Feuille de TD 1

Univers des Nombres
Feuille d’exercice 1
Université Blaise Pascal - Département de Mathématiques
Année 2009 - 2010
1
Sommes
1. Montrer que pour tout n ∈ N, on a
n
X
k=1
n(n + 1)
,
k=
2
n
X
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
k =
,
6
2
n
X
3
k =
k=1
n(n + 1)
2
2
2. Montrer que le cube d’un entier peut toujours s’écrire comme différence de deux carrés d’entiers.
2
Calculs
1. Montrer que 1259 et 4001 sont des nombres premiers.
2. Décomposer 6733683 en facteurs premiers.
3. Calculer le pgcd de 854 et 37.
4. Trouver un couple d’entiers (u0 , v0 ) ∈ Z2 tels que 854u0 + 37v0 = 1
5. Trouver tous les couples d’entiers (u, v) ∈ Z2 tels que 854u + 37v = 1
3
Congruences
Soit d ∈ N \ {0} un entier strictement positif. Pour a1 , a2 ∈ Z des entiers relatifs. On dit que a1 et a2
sont congrus modulo d si la différence a1 − a2 est un multiple de d. On écrit alors
a1 ≡ a2
mod d
1. Soient a, b, c ∈ Z des entiers relatifs. Montrer que
(a) On a a ≡ a mod d
(b) Si a ≡ b mod d alors b ≡ a mod d
(c) si a ≡ b mod d et b ≡ c mod d, alors a ≡ c mod d
2. Soit a ∈ Z un entier relatif. Montrer que d divise a, si est seulement a ≡ 0 mod d.
1
Univers des nombres - Feuille d’exercice 1
Université Blaise Pascal - 2
3. Soient a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z des entiers relatifs. On suppose que a1 ≡ b1 mod d et a2 ≡ b2 mod d.
(a) Montrer que
a1 + a2 ≡ b1 + b2
a1 a2 ≡ b1 b2
mod d
et
an1 ≡ bn1
mod d
mod d
(b) Montrer que pour tout n ≥ 0
4. Soit a ∈ Z un entier relatif. Montrer qu’il existe un unique entier 0 ≤ r < d tel que a ≡ r mod d.
5. Soit a ∈ Z un entier relatif, montrer que a est premier avec d si et seulement si il existe a0 ∈ Z tel que
a a0 ≡ 1 mod d.
Ces propriétés font de la congruence une notion très pratique pour étudier les problèmes de divisibilité.
On crédite Gauss (1777 - 1855) pour l’invention de cette formulation (cf. Disquisitiones arithmeticae). On
n’hésitera pas à s’en servir par la suite.
4
Critère de divisibilité par 9
Cet exercice fait appel aux résultats de l’exercice 3.
1. Soit n ∈ N \ {0} un entier strictement positif. On note s la somme des chiffres de son écriture (en base
10). Montrer que n ≡ s mod 9.
2. En déduire un moyen simple de calculer le reste d’un entier dans la division euclidienne par 9. Retrouver
le critère connu de divisibilité par 9.
5
Divisibilité, etc
1.
2.
3.
4.
Quelque soit l’entier n ≥ 1, montrer que l’entier n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 n’est pas le carré d’un entier.
Est-il vrai que l’entier n2 + 1 n’est divisible par 3 pour aucun entier n ?
Démontrer que si p et 8p − 1 sont premiers alors 8p + 1 n’est pas premier.
Soit a, b des entiers dont l’un au moins est non nul. Soit m un entier. Montrer que
gcd(a, b + am) = gcd(a, b).
5. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est toujours divisible par 24.
6. Par combien de 0 se termine l’écriture du nombre 1000! ?
6
Tiroirs
Cet exercice fait appel aux résultats de l’exercice 3.
1. Montrer que dans tout ensemble de 51 entiers, on peut trouver deux entiers dont la différence est
divisible par 50.
2. Soit n ∈ N \ {0} un entier strictement positif, et a ∈ Z un entier. On suppose que n et a sont premiers
entre eux. Montrer qu’il existe un entier 0 < k ≤ n − 1 tel que
ak ≡ 1
mod n
L’exercice suivant améliore le résultat de la question 2 dans le cas où n est un nombre premier.
