Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea
Anne Fredet
24 septembre 2005
1
Équations et inéquations du second degré
Soient a, b, c trois réels, avec a 6= 0.
On s’intéresse à l’équation ax2 + bx + c = 0.
En posant ∆ = b2 − 4ac, on obtient trois possibilités :
– ∆ > 0.
Dans ce cas, l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions réelles
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
et x2 =
2a
2a
Pour tout x ∈ R, on a ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
De plus, on a le tableau de signe suivant :
x
−∞
a
signe(a)
(x − x1 )
−
(x − x2 )
−
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) signe(a)
√
−b− ∆
2a
0
0
√
−b+ ∆
2a
signe(a)
+
−
−signe(a)
0
0
0
+∞
signe(a)
+
+
signe(a)
– ∆ = 0.
Dans ce cas, l’équation ax2 + bx + c = 0 admet une seule solution
x = −b
. Pour tout x ∈ R, on a ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 .
2a
De plus, on a le tableau de signe suivant :
b
x
−∞
− 2a
+∞
P (x) signe(a) 0 signe(a)
1
– ∆ < 0.
Dans ce cas, l’équation ax2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution dans
R.
On a le tableau de signe suivant :
x
P (x)
−∞
+∞
signe(a)
Notons que
√ dans ce cas, il √y a deux solutions complexes conjuguées :
−b+i |∆|
−b−i |∆|
et x2 =
.
x1 =
2a
2a
2
2
Exercices
Exercice 2.1 Trouver les valeurs de x tels que
1. x2 − 3x + 2 = 0
2. x2 + x + 1 = 0
3. x2 − 6x + 9 = 0
4. x2 − 5x + 4 = 0
5. x2 + 4x + 5 = 0
6. x2 + 12x + 36 = 0
7. x2 − 3x + 2 > 0
8. −x2 + 5x − 4 > 0
9. x2 + x + 1 > 0
10. x2 − 6x + 9 ≤ 0
3
3
Solutions des exercices
Solution 2.1
1. x2 − 3x + 2 = 0.
Si on considère une équation de la forme ax2 + bx + c = 0, on calcule
√
le déterminant ∆ = b2 − 4ac. Si ∆ > 0 alors les solutions sont −b±2a ∆ .
Dans ce cas, ∆ = 1 et donc x1 = 3+1
= 2 et x2 = 3−1
= 1. Les solutions
2
2
sont {2, 1}. On a donc x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
2. x2 + x + 1 = 0.
Si on considère une équation de la forme ax2 + bx + c = 0, on calcule
le déterminant ∆ = b2 − 4ac. Si ∆ < 0 alors il n’y a pas de solution.
Dans ce cas, ∆ = −3 donc il n’y a pas de solution.
3. x2 − 6x + 9 = 0.
Si on considère une équation de la forme ax2 + bx + c = 0, on calcule
le déterminant ∆ = b2 − 4ac. Si ∆ = 0 alors il y a eu une unique
solution sont −b
. Dans ce cas, ∆ = 0 et donc x1 = 26 = 3. On a donc
2a
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 .
4. x2 − 5x + 4 = 0.
On a ∆ = 9 et donc x1 = 5−3
= 1 et x2 = 5+3
= 4. Les solutions sont
2
2
2
{1, 4}. On a donc x − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4)
5. x2 + 4x + 5 = 0.
On a ∆ = −4 donc il n’y a pas de solution.
6. x2 + 12x + 36 = 0.
On a ∆ = 0 et donc x1 =
−12
2
= −6. On a donc x2 +12x+36 = (x+6)2 .
7. x2 − 3x + 2 > 0.
On a x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), ce qui nous donne le tableau des
signes suivants :
x
−∞
x−1
x−2
2
x − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
−
−
+
1
0
0
2
+
−
−
0
0
+∞
+
+
+
L’ensemble solution est donc ] − ∞, 1[∪]2, +∞[.
8. −x2 + 5x − 4 > 0.
On a −x2 + 5x − 4 = −(x − 1)(x − 4), ce qui nous donne le tableau des
4
signes suivants :
x
−∞
x−1
x−4
2
−x + 5x − 4 = −(x − 1)(x − 4)
−
−
−
1
0
0
4
+
−
+
0
0
+∞
+
+
−
L’ensemble solution est donc ]1, 4[.
9. x2 + x + 1 > 0.
On a ∆ = −3 < 0 donc cette équation n’est pas factorisable et ne
s’annule jamais sur R. Il suffit de regarder sa valeur en un point pour
avoir son signe. En 0, x2 + x + 1 vaut 1 donc x2 + x + 1 est toujours
positive. L’ensemble solution est donc R.
10. x2 − 6x + 9 ≤ 0.
On a x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 . Un carré est toujours positif donc la seule
possibilité pour que x2 − 6x + 9 ≤ 0, c’est x2 − 6x + 9 = 0. La seule
solution est donc x = 3.
5