Chapitre I Arithmétique

Chapitre I Arithmétique
1
Intro
Un ouvrier désire paver une surface de carreaux de forme carré. Cette surface mesure 12,6 mètres en longueur
et 9 mètres en largeur.
Quel sera la mesure en centimètre du coté du carrelage de manière à ce qu’il soit le plus grand possible et
qu’il y ait le moins de perte possible ?
2
Du vocabulaire
2.1
Diviseurs et Multiples
Définition 2.1. a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a = b × k (ou a ÷ b = k) où k est un entier
naturel. On dit que :
– a est un multiple de b
– a est divisible par b
– b est un diviseur de a
– b divise a.
Exemple 2.2. Premier exemple
– 92 est multiple de 23 car 92 = 23 × 4.
– 92 est divisible par 23. 92 est aussi divisible par 4.
– 23 est un diviseur de 92. 4 est diviseur de 92.
– 23 divise 92. Enfin 4 divise 92.
Exemple 2.3. Deuxième exemple
– 273 est un multiple de 3 car 273 = 3 × 91
– 273 est divisible par 3.
– 3 est un diviseur de 273.
– 3 divise 273.
2.2
Critère de divisibilité
Je rappelle les critères de divisibilité suivant, ils permettent de faciliter le calcul mental.
– Un nombre pair est toujours divisible par 2.
– Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par trois.
– Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5.
– Un nombre dont la somme des ses chiffres est divisible par 9 est divisible par 9.
– Un nombre qui se termine par 0 est divisible par 10.
Exemple 2.4. 2070 est divible par :
– 2 car il est pair.
– 3 car 2+0+7+0=9 qui est divisible par 3
– 5 car il se termine par 0 ou 5.
– 9 car 2+0+7+0=9 est divisible par 9.
– 10 car 2070 se termine par 0.
2.3
Nombres premiers
Définition 2.5. Un nombre est dit "premier" lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemple 2.6. Quelques exemples :
– 2 est un nombre premier. Il est divisible par 2 et 1
– 6 n’est pas un nombre premier. Il est divisible par 6,3,2 et 1.
– 1 n’est pas un nombre premier. Il est uniquement divisible par 1.
1
3
Division euclidienne
Définition 3.1. Soit a et b deux entiers naturels. Il existe un unique couple q et r tel que :
a = bq + r
et
0≤r<b
On appelle :
– a le dividende.
– b le diviseur.
– q le quotient.
– r le reste.
4
Le plus grand commun diviseur
4.1
Définition
Définition 4.1. Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre commun parmi les diviseurs de a
et de b. On le note P GCD(a, b) = d où d ∈ N.
Exemple 4.2. Trouver le PGCD de 52 et 65 ?
• D(52) = {1, 52, 2, 26, 4, 13} et D(65) = {1, 65, 5, 13}.
D’où :
P GCD(52, 65) = 13
C’est le plus grand nombre commun dans la liste de diviseurs des deux nombres.
Propriété. On indique :
1. Si b divise a alors P GCD(a, b) = b.
2. P GCD(a, b) = P GCD(b, a)
3. P GCD(ka, kb) = k × P GCD(a, b).
Méthode 1 pour trouver le PGCD de deux nombres
• Donner la liste de diviseurs de deux nombres étudiés.
• Relever dans les deux listes précédentes le plus grand des nombres commun aux deux listes.
• Ce nombre sera le PGCD des deux nombres de départ.
4.2
Méthode des divisions successives
Propriété. Si d divise a et b, alors d divise a + b et a − b.
Démonstration.
Voir question 1.b de l’activité 3 p.17.
Théorème 4.3. Si a ≥ b alors P GCD(a, b) = P GCD(b, a − b)
Démonstration. Soit d = P GCD(a, b) et d0 = P GCD(b, a − b).
Or, au vue de la propriété ci-dessus, d divise b et a − b.
Comme d0 est le plus grand diviseur de b et de a − b
Alors d0 ≥ d.
De plus, d0 = P GCD(b, a − b)
Donc il existe deux entiers naturels q1 et q2 tels que
2
b = q1 × d0
a − b = q1 × d0
Donc
a = b + a − b = q1 × d0 + q2 × d0 = (q1 + q2 ) × d0
Sachant que la somme de deux entiers naturels reste un entier naturel, alors d0 divise a
Donc d0 divise a et b.
Or d = P GCD(a, b), donc d0 ≤ d.
Donc finalement
d = d0
.