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 2
Univers des nombres - Feuille d’exercice 1
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Université Blaise Pascal - 3
Coefficients binomiaux et petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier.
1. montrer que pour 1 ≤ k ≤ p − 1 on a
p
p|
k
2. Soit p un nombre premier que l’on fixe dans la suite.
(a) Montrer par récurrence que pour tout a ≥ 0, p divise ap − a.
(b) Montrer de plus que si a n’est pas multiple de p, alors p divise même ap−1 − 1 (c’est le petit
théorème de Fermat). On suppose dans la suite que a reste fixé et n’est pas multiple de p
(c) Soit k0 le plus petit entier strictement positif tel que p divise ak0 − 1. Montrer que k0 divise p − 1
(on pourra utiliser les résultats de l’exercice 3).
(d) Soit k un entier tel que p divise ak − 1. Montrer que k0 divise k.
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Nombres de Mersenne
Soient a, n ∈ N \ {0} des entiers strictement positifs. On suppose que an − 1 est un nombre premier.
1. Montrer que pour tout x ∈ R réel, on a
xn − 1 = (x − 1)
n−1
X
xk
k=0
2. Montrer que a = 2.
3. Montrer que n est premier.
4. Pour p premier, on pose Mp = 2p − 1 (on dit que Mp est un nombre de Mersenne). Vérifier que M2 , M3
et M7 sont premiers, mais pas M11 .
Le plus grand nombre premier connu à ce jour est M42 643 801 = 242 643 801 − 1. Il y a de l’argent à se faire
pour ceux qui pourront trouver plus grand ! Voir http ://www.mersenne.org/
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Minoration de π(x)
1. Utiliser la démonstration d’Euclide de l’infinitude du nombre de nombres premiers pour montrer que
pour tout r ≥ 1, le re nombre premier pr vérifie
r−1
pr ≤ 22
.
2. Soit x ≥ 3, montrer qu’il existe un entier r tel que
ee
r−1
r
< x ≤ ee .
3. Déduire des questions précédentes que π(x) ≥ log log(x) pour tout x ≥ 3.
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 3
Univers des nombres - Feuille d’exercice 1
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Université Blaise Pascal - 4
(*) Le Postulat de Bertrand
Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de conjecture de Bertrand (mais ce n’en est plus une
depuis 1850). Il stipule que pour n ≥ 1, il existe toujours un nombre premier entre n et 2n (n exclu). Nous
proposons ici une démonstration due à Paul Erdös datant de 1932.
On note P l’ensemble des nombres premiers. Pour deux réels a ≤ b, on note Pab = P∩]a, b], l’ensemble
des nombres premiers contenus entre a et b (a exclu), et P b = P1b . Le but de cet exercice est de montrer que
pour tout n ∈ N∗ , l’ensemble Pn2n est non vide.
1. En considérant la suite de nombres premiers 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001,
vérifier que le postulat est vrai pour n < 4000.
2. Soit m ∈ N∗ Montrer que
Y
p≤
m+1
2m + 1
Y
p ≤ 4x−1
2m+1
p∈Pm+1
≤ 4m
3. En déduire que pour x ∈ R avec x ≥ 2, on a
p∈P x
4. Soit n ∈ N∗ . Montrer que la valuation p-adique de n! (l’exposant de p dans la décomposition de n! en
facteur premiers) vaut
Xn
νp (n!) =
pk
∗
k∈N
où bac désigne la partie entière (inférieure) de a.
n
En déduire que la valuation p-adique de 2n
vérifie νp (
5.
6.
7.
n
r
2n ) ≤ max{r, p ≤ 2n}.
n
En déduire que la plus grande puissance de p qui divise 2n est inférieure ou égale
√
n
si p > 2n, alors il apparaı̂t au plus une fois dans la décomposition de 2n
.
n
2n
Si 3 < p ≤ n, montrer que p n’apparaı̂t pas dans la décomposition de 2n .
Soit n ∈ N∗ . On suppose que Pn2n est vide. Montrer que
4n
≤
2n
à 2n. Montrer que
√
2n
n
≤ (2n) 2n 4 3
2n
8. Conclure.
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 4