P UBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE R ENNES B ERNARD A LFONSI Autour du théorème de l’élément primitif Publications des séminaires de mathématiques et informatique de Rennes, 1973, fascicule 4 « Séminaire d’algèbre et de logique », exp. no 5, p. 1-13 <http://www.numdam.org/item?id=PSMIR_1973___4_A5_0> © Département de mathématiques et informatique, université de Rennes, 1973, tous droits réservés. L’accès aux archives de la série « Publications mathématiques et informatiques de Rennes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ AUTOUR DU THEOREME D E L'ELEMENT P R I M I T I F par Bernard ALFONSI T o u s les anneaux sont commutatlfs et possèdent un élément u n i t é . U n homomorphisme d'anneaux f : A — • Si A — • B est tel que f(1} = 1. B est une A - a l g è b r e , on désigne par I Q (ou I lorsqu'il n'y a pas d ' a m b i g u i t é ) , le n o y a u de l'homomorphisme canonique p : B ® B — • B A 2 le B-module des d i f f é r e n t i e l l e s I / I . défini par p(x ® y) = x y , et par Q //\ Q ° On se p r o p o s e , dans ce qui s u i t , de caractériser le n o m b r e de g é n é rateurs d'une A-algèbre finie B en fonction du nombre de générateurs d u B-module Q_. . Je tiens à remercier Daniel F E R R A N D , sans l'aide et les conseils de qui ce travail n'aurait pas vu le j o u r . i l . LE RESULTAT P R I N C I P A L , Théorème 1• Soient A un anneau s e m i - l o c a l , B une A - a l g è b r e f i n i e . Supposons que A soit à corps résiduels i n f i n i s , ou que pour tout idéal maximal m de A , il existe au plus deux idéaux maximaux de B au-dessus de A l o r s , B est une A-algèbre engendrée par m o i n s de n éléments si et seulement si Q D est un B-module engendré par m o i n s de n é l é m e n t s . P r e u v e : L e théorème r é s u l t e r a de la proposition suivante : - 2 - P r o p o s i t i o n 1. Soient K un c o r p s , B une k-algèbre f i n i e . O n suppose que K est i n f i n i , ou que B possède au plus deux idéaux m a x i m a u x . A l o r s , B e s t une ke s algèbre m o n o g è n e si et seulement si ^Q/^ u n * B-module m o n o g è n e . P r e u v e de la proposition : Lemme 1. Soient A un a n n e a u , I un idéal de type fini de A , c o n t e n u dans t o u s les idéaux maximaux de A , sauf au plus un nombre fini m ^ , . . . , m la surjection c a n o n i q u e , et y ^ , . . . , y 1| • a i ; p : I — un système g é n é r a t e u r d e 3Vj2* A l o r s , il n existe un système g é n é r a t e u r , x^,...,x i r de I tel que p C x J = y^ pour tout ; fi « En e f f e t , 1'homomorphisme A — > A/T X A / x x AA est surjec- tif ; il en est d o n c de même de l'application obtenue p a r tensorisation : > I / o x 1/ w I Comme 1/ _ = 1/ ^ ^j j T . m l r T 1 = A/ T x ... x 3V x A 1 , 1/ est m o n o g è n e ; soit z. un g é n é r a t e u r . T j j II existe des éléments ^ € I, tels q u e , p a r l'application s u r j e c - tive considéré plus h a u t , l'image de x^ soit (y^, z^,...,z ), et pour i > 1, l'image de x soit (y^, 0 , . . . , 0 ) . P o u r voir que les x^ e n g e n d r e n t I, on peut i supposer A l o c a l , d'idéal maximal m : si m e s t distinct de l'un d e s mj , il contient I , (1/ j) = 0, et les y engendrant ( W ^ ) , il résulte de j m N a k a y a m a que les x^ engendrent 1 ^ ; si. m . » iflj , ( I / i ) I 2 m = j 0 = ( I / m lV k si k * en résulte encore que Xj engendre 1^ j : . 