Démonstration 02 - XMaths

Démonstration 02
On considère un ensemble fini Ω muni d'une loi de probabilité p et X une variable aléatoire numérique.
On note X(Ω) = { x1 ; x2 ; ⋯ ; xn } .
Si on applique aux valeurs de X la transformation affine :
x ֏ ax + b , alors la nouvelle variable aléatoire
X' = aX + b est telle que X'(Ω) = { ax1 + b ; ax2 + b ; ⋯ ; axn + b }
●
l'espérance mathématique de X est le nombre réel :
E(X) = x1 x p(X = x1) + x2 x p(X = x2) + ⋯ + xn x p(X = xn)
l'espérance mathématique de X' est :
E(X') = (ax1 + b) x p(X' = ax1 + b) + (ax2 + b) x p(X' = ax2 + b) + ⋯ + (axn + b) x p(X' = axn + b)
c'est-à-dire E(X') = (ax1 + b) x p(X = x1) + (ax2 + b) x p(X = x2) + ⋯ + (axn + b) x p(X = xn) , donc
E(X') = ax1 x p(X = x1) + b x p(X = x1) + ax2 x p(X = x2) + b x p(X = x2) + ⋯ + axn x p(X = xn) + b x p(X = xn)
E(X') = ax1 x p(X = x1) + ax2 x p(X = x2) + ⋯ + axn x p(X = xn) + b x p(X = x1) + b x p(X = x2) + … + b x p(X = xn)
E(X') = a[x1 x p(X = x1) + x2 x p(X = x2) + ⋯ + xn x p(X = xn)] + b x [p(X = x1) + p(X = x2) + … + p(X = xn)]
On a
x1 x p(X = x1) + x2 x p(X = x2) + ⋯ + xn x p(X = xn) = E(X)
et p(X = x1) + p(X = x2) + … + p(X = xn) = 1
Donc E(X') = a E(X) + b c'est-à-dire E(aX + b) = a E(X) + b
●
La variance de X est le nombre réel (positif) :
V(X) = (x1 - E(X))2 x p(X = x1) + (x2 - E(X))2 x p(X = x2) + ⋯ + (xn - E(X))2 x p(X = xn)
La variance de X' est le nombre réel (positif) :
V(X') = (ax1 + b - E(X'))2 x p(X' = ax1 + b) + (ax2 + b - E(X'))2 x p(X' = ax2 + b) + ⋯
… + (axn + b - E(X'))2 x p(X' = axn + b)
Pour chaque entier i, on peut écrire
(axi + b - E(X'))2 x p(X' = axi + b) = (axi + b - aE(X) - b)2 x p(X = xi) = (axi - aE(X))2 x p(X = xi)
= a2(xi - E(X))2 x p(X = xi)
On a donc
V(X') = a2(x1 - E(X))2 x p(X = x1) + a2(x2 - E(X))2 x p(X = x2) + … + a2(xn - E(X))2 x p(X = xn)
V(X') = a2 (x1 - E(X))2 x p(X = x1) + (x2 - E(X))2 x p(X = x2) + … + (xn - E(X))2 x p(X = xn) 
Donc V(X') = a2 V(X)
c'est-à-dire V(aX + b) = a2 V(X)
[]
●
l'écart-type de X est le nombre réel (positif) : σ(X) = V(X)
l'écart-type de X' est le nombre réel (positif) : σ(X') = V(X')
On a donc σ(X') = V(X') = V(aX + b) = a2 V(X) = a V(X)
donc σ(aX + b) = a σ(X)
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