Exemple 4.4. Donner le PGCD de 210 et 48
210 − 48
162 − 48
114 − 48
66 − 48
48 − 18
30 − 18
18 − 12
12 − 6
6−6
=
=
=
=
=
=
=
=
=
162
114
66
18
30
12
6
6
0
Le dernier reste non nul est le PGCD des deux nombres, donc P GCD(210, 48) = 6
Exemple 4.5. Donner le PGCD de 37 et 21 ?
P GCD(37, 21) = P GCD(21, 16)
P GCD(37, 21) = P GCD(16, 7)
P GCD(37, 21) = P GCD(9, 7)
P GCD(37, 21) = 1
Méthode 2 pour trouver le PGCD de deux nombres a et b
•
•
•
•
•
Faire la différence entre a et b.
Tant que le résultat, noté r est plus grand que b, faire la différence entre ce résultat et b.
Sinon, lorsque le résultat r est plus petit que b, faire la différence entre b et ce résultat.
On recommence le processus avec r qui devient le nouveau b jusqu’à obtenir 0.
Le PGCD des deux nombres de départ est le dernier résultat non nul.
4.3
Méthode des divisions successives
Propriété. Soit a et b deux entiers naturels, si l’on effectue la division euclidiene de a et b, on obtient a = bq = r
Ainsi, on a l’égalité suivante :
P GCD(a, b) = P GCD(b, r)
On admet cette propriété
Cette propriété utilisée plusieurs fois jusqu’à obtenir un reste nul permet d’obtenir le PGCD de deux nombres.
3
Exemple 4.6. Donner le PGCD de 405 et 60.
405 = 60 × 6 + 45
60 = 45 × 1 + 15
45 = 15 × 3 + 0
Donc P GCD(405, 60) = 15
Exemple 4.7. Donner le PGCD de 171 et 37.
171
37
23
14
9
5
4
=
=
=
=
=
=
=
37 × 4 + 23
23 × 1 + 14
14 × 1 + 9
9×1+5
5×1+4
4×1+1
1×4+0
Donc P GCD(171, 37) = 1.
Méthode 3 pour trouver le PGCD de deux nombres a et b
• Faire la division euclidienne de a par b. On note r le reste de cette division.
• Tant que le reste r est différent de 0, on continue de faire la division euclidienne où b remplace a et r
remplace b.
• Le PGCD des deux nombres de départ est le dernier résultat non nul.
4.4
Nombres premiers entre eux
Nous avons vu que le PGCD de deux nombres divise évidemment ces deux nombres. Dans l’exemple précédent, le PGCD de 171 et 37 est égal à 1. Cela signifie que 1 divise 37 et 171 et qu’il est le plus grand. Dans ce
cas, on dit que 171 et 37 sont des nombres premiers entre eux, ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
Définition 4.8. Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux lorsque P GCD(a, b) = 1. 1 est le seul
diviseur commun à a et b.
Exemple 4.9. P GCD(405, 60) = 15, donc 405 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
P GCD(37, 21) = 1, donc 37 et 21 sont des nombres premiers entre eux.
4.5
Fractions irréductibles
Définition 4.10. On dit qu’un fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers
entre eux.
Exemple 4.11. Rendre les fractions suivantes irréductibles.
4
5
Activités
5.1
Activité 4 p.17
5.2
Sommes et différences de multiples
– a) 49000 est bien divisible par 7 car 49 est divisible par 7. 14 est également divisible par 7 donc
49014=49000+14 est bien divisible par 7.
De même 13000 est divisible par 13. Donc 13000-13=12987 est bien divisible par 13.
– b)
• Si d divise a et b alors il existe q1 et q2 deux entiers naturels (q1 , q2 ∈ N) tels que a = q1 × d et b = q2 × d.
Ainsi,
a + b = q1 × d + q2 × d = (q1 + q2 ) × d
Comme q1 + q2 ∈ N,
On a d divise a + b.
• De même, on a
a − b = q1 × d − q2 × d = (q1 − q2 ) × d
Donc d divise a − b.
5.3
Vers la méthode des soustractions successives
– a) On utilise la méthode 1.
• D(75) = {1, 75, 3, 25, 5, 15} et D(55) = {1, 55, 5, 11}. Donc P GCD(75, 55) = 5
D(75 − 55 = 20) = {1, 20, 2, 10, 4, 5} et D(55) = {1, 55, 5, 11}. Donc P GCD(75 − 55, 55) = 5
• D(91) = {1, 91, 7, 13} et D(130) = {1, 130, 2, 65, 5, 26, 10, 13}. Donc P GCD(91, 130) = 13
D(130 − 91 = 39) = {1, 39, 3, 13} et D(91) = {1, 91, 7, 13}. Donc P GCD(130 − 91, 91) = 13
Conjecture :
Il me semble que le PGCD de a et b ne change pas lorsque l’on étudie le PGCD deb et de a − b.