2 j e n S e n d r a n t ( I / ) m I m j J ' 1 1 C 0 F D Lemme 2. Soient A un a n n e a u , I un idéal m o n o g è n e de A- P o u r que x £ l engendre I, il faut et il suffit q u e , pour tout idéal maximal m de A tel q u e I ^ m l , on ait x f£ m l . - 3 - Ce n'est q u ' u n e traduction de N a k a y a m a : cela revient à dire que x engendre I modulo m i , pour tout idéal maximal m de A . Lemme 3, Soient k un c o r p s , E un k-espace vectoriel de dimension f i n i e , (F.). — une famille de sous-espaces vectoriels stricts de E formant un recouvrement de E . A l o r s C a r d (I) > 1 + C a r d ( k ) . C e l a résulte immédiatement de [T| (Chap. I I . 5 7, ex. 5 ) . Lemme 4. Soient k un c o r p s , B une k-algèbre f i n i e , I le noyau de 1'homomorphisme canonique p : B ® B > B . On suppose que k est i n f i n i , ou que B k possède au plus deux idéaux m a x i m a u x . A J o r s , si I est monogèn.e, il existe x €, B tel que 1 g) x - x ® 1 engendre I. Preuve Soit V le k-espace vectoriel engendré par les 1 glaî - x ® 1, où tf£,B u C m l A V ) £ V, car s i n o n , vu les hypothèses sur k ou B , il e x i s meMsx(B$ B) ml ^ I t e r a i t , d'après le lemme 3, un idéal maximal m de B ® Bv tel que V = m l Q, V et que m l A I, d'où V c m l , ce qui impliquerait que k I Cffil, puisque V engendre lidéal I ; d'où la c o n t r a d i c t i o n . k N o u s pouvons maintenant démontrer la proposition 1 : d'après les lemmes 1 et 4, il existe x € B tel que 1 g) x - x <g) 1 engendre lidéal I. Soit C = KQzTj la sous k-algèbre de B engendrée par x, et considérons le diagramme cocartésien : C ® C > B ® k B k P q v C -( > B & B C - 4 - 1 ® x - x ® 1 B ® B — > engendre J = Ker p , donc aussi Ker q , d'où Ker q = I, et donc B. C > O r , on a une suite B B ® > B > B, où les c o m p o s é s sont B ® B est d o n c un i s o m o r p h i s m e . c > l'identité ; chacune des flèches B > c C e c i é t a n t , la suite exacte de O m o d u l e s : • > C > B > B/ > 0 c d o n n e , p a r t e n s o r i s a t i o n avec B eu-dessus de C , la suite exacte : 8 > B (g) B 0 d'où B/ > B/ & c C B > 0 C B • 0. C C > B étant f i n i , on a : fi » S u p p ( B / ® B ) « S u p p C B / ) 0 S u p p ( B ) ; C comme S u p p ( B / ) C S u p p ( B ) , on a S u p p ( B / 3 = ji, d o n c B / = 0, i.e. B = C . r c c c c c c c c c c c R e m a r q u e . Si k est f i n i , on ne peut supprimer l'hypothèse sur B , comme le m o n t r e l'exemple suivant : K = ] I ^ ; B = I ^ x 3 ^ n'est pas m o n o g è n e . l P r o p o s i t i o n 2. Soient A un anneau s e m i - l o c a l , 3 une A - a l g è b r e f i n i e . S u p p o sons que A soit à corps résiduels i n f i n i s , ou que pour tout idéal maximal m de A , il existe a u plus deux idéaux maximaux de B a u - d e s s u s de m . A l o r s , pour que B soit une A - a l g è b r e m o n o g è n e , il faut et il suffit que Q_ B / soit un B-module m o n o g è n e . A P r e u v e : P o u r tout idéal maximal m de A , QB monogène ; B/ I B/ m 6 Max (A) est donc une m TT B/ mftMax(A) est un B / _ - m o d u l e A w A m /mB/ /m est donc une A / -algèbre m o n o g è n e d'après la p r o p o s i t i o n 1. I Or / — > B *> A ' « A / -algèbre m o n o g è n e m € Max(A) TT A/ m6Max(A) M -^-> B ® A/ R a d ( A ) [4]. , et N a k a y a m a m o n t r e une fois de plus que B est m o n o g è n e , C.Q.F.D. - 5 - N o u s sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème : on peut toujours se ramener au cas où A est un corps k. D'autre