Exercice A8 - XMaths

Exercice A8
1°) On peut écrire :
x+y=2

 xy = -4
⇔
y=2-x

 x(2 - x) = -4
⇔
y=2-x

 2x - x2 = -4
⇔
y=2-x

 0 = x2 - 2x - 4
On peut résoudre l'équation x2 - 2x - 4 = 0 en calculant son discriminant :
∆ = (-2)2 - 4 x 1 x (-4) = 4 + 16 = 20 > 0
∆ > 0 donc l'équation a deux solutions :
x1 = 2 - 20 = 2 - 2 5 = 1 - 5
et x2 = 2 + 20 = 2 + 2 5 = 1 + 5
2x1
2
2x1
2
Sachant que y = 2 - x on en déduit deux valeurs correspondantes pour y :
si x = 1 - 5 y = 2 - (1 - 5 ) = 1 + 5
et si x = 1 + 5 y = 2 - (1 + 5 ) = 1 - 5
x+y=2
sont donc
 xy = -4
Les couples (x ; y) vérifiant 
(1 - 5 ; 1 + 5 ) et
(1 + 5 ; 1 - 5 )
2°) Soient x et y deux nombres ayant pour somme S et pour produit P .
On a donc x + y = S et x x y = P
On en déduit y = S - x
En remplaçant dans la deuxième équation on obtient :
x (S - x) = P c'est-à-dire Sx - x2 = P c'est-à-dire 0 = x2 - Sx + P
x est donc solution de l'équation X2 - SX + P = 0
De même sachant que x + y = S et x x y = P
On obtient : x = S - y
En remplaçant dans la deuxième équation on obtient :
(S - y) x y = P c'est-à-dire Sy - y2 = P c'est-à-dire
y est donc solution de l'équation X2 - SX + P = 0
0 = y2 - Sy + P
Deux nombres x et y de somme S et de produit P sont solutions de l'équation X2 - SX + P = 0 .
Avec S = 7 et P = 8, on obtient l'équation X2 - 7X + 8 = 0
Son discriminant est ∆ = (-7)2 - 4 x 8 x 1 = 49 - 32 = 17
Ses solutions sont 7 - 17 et 7 + 17
2
2
7
17
7
+
17
On peut vérifier que
+
= 7 et 7 - 17 x 7 + 17 = 49 - 17 = 32 = 8
2
2
2
2
4
4
7
17
7
+
17
Les nombres
et
ont pour somme 7 et pour produit 5 .
2
2
Avec S = 2 et P = 5, on obtient l'équation X2 - 2X + 5 = 0
Son discriminant est ∆ = (-2)2 - 4 x 1 x 5 = 4 - 20 = - 16 < 0
L'équation n'a pas de solutions.
Il n'existe pas de nombres réels dont la somme est 2 et le produit 5 .
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