MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, III (Congruences 2, fonctions multiplicatives)
Problème 1. Pour quels entiers positifs n l’expression 3n + 1 est-elle un multiple de 10 ?
Problème 2. Résolvez les suivants systèmes de congruences :
(a)


x ≡ 4 (mod 7)
3x ≡ 2 (mod 11)

7x ≡ 1 (mod 13).
(b)
{
x ≡ 2 (mod 28)
3x ≡ 8 (mod 10).
(c)
{
2x ≡ 4 (mod 10)
3x ≡ 8 (mod 7).
Problème 3. Soit f (x) un polynôme dont les coefficients sont nombres entiers.
(a) Prouvez que si x ≡ y (mod n), alors f (x) ≡ f (y) (mod n).
(b) Soit ρf (n) = #{1 ≤ x ≤ n : f (x) ≡ 0 (mod n)}. Prouvez que ρf est une fonction
multiplicative.
(c) Calculez ρf quand f (x) = 2x + 1.
Problème 4. Soient a ∈ N et p un nombre premier.
(a) Si (a, p) = 1, montrez que soit a
p−1
2
≡ 1 (mod p) soit a
p−1
2
≡ −1 (mod p).
(b) Montrez que a ≡ a (mod p).
p
(c) Montrez que
n5
5
+
n3
3
+
7n
15
est un nombre entier pour chaque n ∈ N.
Problème 5.
(a) Montrez que si n est impair, alors n2 ≡ 1 (mod 8).
(b) Est-ce qu’il y a de solutions à l’équation pα + 1 = 2β , où p est premier et α, β ≥ 2 ?
[Indication : Montrez que α doit être impair et factorisez pα + 1.]
Problème 6. Montrez que pour tout entier positif n, le nombre 1n + 2n + 3n + 4n + 5n + 6n
est divisible par 7 si et seulement si n n’est pas un multiple de 6.
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