p a r t , pour m e S p e c ( B ) , o B/K (R) B_ M > Q $ comme EL M E^/k est une k-algèbre f i n i e , puisque f a c t e u r direct de B , si l'on suppose le théorème démontré p o u r une k-algèbre finie et locale, on sait que B — > w "1e S p e cT( B ) B sera engendré par m o i n s de n éléments si k est infini C[ï])- Si k est f i n i , et si B possède deux idéaux m a x i m a u x , soient (a^,...,a ) (resp. tb^,...,b )) n n un système générateur de la k-algèbre B^ (resp. B ^ ) ^ où B^ et 3^ désignent les deux composants locaux de B . B > B^ x B^ est une k [ a ^ x k f a ^ ] - algèbre engendrée par m o i n s de n-1 é l é m e n t s , et la proposition 1 montre que KJja^ x k f ^ j est m o n o g è n e , puisqu'elle n'a que deux idéaux m a x i m a u x . Il résulte alors de jVI aue B est engendrée sur k par m o i n s de n é l é m e n t s . On peut d o n c supposer que B est locale. D a n s ce c a s , comme d(B) est un système générateur de > on peut en extraire un système minimal de générateurs (Nakayama..,3 ; Il existe donc x^,...,x B/k dans B tels que d x ^ , . , d x engendrent M . P o s o n s A = kfx. ,..-,x „"1 . La suite exacte : 1 n-11 % Vk m o n t r e que Û 8 — > "B/K ~ > ° B / A — > ° - est engendré par un é l é m e n t , l'image de d x d a n s S . , d o n c b/A n D/n que B est une A-algèbre monogène : B = ApbJ, d'où B « kjjK^, ... > „<\ 'b] • n / A n x n C.Q.F.D. - 6 - S 2. CAS DES C O R P S R E S I D U E L S F I N I S , On peut améliorer les résultats p r é c é d e n t s , en remplaçant 1'hypothèse faite sur la A-algèbre B par des hypothèses sur les cardinaux des corps résiduels de A : P r o p o s i t i o n 3. Soient A un anneau s e m i - l o c a l , A - a l g è b r e f i n i e , n . - rg, î K (B$ k.K i A ± ses corps r é s i d u e l s , B une S i , pour tout i, on a : card (k.) > n.(n.-1 ), i i l les conditions suivantes sont é q u i v a l e n t e s : ( i ) & / B (ii) B A est un B-module m o n o g è n e ; est une A-algèbre m o n o g è n e . P r e u v e : Comme dans le cas de la proposition 2, il suffit de f a i r e la d é m o n s tration lorsque A est un corps K. B se décompose alors en composants locaux B j,...,Bp. D'après la proposition 1, chaque Bj est m o n o g è n e : y B, ~^-> j k M / flcrj .J U J On suppose que r^ <_ ; soit r. = deg (F.) (j=1,...,p) ; j £ ... £ r . D'après [4] c a r d K > (r. + ... + r n = rg B = . )r p i p j (prop. 3 ) , si , B est m o n o g è n e . O r ^ r. ; j-1 K 3 d'autre p a r t , 1 <_ r^ £ n , d o n c : (r +...+ r ) r = (n-r ) r < ( n ^ ) n , 1 p-1 p p p A d'où le résultat en vertu de l'hypothèse faite sur card ( K ) . C o r o l l a i r e . S o u s les mêmes h y p o t h è s e s , les conditions suivantes sont é q u i valentes : ( i ) fi , est un 3-module engendré par m o i n s de n é l é m e n t s ; B/ (ii) B A est une A-algèbre engendrée par m o i n s d e n é l é m e n t s . - 7 - On peut supposer que A est un corps k. D'après la théorème 1, chaque c o m p o sant local Bj de B est engendré par moins de n é l é m e n t s , soit : x ^ J - i B. = k [ x ^ . désignons par C . la sous k-algèbre k [x, . J ' *3 x engendré par m o i n s de n-1 éléments (récurrence), et îï algèbre m o n o g è n e Cprop. 