Calcul numérique et PGCD

Calcul numérique et PGCD
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PGCD de deux nombres entiers positifs
Soient a et b deux entiers positifs.
Diviseurs et multiples
Définition. Un nombre b non nul est un diviseur d’un nombre a lorsqu’il existe un entier
k > 0 tel que a = b × k.
On dit que a est un multiple de b.
Exemples.
• 6 est un diviseur de 42 car 42 = 6 × 7 ;
• 36 est un multiple de 2, de 6, . . ..
Diviseur commun
Définition. Les diviseurs communs aux nombres a et b sont les nombres qui divisent à la
fois a et b.
Le “plus grand commun diviseur” de deux nombres a et b est appelé PGCD de a et b.
On le note gcd(a; b) ou PGCD(a; b).
Exemples.
• 7 est le PGCD de 14 et 21, noté 7 = gcd(14; 21) ;
• 2 est un diviseur commun de 12 et 20, mais 2 6= gcd(12; 20) car 4 divise aussi 12 et 20. On
a 4 = gcd(12; 20).
Remarque. La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des multiples de ce nombre. Par exemple, 14 + 21 = 35 et 35 est aussi un multiple de 7.
Démonstration. Soit a et b deux multiples de n, avec a = xn et b = yn.
• a + b = xn + yn = n(x + y) : a + b est donc un multiple de n ;
• a − b = xn − yn = n(x − y) : a − b est donc un multiple de n.
Remarque. Il y a toujours un diviseur commun à deux nombres entiers, car 1 divise tous
les nombres.
Vocabulaire. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
à 1 (le seul diviseur commun est donc 1).
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Méthode de détermination du PGCD de deux nombres
Utilisation de la liste des diviseurs
Déterminons le PGCD de 21 et 30.
21
3
30
2
7
7
15
3
5
5
1
1
On a donc gcd(21; 30) = 3.
Plus généralement, le PGCD de deux nombres est le produit de leurs diviseurs communs.
Utilisation de l’algorithme d’Euclide
Propriété. Si a et b sont deux nombres entiers tel que a 6= 0 et b 6= 0 et tel que a > b alors
gcd(a; b) = gcd(b; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Exemple. La division euclidienne de 1053 par 325 a pour quotient 3 et pour reste 78. Ainsi,
gcd(1053; 325) = gcd(325; 78).
Pratique. Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple. Déterminons le PGCD de 1053 et 325.
1053 = 325 × 3 + 78
325 = 78 × 4 + 13
78 = 13 × 6 + 0
Comme dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, gcd(1053; 325) =
13.
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Fractions irréductibles
a
Définition. Une fraction est irréductible si et seulement si gcd(a; b) = 1, donc quand a et
b
b sont premiers entre eux.
Propriété. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur
par leur PGCD.
630
630 ÷ 42
15
Exemple. gcd(924; 630) = 42 donc
=
= .
924
924 ÷ 42
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