– b) Voir démonstration du théorème 4.3 dans le cours.
– c) Donner le PGCD de 2724 et 714.
2724 − 714
2010 − 714
1296 − 714
714 − 582
582 − 132
450 − 132
318 − 132
186 − 132
132 − 54
78 − 54
54 − 24
30 − 24
24 − 6
18 − 6
12 − 6
6−6
Donc P GCD(2010, 714) = 6.
5
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2010
1296
582
132
450
318
186
54
78
24
30
6
18
12
6
0
5.4
Activité 5 p.18
1. Le PGCD de 2208 et de 216 en un minimum d’étapes.
(a)
2208 − 216
1992 − 216
1776 − 216
1560 − 216
1344 − 216
1128 − 216
912 − 216
696 − 216
480 − 216
264 − 216
216 − 48
168 − 48
120 − 48
72 − 48
48 − 24
24 − 24
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1992
1776
1560
1344
1128
912
696
480
264
48
168
120
72
24
24
0
Donc P GCD(2208, 216) = 24.
(b) J’ai soutrait 10 fois 216 et j’ai obtenu 48. On obtient le même résultat en faisant la division euclidienne suivante 2208 = 216 × 10 + 48.
(c) Grâce à la division euclidienne de 2208 et 216, j’obtiens en une opération le nombre 48. C’est le reste
de cette division. n = 48 ;
D’où :
P GCD(2208, 216) = P GCD(216, 48)
(d)
2208 = 216 × 10 + 48
216 = 48 × 4 + 24
48 = 24 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 24, c’est donc le PGCD de 2208 et 216.
2.
Propriété. Soient a et b deux entiers naturels avec a ≤ b, PGCD(a,b)=PGCD(b,r) où r est le reste de
la division euclidienne de a par b.
3.
1639 = = 176 × 9 + 55
176 = 55 × 3 + 11
55 = 11 × 5 + 0
Avec la méthode des divisions successives, il aurait fallu 9+3+5=17 étapes.
6
6
Exercices
6.1
Correction des exercices
1. Ex 10 p.23
(a) D(6) = {1, 6, 2, 3}, 6 = 2 × 3 décomposition en facteur premier.
(b) Somme = 1 + 2 + 3 = 6.
(c) La somme des diviseurs de 6 est égale à 6. C’est un nombre parfait.
(d) D(496) = {1, 496, 2, 248, 4, 124, 8, 62, 16, 31}
D’ou la décomposition en facteur premier :
496
= 16 × 31
= 2 × 2 × 2 × 2 × 31
= 24 × 31
Or la somme des diviseurs de 496 est égale à
Somme
Somme
Somme
Somme
Somme
=
=
=
=
=
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
7 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
31 + 31 + 62 + 124 + 248
124 + 124 + 248
496
Donc c’est un nombre parfait.
2. Ex 13 p. 23.
–
–
–
–
63 = 4 × 5 + 3
218 = 12 × 18 + 2
3245 = 135 × 24 + 5
32 = 50 × 0 + 32
3. Ex 15 p.24
Dividende = 14 × 18 + 5 = 257
– Ex 23 p.24
P GCD(76, 21)
P GCD(76, 21)
P GCD(76, 21)
P GCD(76, 21)
P GCD(76, 21)
=
=
=
=
=
P GCD(55, 21)
P GCD(34, 21)
P GCD(21, 13)
P GCD(13, 8)
1
P GCD(182, 78) = P GCD(104, 78)
P GCD(182, 78) = P GCD(78, 26)
P GCD(182, 78) = P GCD(52, 26)
P GCD(182, 78) = P GCD(2 × 26, 26)
P GCD(182, 78) = 26
P GCD(120, 48) = P GCD(72, 48)
P GCD(120, 48) = P GCD(48, 24)
P GCD(120, 48) = P GCD(2 × 24, 24)
P GCD(120, 48) = 24
P GCD(153, 117)
P GCD(153, 117)
P GCD(153, 117)
P GCD(153, 117)
P GCD(153, 117)
7
= P GCD(117, 36)
= P GCD(81, 36)
= P GCD(45, 36)
= P GCD(36, 9)
= 9