3 ) , donc M B. j m o i n s de n é l é m e n t s . C.Q.F.D. > B P Iî C . est j =1 J , .] . ^-1,j B. c est une H * ~ est bien engendrée sur k par 3 S 3. G L O B A L I S A T I O N . Le théorème 1 admet la forme globale suivante : Théorème 2. Soit A > B une A-algèbre f i n i e . Les conditions suivantes sont équivalentes : i) 1 Il existe une A-algèbre A telle que Spec (A") étale et surjectif et telle que B' = A' ® > Spec (A) soit B soit une A*-algèbre A engendrée par n é l é m e n t s . ii) Il existe une B-algèbre C telle que S p e c CC) étale et surjectif et telle que > Spec (B) soit soit un C-module engendré par n é l é m e n t s . iii} P o u r tout idéal premier q de B, Q Q ^ est un B^-module engendré A par n éléments. Preuve : i) ii) Il suffit de prendre pour C la B-algèbre étale B' et d'utiliser l'exactitude de la suite 0 = fi A'/A® . A ii) =sasss= B ' ~ * » iii) Comme B °B/A % C — * "C/A °B'/A — * <W — > ° > C est é t a l e , on a un isomorphisme - 8 - Soit K un idéal premier de C tel que q = B 0 K, On a un i s o m o r - phisme : donc et on conclut par N a k a y a m a . iii) = = > i) On peut supposer que A est local strictement h e n s é l i e n , puis par N a k a y a m a , que A est un corps k séparablement c l o s , d o n c infini j B est alors isomorphe au produit de ses composants locaux et l'hypothèse iii) dit que pour tout i, fl , est engendré par n é l é m e n t s . es D o n c , ^g/k " t un B-module engendré par n éléments et le théorème 1 permet de conclure puisque k est infini» $ 4. C O N T R E - E X E M P L E S , On ne peut e s p é r e r améliorer les résultats d u $ 1 dans le cas général : C o n t r e - E x e m p l e 1 : II existe libre B^ telle que ^ / B A un anneau soit monogènej principal mais A^ une b-algèbre que B ne soit pas finie et monogène. Soient k un c o r p s infini de caractéristique o, non algébriquement clos ; A * k[xj i p , q deux polynômes irréductibles tels que deg(p) - deg(q) 3 2 3 2 (mod3) ; K s K(X) ; L le corps cubique KflQ, où u = p q (T o - p q est i r r é - ductible par le critère d'Eisentein) j v = p q / u ; B = A + A u + Av ; A 1 l'anneau des entiers de L ; montrons que A 1 - B : 3 2 i) On vérifie aisément que le polynôme minimal de v sur K est T - pq , que 2 v 2 = q u , et u = pv ; e n f i n , que B est un sous-anneau de A ' , et un A - m o d u l e libre de rang 3, dont (l,u,v) est une base (sinon le polynôme m i n i m a l de u serait de degré £ . 2 ) . - 9 - ii) A' = B + qA' : il faut m o n t r e r que 1 'homomorphisme canonique : A/ i p B/ qQ > e s t qA surjectif j o r B / et A 7 q Q q A , sont des A / -espaces q f t vectoriels de dimension 3 ; il suffit donc de m o n t r e r que cet homomorphisme est i n j e c t i f , i.e. que qA' 0 B = q B . Soient q un idéal premier de A' c o n t e 3 nant qA', et a + bu + cv é q A ' A B ; comme u 3 et v 1 sont dans q A , donc dans q,u et v appartiennent à q H B , et a £ [q n B) 0 A » qA ; il faut d o n c m o n t r e r que bu + cv e q B . O r , bu * cv C q A ' O B ss=sss _ 2 ^> utbu + cv) * b u • c p q e q A ' A B S3as=S! > 2 s bu qx avec x 6 A'. Prenant la norme des deux m e m b r e s , on a : 3 2 b (p q) b 3 p 2 = q 3 4 « q N(x) N(x) 3 Comme p et q sont étrangers d a n s A , on en tire b e q A d'où b^qA. On montrerait de même que c € qA. D e façon a n a l o g u e , on a A' = B • p A ' , d'où A' * B + pqA'. iii) Soit x « a + bu + cv (a, b , c € K) un entier de L . Tr(X) * 3a €.A, d'où a € A : Tr(vx) = 3 bpq € A , d'où b p q € A ; de m ê m e cpq € A , d'où pqx £ B, et d o n c pqA' c B , ce qui m o n t r e que A ' « B . iv) B n'est pas m o n o g è n e : pour le v o i r , calculons les d i s c r i m i n a n t s : 2 2 D(1,u,v) = (p q ) î si x a + b u + c v ë B , on a : 2, 2'2>. 