Chapitre 10 : Diviseurs multiples d`un nombre

Chapitre 10 : Diviseurs multiples d'un nombre entier
naturel
1. Problème
Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
2. Résolution
2.1 Méthode 1
Après avoir essayé (DM2.5), on obtient que :
182=26×7 et 78=26×3
On peut donc faire 26 bouquets comportant chacun 7 brins de muguet et 3 roses.
Question : peut-on faire plus de 26 bouquets ?
Si on peut faire plus de bouquets alors il y aura moins de 3 roses dans chaque bouquet.
Deux cas peuvent se présenter :
Cas 1 : Il y a une rose par bouquet.
Dans ce cas, il y aura 78 bouquets.
Mais : 182=2×78+26
On ne peut donc pas mettre tous les brins de muguet dans 78 bouquets.
Cas 2 : Il y a deux roses par bouquet.
Dans ce cas, il y aura 39 bouquets.
Mais : 182=4×39+26
On ne peut donc pas mettre tous les brins de muguet dans 39 bouquets.
Conclusion : On peut faire 26 bouquets au maximum.
2.2 Méthode 2
On cherche tous les divieurs commun de 78 et 182 :
182=1×182=2×91=7×26=13×14
78=1×78=2×39=3×26=6×13
Les diviseurs communs de 182 et de 78 sont : 1, 2, 13 et 26.
Conclusion : On pouvait donc faire 1, 2, 13 ou 26 bouquets.
Remarque : Le plus grand diviseur commun de 182 et 78 est 26.
On note : PGCD(78 ; 182) = 26
3. Définitions
Définition :
Un nombre entier b est un multiple d'un nombre entier a signifie qu'il existe un nombre
entier c tel que b = ac.
Dans ce cas, on dit aussi que a est un diviseur de b ou que b est divisible par a.
Exemples :
7 et 4 sont des diviseurs de 28.
28 est un multiple de 7 et de 4.
4. Critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9
On admet les propriétés suivantes :
Propriétés :
Soit n un nombre entier naturel.
•
Si le chiffre des unités de n est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors n est un multiple de 2.
Si n est un multiple de 2, alors son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
•
Si le chiffre des unités de n est 0 ou 5 alors n est un multiple de 5.
Si n est un multiple de 5, alors son chiffre des unités est 0 ou 5.
•
Si le nombre formé par les deux deniers chiffres de n est un multiple de 4 alors n
es un multiple de 4.
Si n est un multiple de 4 alors le nombre formé par les deux derniers chiffres de n
est un multiple de 4.
•
Si la somme des chiffres de n est un multiple de 3 alors n est un multiple de 3.
Si n est un multiple de 3, alors la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
•
Si la somme des chiffres de n est un multiple de 9 alors n est un multiple de 9.
Si n est un multiple de 9, alors la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples :
•
5 841 est un multiple de 9 car 5 + 8 + 4 + 1 = 18 et 18 est un multiple de 9.
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118 n’est pas un multiple de 9 car 1 + 1 + 8 = 10 et 10 n’est pas un multiple de 9.
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567 116 est un multiple de 4 car 16 est un multiple de 4.