POLYNOME DU SECOND DEGRE 1 Fonctions polynômes Définition 1.1 On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme : P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ap xp + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 • • • • a0 , a1 , . . ., an sont appelés coefficients de P Le terme ap xp un le monôme de degré p n = deg(P ), le degré du polynôme de P . Si tous les coefficients sont nuls, P est dit fonction ou polynôme nul. Exemple 1.1 1. La fonction P définie par P (x) = 7x6 − 5x4 + 3x − 11 est une fonction polynôme de degré 6 2. La fonction affine ax + b avec a = 0 est une fonction polynôme de degré 1 3. La fonction constante k avec k = 0 est une fonction polynôme de degré 0 1 4. La fonction Q définie par : Q(x) = x3 + x + n’est pas une fonction polynôme. x Théorème 1.1 Toute fonction polynôme, f , différente du polynôme nul, s’écrit de manière unique sous la forme : f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ap xp + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 avec an = 0 Exemple 1.2 La fonction f (x) = (x + 1)(x + 2) est une fonction polynôme. Elle peut s’écrire f (x) = x2 + 3x + 2. Définition 1.2 On appelle racine d’une fonction polynôme P toute solution x0 de l’équation P (x) = 0 Exemple 1.3 √ 1. Les racines de la fonction polynôme P définie sur R par : P (x) = (x − 1)(x + π)(x − 2) sont √ 1, −π et 2. b 2. Les fonctions polynômes du 1er degré ax + b admettent toutes une seule racine x0 = − . a 3. La fonction polynôme f (x) = x2 + 1 n’a aucune racine réelle. 2 Fonction trinôme du second degré Définition 2.1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P , définie sur R, pouvant se ramener à la forme : P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a = 0 L’expression ax2 + bx + c est appelée trinôme du second degré. 1 Exemple 2.1 1. P (x) = x2 − 7x + 12, on a : a = 1, b = −7 et c = 12. 2. P (x) = 4x2 , on a : a = 4, b = 0 et c = 0. 3. 2x + 1, 6x3 + 4x + 2 et (x − 1)2 − x2 ne sont pas du second degré. 3 Forme canonique du trinôme On considère un trinôme ax2 + bx + c avec a = 0. Propriété 1 Tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme a (x + α)2 − β . Exemple 3.1 Soit le trinôme : x2 − 8x + 9 Comme : x2 − 8x = x2 − 2 × 4x + 42 − 42 = (x − 4)2 − 16 On a : x2 − 8x + 9 = (x − 4)2 − 16 + 9 = (x − 4)2 − 7 Preuve :Transformation de l’écriture dans le cas général Soit le trinôme : ax2 + bx + c, avec (a = 0) Par factorisation de a on a : a(x2 + ab x + ac ) b 2 b2 − 4a or x2 + ab x = x + 2a 2 b c b 2 b2 c 2 d’où a(x + a x + a ) = a x + 2a − 4a + = a x+ 2 a Pour simplifier cette écriture, on pose ∆ = b2 − 4ac. b 2 ∆ 2 On a donc : ax + bx + c = a x + 2a − 4a2 b 2 2a − b2 −4ac 4a2 Définition 3.1 • ∆ = b2 − 4ac s’appelle le discriminant du trinôme ax2 + bx + c. • La forme P (x) = a x + 4 b 2 2a − ∆ 4a , s’appelle la forme canonique de P (x) Représentation graphique et variation Dans un repère (O;i, j), on considère Cf la courbe représentative de la fonction f : x −→ ax2 +bx+c avec a = 0, P la parabole d’équation y = x2 et Pa la parabole d’équation y = ax2 . Propriété 2 On obtient Cf à partir de Pa par une translation de vecteur − b ∆ i− j 2a 4a Théorème 4.1 La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. • Elle est tournée vers le ”haut” si a > 0, tournée vers le ”bas” si a < 0. b • Son axe de symétrie est la droite d’équation : x = − 2a b ∆ • Le point S − 2a ; − 4a est son sommet. 