1) Nombres premiers.

Exposé 12 : Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de
nombre premier.
Pré requis :
- PGCD,PPCM,diviseurs,multiple,nombres premiers entre eux
- Lemme de Gauss
On se place dans .
1) Nombres premiers.
a) Definition
Un entier p ≥ 2 est dit premier si ses seuls diviseurs (positifs) sont 1 et p.
Exemple : 2,3,5,7
Remarque : 2 est le seul nombre premier pair
Convention : 1 n’est pas premier.
On note
|P l’ensemble des nombres premiers.
b) Propriétés
Proposition : Soit n un entier naturel ; n ≥ 2 , alors
i.
n admet un diviseur premier
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier d tel que :
ii.
2≤d ≤ n.
Preuve :
-
Si n est premier, n | n , le i. est vérifié.
Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur stricetement superieur à 1.
Notons d le plus petit de ces diviseurs. d est necessairement premier car sinon il
admettrait un diviseur d’ avec 1<d’<d.
Donc d est premier (ce qui vérifie i.), de plus on a n=dq avec d ≤ q (car q est un
diviseur de n ,et d le plus petit.
D’où d 2 ≤ dq = n donc d ≤ n
D’où 2 ≤ d ≤ n
Proposition : Soit p premier et a ∈ ∗ . Alors p | a ou p gcd( p, a ) = 1
Proposition : Soit p premier et a1 ,… , an n entiers non nuls.
Si p | a1a2 … an alors p divise au moins l’un des ai .
Preuve :
Pour n=2 ; p | a1a2 .
Si p | a1 :ok
Si p | a1 alors pgcd(p, a1 ) Or p | a1a2 donc d’apres le lemme de Gauss on a p | a2
Puis par recurrence sur n.
Corollaire.Soit p premier et q1 ,… , qn entiers premiers.
Si p | q1 … qn alors p est egal a au moins l’un des qi .
2) Decomposition d’un nombre en facteurs premiers.
a) Theoreme fondamental de l’arithmetique
Theoreme : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Alors
- n admet une decomposition en facteurs premiers,
αN
α1
où p1 < p2 < … <
1
N
n = p ,… , p
pN
sont des nombres premiers et
α1 , α 2 ,..., α N des entiers naturels non nul.
- Cette decomposition est unique à l’ordre pres des facteurs.
Preuve :
Existence : recurrence sur n ≥ 2 .
H n : « Pour tout k ≤ n ,k décomposable en produit de facteurs premiers. »
- n = 2 , n est premier donc decomposable en produit de facteurs premiers
- Supposons H n vraie pour un entier n ≥ 2 .
Si n + 1 premier : ok
Si n + 1 pas premier, on pose n + 1 = ab avec 2 ≤ a ≤ n, 2 ≤ b ≤ n ,par hypothese de
reccurence a et b sont decomposable en facteur premiers.
Donc H n +1 vraie.
Unicité : par récurrence sur n ≥ 2
H n : « Pour tout k ≤ n , k admet une décomposition unique. »
- n = 2 , n est premier, n = n.
- Supposons H n vraie pour un entier n ≥ 2 .
Soit n + 1 = p1 … pN = q1 … qM ,avec p1 ≤ … ≤ p N , q1 ≤ … ≤ qN , pi , q j premiers.
p1 | q1....qM donc ∃iO ∈ 1, M , tq p1 = qiO ,or qiO ≥ q1 ⇒ p1 ≥ q1 .
q1 | p1.... pM donc ∃i1 ∈ 1, N , tq q1 = pi1 ,or pi1 ≥ p1 ⇒ q1 ≥ p1 et donc p1 = q1
Donc p2 .... pN = q2 ...qM ≤ n , par hypothese de recurrence,on a N = M et
∀i ∈ 1, N , qi = pi .
H n +1 est vraie.
Exemple : 660 = 22.3.5.11
b) Consequences
Soient a et b deux entiers ≥ 2 .
i.
ii.
iii.
a | b ⇔ la decomposition de a est contenue dans celle de b
Pour obtenir le pgdc(a,b), on prend le produit des facteurs
commun aux deux decompositions de a et de b , affectés du
plus petit des deux exposants.
Pour obtenir le ppcm(a,b), on premd les facteurs communs ou
non aaffectés du plus grand des exposants
n
n
i =1
i =1
Si on considere a = ∏ piα i , b = ∏ piβ i , avec α i, β i pouvant etre nuls.
n
p gcd(a, b) = ∏ pimin(α i , β i )
i =1
n
ppcm(a, b) = ∏ pimax(α i , β i )
i =1
3) Ensemble des nombres premiers.
a) Infinitude de |P.
Theoreme : L’ensemble des nombres premiers est infini.
Preuve :
Supposons parr l’absurde que |P est fini d’où
|P : { p1 ,...., pn }
Soit M = p1 … pn + 1 . M ≥ 2 donc M admet un diviseur premier |P

 piO |1 ⇒ contradition.
piO | p1 … pn 
piO | M
b) Quelques theoremes.
Theoreme de Fermat : Si p ∈ |P, ∀a ∈ , a p ≡ a[ p ]
Theoreme de Wilson :
p ∈ |P ⇔ ( p − 1)! ≡ −1[ p ]
4) Algorithme de recherche des nombres premiers.
a) Déterminer tous les nombres premier compris entre 2 et N
Crible d’Eratosphere.
-
Ecrire tous les nombres entre 2 et N
Rayer tous les multiple de 2,sauf 2
Reperer le plus petit element non rayé ≥ 2 (i.e 3) et rayer tous ces multiple sauf luimême. Repeter l’operation jusqu'à que le plus petit élément non rayé que l’on
recherche depasse n
les nombres non rayé sont les nombres compris entre 2 et N
b) Determiner si un nombre est premier
Programme TI.
Nbpremier(n) {nombre qui demande n}
Func
Local i
IF (mod(n,2)=0 and n ≠ 2) or n=1
Then return faux
Endif
3→i
While i^2 <n+1
IF mod(n,i)=0
Then return faux
Endif
i+2 → i
Endwhile
Return vrai
Endfunc