3 3 ,2 D M ,x,x ) = p q (b q - c p) a 3 P o u r que x soit un générateur, il faut ((V), 3 c h a p . V) que b q - c p soit i n v e r s i b l e , ce qui implique que 3 deg(b) + deg(q) - 3 deg(c) + deg(p) donc que 3 divise deg(p) - d e g ( q ) , ce qui est impossible vu les h y p o t h è s e s . ^o/a B/ A e s t u n B-module monogène d'après le résultat suivant : - 10 - P r o p o s i t i o n 4. Soient A un anneau de Dedekind tel q u e , pour tout idéal m a x i mal m d e A , A / m soit un corps p a r f a i t , et B la clôture intégrale de A dans une extension finie séparable de son corps d e s f r a c t i o n s . A l o r s & est P / A G/ A monogène. P r e u v e : Soient K le corps des fractions de A , L celui de B . Comme K est s é p a r a b l e , ^,«(25 K = 0 L3/A f\ considéré comme A - m o d u l e , Œ D/A Q / A > L a d o n c un support fini { m ^ , . . „ ,m } d'idéaux maximaux de A . P o s o n s E - ^b//\* L'applican tion : E > .n. E étant b i i e c t i v e , il suffit de voir que chaque E _ est i=1 i i un B -module m o n o g è n e , et on peut d o n c supposer que A est de v a l u a t i o n i discrète. m m m m Soient alors A' un hensélisé de A , 3' = B ® A ' ; E étant un A A m o d u l e de t o r s i o n , une puissance m comme,A/ d m même de E de l'idéal maximal de A annule E , et > A V ^ , est un isortiorphisme ([eQ c h a p . V I I I ) , il en est d e > Ex A' = E ' > A est un B'-module m o n o g è n e . ft« . •VA ' Il suffit d o n c d e m o n t r e r a u e E ' l/AP O r B étant n o r m a l , et A' une A-algèbre locale i n d - é t a l e , B' est normal ([Vf c h a p . VIII) ; de p l u s , d i m B chaque composant local ? = d i m A* = 1 on en déduit q u e de B ' est un anneau de valuation discrète ([2], 1, p r o p . 11). E n o u t r e , il suffit de m o n t r e r que chaque f a c t e u r E ^ d u m o d u l e des d i f f é r e n t i e l l e s est un B^-mcdule m o n o g è n e . F i n a l e m e n t , on peut donc supposer que A et B sont des anneaux de valuation discrète ; soit n l'idéal maximal de B . On a la suite exacte 1 2 n/n —>a B / A <g) K'-—> B o A où k et k' sont les corps résiduels d e puisque k k V k —>'o R et respectivement ; ^ » / k ~ 0 > k' est séparable par hypothèse 1 comme B est de valuation d i s c r è t e , n est un B-module m o n o g è n e , d'où le r é s u l t a t . C.Q.F.D. - 11 - On peut se demander si le résultat du 5 1 peut se généraliser à un anneau non nécessairement s e m i - l o c a l , sous la forme suivante : "si Ig est m o n o g è n e , alors B est une A-algèbre m o n o g è n e " . C e c i impliquerait en particulier qu'une algèbre finie et nette est monogène ; de m ê m e , si A > B est fini r a d i c i e l , et si ^ g / ^ est m o n o - g è n e , B serait m o n o g e n e , puisque I Q étant n i l p o t e n t , il serait m o n o g è n e . V o i c i donc : Contre-Exemple 2 : II existe libre et étale qui n'est un anneau pas principal A et une h-algèbre finie^ monogène. Soient K un corps de caractéristique 3 ; F e K[X,Y] le polynôme X 2 - Y (Y dans B . 2 - 1) ; A = k[x] ; B = k[x,Yj/ ( F J ; x et y les images de X et Y B est l'anneau d'une cubique passant par l'origine 0 ,* on pose I I - div ( 0 ) . On sait {[s], c h a p . VI) que I est un idéal de B qui est l o c a 2 lement p r i n c i p a l , m a i s - n o n p r i n c i p a l , et que I est principal ; il existe donc (loc. c i t . p r o p . 