TD2 - IECL - Université de Lorraine

2016/2017
L3 Mathématiques
Algorithmique appliquée aux mathématiques
Université de Lorraine
Feuille de TD n◦2
Exercice 1.
Écrire un algorithme permettant de calculer le pgcd de trois entiers naturels a, b et c.
Exercice 2.
Si a = bq + r avec 0 6 r < b, montrer que P GCD(a, b) = P GCD(b, r) = P GCD(b, b − r). En
déduire une "amélioration" de l'algorithme d'Euclide. Comparer l'algorithme classique avec ce nouvel
algorithme pour le calcul de P GCD(89, 55).
(Calcul de la complexité de l'algorithme d'Euclide)
On appelle suite de Fibonacci, notée (Fn )n∈N∗ la suite d'entiers dénie par F1 = F2 = 1 et pour n > 3,
Fn+2 = Fn+1 + Fn .
1. Montrer par récurrence sur k ∈ N∗ que si a > b > 0 et si Euclide(a,b) eectue k appels récursifs,
alors a > Fk+2 et b > Fk+1 .
2. En déduire le théorème de Lamé, qui énonce que : ∀k ∈ N∗ , ∀a, b ∈ N, si b < Fk+1 , alors Euclide(a,b)
engendre moins de k appels récursifs.
3. Montrer par récurrence sur k ∈ N∗ que Euclide(Fk+2 , Fk+1 ) engendre exactement k appels récursifs.
4. On admet
ici le fait que la suite
√
√ de terme général Fn+1 /Fn converge vers le nombre d'or ϕ de valeur
n
(1 + 5)/2 et que Fn ∼ ϕ / 5. Montrer alors que le nombre d'appels récursifs eectués par Euclide
(a,b) est O(ln b).
Exercice 3.
Historiquement, Fibonacci, vers 1200, a introduit la suite qui porte son nom pour calculer
le nombre de couples de lapins au mois n sachant qu'à partir du deuxième mois de maturité un couple
de lapin donne naissance à un autre couple et qu'on introduit un couple de lapins à la date 0.
Remarque.
Exercice 4.
En utilisant l'algorithme d'Euclide, montrer que pour tous entiers m, n ∈ N, on a :
P GCD(2n − 1, 2m − 1) = 2P GCD(m,n) − 1.
Exercice 5.
Calculer les valeurs (d, x, y) obtenues en sortie de l'algorithme Euclide-étendu(899,493).
Exercice 6.
Quel est le résultat de Euclide-étendu(Fk+1 , Fk ) ?
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L3 Mathématiques
Algorithmique appliquée aux mathématiques
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Exercice 7.
Pierre donne à sa banque un chèque de x euros et y centimes. Par erreur, le banquier encaisse y euros
et x centimes, ce qui représente 5 centimes de plus que le double du montant de son chèque. Calculer
x et y .
Exercice 8. (Relation de Bezout généralisée) Soient a1 , . . . , an n entiers naturels non nuls. Montrer
comment calculer P GCD(a1 , . . . , an ) puis comment trouver u1 , . . . , un tels que
P GCD(a1 , . . . , an ) =
n
X
ui ai .
i=1
En déduire un algorithme
P qui prend en paramètre une liste d'entiers [a1 , . . . , an ] et qui renvoie la liste
[u1 , . . . , un ] telle que ni=1 ui ai = P GCD(a1 , . . . , an ).
Exercice 9.
(Nombres parfaits. Un théorème d'Euclide) Un entier n est dit parfait si n > 2 et si
somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Par exemple, 6 est parfait car
n est égal à la
6 = 1 + 2 + 3.
On a déjà vu au TD n◦ 1 que si 2p − 1 est premier, alors p est premier.
Soit n > 2 un entier. Notons σ(n) la somme de tous les diviseurs positifs de n, de sorte que n est
parfait si et seulement si σ(n) = 2n.
1. a) Montrer que n est premier si et seulement si σ(n) = n + 1.
b) Montrer que pour tout r ∈ N∗ , σ(2r ) = 2r+1 − 1.
c) Montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors σ(mn) = σ(m)σ(n).
2. Montrer le résultat suivant, appelé théorème d'Euclide : si le nombre q = 2p − 1 est premier, le
nombre
q
n=
X
j=1
i=
q(q + 1)
= 2p−1 (2p − 1)
2
est parfait.
(Une réciproque du théorème d'Euclide) On suppose le résultat de l'exercice précédent
résolu. Soit n un nombre parfait pair.
1. Montrer qu'il existe un entier k > 2 tel que n = 2k−1 m avec m impair.
2. Montrer que m est divisible par (2k − 1). On pose m = (2k − 1)d.
3. Montrer que d + m = σ(m).
4. Montrer que si d > 2, on a 1 + d + m 6 σ(m). En déduire que d = 1.
5. En déduire le résultat d'Euler : tout nombre parfait pair est de la forme 2p−1 (2p − 1), avec (2p − 1)
premier.
Exercice 10.
Les nombres parfaits ont été étudiés par Euclide au III eme siècle avant J.C., et ce dernier
a montré le résultat de l'exercice 9. Au XV III eme siècle, Euler a démontré la réciproque partielle, qui
montre le lien entre la recherche entre les nombres parfais pairs et les nombres de Mersenne premiers.
En revanche, on ne connait aucun nombre parfait impair et l'existence de tels nombres reste un problème
ouvert. On ne sait pas non plus s'il existe une innité de nombres de Mersenne premiers ou de nombres
parfaits.
Remarque.