2 Selon la valeur de a, on a donc les tableaux de variations suivants : x f 5 Si a > 0 b − 2a −∞ +∞ +∞ +∞ x ∆ − 4a −∞ f Si a < 0 b − 2a ∆ − 4a +∞ −∞ −∞ Résolution de l’équation ax2 + bx + c = 0 Résoudre ax2 + bx + c = 0 avec (a = 0) revient à résoudre l’équation : a qui s’écrit encore : ∆ b 2 = 2 x+ 2a 4a x+ b 2 2a − ∆ 4a2 =0 Cette équation n’a de solution que lorsque ∆ est positif ou nul. Théorème 5.1 L’équation ax2 + bx + c = 0 avec (a = 0) : 1. n’a pas de solution réelle lorsque ∆ < 0 ; b lorsque ∆ = 0 ; 2. a une seule solution x0 = − 2a 3. a deux solutions : x1 = √ −b+ ∆ 2a et x2 = √ −b− ∆ 2a lorsque ∆ > 0. Exemple 5.1 1. 5x2 + 6x + 2 = 0 n’a pas de solution réelle car ∆ = −4. 2. x2 − 4x + 4 = 0 a une unique solution x0 = 2 car ∆ = 0 . 3. −6x2 + x + 1 a deux solutions x1 = 6 1+5 −12 = − 12 ; x2 = 1−5 −12 = 1 3 car ∆ = 25. Somme et produit des racines Théorème 6.1 Lorsque le trinôme ax2 + bx + c admet des racines distinctes ou confondues, leur c b somme S et leur produit P sont donnés par les relations : S = − et P = . a a Preuve : On distingue les deux cas. b , donc S = x1 + x2 = − ab . On a P = x1 × x2 = • Racines confondues :x1 = x2 = − 2a a 4ac ∆ = 0 ⇔ b2 = 4ac donc P = 4a 2 = c • Racines distinctes :√Il suffit de √ calculer. ∆ −b− ∆ b S = x1 + x2 = −b+ 2a√ + 2a√ = − a P = x1 × x2 = −b+ ∆ 2a × −b− ∆ 2a = b2 4a2 et c a Propriété 3 Deux réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solutions de l’équation : x2 − Sx + P = 0 Preuve : Il faut justifier les deux implications de l’équivalence. • P = x1 × x2 = x21 + x1 × x2 − x21 = x1 (x1 + x2 ) − x21 = x1 S − x21 = Soit P − x1 S − x21 = 0 3 • Réciproquement, Si x1 et x2 sont solutions de x2 − Sx + P = 0, d’après le théorème précédent, S P = P. x1 + x2 = = S et x1 x2 = 1 1 7 Factorisation du trinôme P (x) = ax2 + bx + c Théorème 7.1 Le trinôme ax2 + bx + c se factorise en produit de facteurs du premier degré de la manière suivante : Si ∆ > 0 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont les racines du trinôme. Si ∆ = 0 : ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 où x0 est la racine double du trinôme. Théorème 7.2 • Si ∆ = 0, on note x0 la racine, on obtient le tableau de signes suivant : x −∞ x0 +∞ 2 (x − x0 ) + 0 + 2 a(x − x0 ) signe de a 0 signe de a • Si ∆ > 0, supposons que x1 < x2 , on obtient le tableau de signes suivant : x x − x1 x − x2 (x − x1 )(x − x2 ) a(x − x1 )(x − x2 ) −∞ x1 0 | 0 0 − − + signe de a x2 | 0 0 0 +∞ + + − + − + signe de (−a) signe de a 2 b ∆ 2 • Si ∆ = 0, on utilise la forme canonique : ax + bx + c = a x + − 2 2a 4a Comme ∆ est négatif, lŠexpression entre crochets est positive, le signe de P (x) est donc le même que celui de a Théorème 7.3 Le trinôme ax2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu’elles existent. Et en particulier, lorsque ∆ < 0, le trinôme est de signe constant. (Celui de a) Exemple 7.1 résoudre l’inéquation x2 − 4x + 1 ≥ 0. √ √ On a ∆ = 12 > 0 , x1 = 2 − 3 et x2 = 2 + 3 . Comme a = 1 est positif, le trinôme est toujours positif sauf entre ses racines. √ √ Les solutions de l’inéquation sont donc les réels de l’intervalle ] − ∞; 2 − 3] ∪ [2 + 3; +∞[. 4 8 Tableau récapitulatif f (x) admet ∆<0 ∆=0 ∆>0 aucune racine une seule racine deux racines α= factorisation de f (x) −b 2a x1 = a(x − α)2 impossible √ −b− ∆ 2a et x1 = a(x − x1 )(x − x2 ) a>0 x −b 2a −b 2a x −b 2a a<0 −b 2a −b 2a x 5 x1 x1 x √ −b+ ∆ 2a x2 x −b 2a x2 x