2) sur le B-module C = B ® I une structure de B - algèbre finie étale ; A étant p r i n c i p a l , C est en outre un A-module libre. D'autre p a r t , fig^ est le B-module engendré par dY, avec la r e l a tion dY = dY = 0 (car K = 3 ) . B est d o n c une A-algèbre finie é t a l e , et par t r a n s i t i v i t é , il en est de même de C. C n'est pas une A-algèbre monogène car ce n'est pas une B-algèbre m o n o g è n e : en e f f e t , C est un B-module localement libre de rang 2 ; si C * était m o n o g è n e , ce serait un B-module libre, et on aurait C 2 A C * 2 > A n Comme A 2 (B ) * > B, p q > ® ( A E ) ® ( A F ) , o n a (E 9 F) aussi : p • q « n A" C - ^ - > A B ^ A I - ^ - > I, et I serait m o n o g è n e . B 2 > B , donc - 12 - Remarques. (i) Nous n'avons pas réussi à trouver de contre-exemple en caractéristique 0, ce qui conserve l'intérêt du premier contre-exemple $ (ii) Si l'on s u p p o s e , dans le second c o n t r e - e x e m p l e , que car k=o, on obtient toujours que C est une 3-algèbre étale non m o n o g è n e en o u t r e , dans ce 2 2 c a s , B est un anneau de D e d e k i n d , car la courbe d'équation x - y(y - 1) n'a pas de point singulier. D'où un contre-exemple a v e c un anneau de D e d e k i n d , en caractéristique résiduelle 0. 5 5. U N E A P P L I C A T I O N . L e m m e . Soient A un anneau i n t è g r e , B une A-algèbre p l a t e . Si f1 est A - m o d u l e sans t o r s i o n , M $ B est un B-module sans t o r s i o n . A P a r passage à la limite inductive, on peut supposer que M est de type f i n i . Fi est alors un sous-module d'un A-module libre de type fini L : l'hypothèse de platitude entraîne que M ® B est un sous-module du B-module A libre L (50 W B , d'où le r é s u l t a t . A P r o p o s i t i o n 5 . Soient un anneau qui est un produit fini d'anneaux intègres et intégralement c l o s , 3 une A-algèbre finie sans t o r s i o n . A l o r s , si Œ g / A est un B-module ponctuellement m o n o g è n e , B est un A-module p r o j e c t i f . P r e u v e : Il est clair qu'on peut supposer A intègre et intégralement c l o s , toutes les propriétés se vérifiant sur chaque c o m p o s a n t e . D a n s ce c a s , il suffit ([3]) de m o n t r e r que A + B est plat ; pour c e l a , on p e u t , d'après le lemme, supposer A local et h e n s é l i e n . P o u r tout idéal m a x i m a l m de B, B alors une A-algèbre f i n i e m o n o g è n e , et on peut supposer B locale. m est - 13 - Soient x un g é né ra te ur de B, K le corps des fractions de A, F le polynôme m i n i m a l de x sur K ; comme A est intégralement clos, F 6 A [x] ; posons C * A D 0 / ( p ) * 1 s ^ s r IC B ) . On a un diagramme commutatif d e suites e x a c t e s : 0 > I > C •1 \ 0 - — > I8 K A >C& K—> > B > 0 1 B9 K ft > 0 Comme I 8 K * 0, I » 0 et B est libre sur A . A M C.Q.F.D. BIBLIOGRAPHIE [1] N . BOURBAKI : A l g è b r e . C h a p . II (Hermann) [2] : A l g è b r e commutative. C h a p . VII (Hermann) [3] C.U. BOURBAKI JENSEN : : A R e m a r k o n flat and projective m o d u l e s . C a n a d . J . M a t h . 18 (1966) p p . 9 4 3 - 9 4 9 . [4] L . MAILHOS : Algèbres commutatives ponctuellement de type fini sur un anneau semi-local h e n s é l i e n . (Bull, des S c i . M a t h . - 94 (2) Avril-Juin 1970) [5] M. RAYNAUO : A n n e a u x locaux h e n s é l i e n s . Lecture Notes in M a t h é m a t i c s n° 169 [6] ZARISKI-SAMUEL (Springer-Verlarg) : Commutative A l g e b r a . T.1 (Van Nostrand)