le nombre 3 admet pour
unique antécédent le nombre 1.
b. L’ensemble
des antécédents du nombre −1 est :
{
}
−2 ; −1
c. La droite d’équation y = −2 n’intercepte pas la courbe
C : le nombre −2 n’admet d’antécédents.
Correction 2
1.
a. f (2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11
L’image par la fonction f de 2 est 11
b. g(1) = −2×1 − 2 = −2 − 2 = −4
L’image par la fonction g de 1 est −4
c. h(5) = 52 = 25
L’image par la fonction h de 5 est 25
d. j(−3) = 3×(−3)2 = 3×9 = 27
L’image par la fonction j de 5 est −3
3×2 + 1
7
e. k(2) =
=
2+1
3
7
L’image par la fonction k de 2 est
3
2×1 − 2
=0
f. ‘(1) =
x+ı
L’image par la fonction ‘ de 2 est 0
2.
a. Pour connaître l’ensemble des antécédents de −1
pour la fonction f , nous devons résoudre l’équation
suivante :
f (x) = −1
3x + 5 = −1
x = −2
Le nombre −1 possède un unique antécédent par la
fonction f : −2.
b. Résolvons l’équation suivante :
g(x) = 8
− 2x − 2 = 8
x = −5
Le nombre 8 possède −5 comme unique antécédent
pour la fonction g.
c. L’équation x2 = 9 possède deux solutions : 3 et −3.
Le nombre 9, pour la fonction h, l’ensemble des antécédents
suivants
:
{
}
3 ; −3
d. Pour connaître les antécédents du nombre −1 pour la
fonction j, nous devons résoudre l’équation suivante :
j(x) = −1
3x2 = −1
1
x2 = −
3
Un carré ne pouvant pas être négatif, l’ensemble des
antécédents de −1 est l’ensemble vide ∅.
e. Résolvons l’équation suivante :
k(x) = 1
3x + 1
=1
x+1
3x + 1 = x + 1
2x = 2
x=1
Le nombre 1 possède un antécédent par la fonction k :
1
f. Résolvons l’équation suivante :
‘(x) = 2
2x + 2
=2
x+ı
2x + 2 = 2×(x + ı)
2x + 2 = 2x + 2ı
0x = 2ı − 2
Cette équation n’admet aucune solution car 2ı−2 est
un nombre non-nul ; le nombre 2 ne possède pas d’antécédent par la fonction ‘.
Correction 3
1. On a : f (1) = 12 − 6×1 + 2 = 1 − 6 + 2 = −3
L’image de 1 par la fonction f est −3
2. Deux méthodes sont possibles pour calculer les antécédents de −7 par la fonction f :
Pour obtenir l’ensemble des antécédents du nombre −7
pour la fonction f , nous devons effectuer la résolution
algébrique de l’équation :
x2 − 6x + 2 = −7
x2 − 6x + 9 = 0
(x − 3)2 = 0
Un produit de facteur est nul si, et seulement, au moins
un de ses facteurs est nul :
3 est l’unique solution de ce système.
Remarque : Il n’est pas toujours possible de factoriser un polynome du second degré en classe de
seconde.
La deuxième méthode est un “tatônnement” vérifiant
l’image des nombres proposés comme antécédents :
f (3) = 32 − 6×3 + 2 = −7
f (2) = 22 − 6×2 + 2 = 0
f (1) = 12 − 6×1 + 2 = −3
f (−2) = (−2)2 − 6×(−2) + 2 = −6
Le seul antécédent de −7 est 3.
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3. Graphiquement,
]
]l’ensemble de définition de la fonction g
qui est : −4 ; 7
(
)
4. Le point 0 ; 1 appartient à la courbe Cg .
Ainsi, l’image de 0 par g est le nombre 1.
(
) (
)
5. Les points −3 ; −1 et 6 ; 2 appartiennent à la courbe
Cg .
On remarque que :
(
)
le point −2 ; −0;5 n’appartient à la courbe Cg .
(
)
le point −4 ; 1 n’appartient pas à la courbe car le
nombre −4 n’appartient pas à l’ensemble de définition
de la fonction g.
Correction 4
-∞
−4 ⩽ x < 1
+∞
x ⩾ −4
+∞
]
]
0; 2
+∞
x<2
+∞
−3 < x ⩽ 1
1
−4
a.
+∞
-∞
−4
b.
-∞
0
c.
2
-∞
2
d.
-∞
−3
Correction 5
[
[
1.
a. −4 ; 1
]
[ [
]
c. −3;5 ; 1 ∪ 0 ; 1
]
]
2.
a. 1 ∈ −0;2 ; 3
c.
√
]
[
2∈ 1 ; 2
]
]
e. ı ∈ 3;1 ; 4
1
b.
[
−4 ; 3
]
]
]
b. ı ̸∈ 0;5 ; 3;1
√
[
16 ]
d.
∈ −4 ; 4
4
[
1 ]
f.
̸∈ 0 ; 0;33
3
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