4 cosinus cours II 2

0) Rappels : Triangle rectangle.
On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit.
A
B
Exemple :
C
ABC est un triangle rectangle en A.
^
BACest l’angle droit.ABC etACB sont les deux angles aigus complémentaires (leur somme fit 90°).
Les Côtés [AB] et [BC] sont adjacents à l’angle ABC.
Le côté opposé à l’angle droit est toujours l’hypoténuse ( toujours plus grand que les deux autres côtés)
Exercice calculer la mesure de l’angle ABC sachant que ACB=70°
Pour s’entraîner : ex. 1
1) Cosinus d’un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent et de l’hypoténuse ne dépend que de l’angle aigu
qu’ils forment. On appelle ce rapport le cosinus de l’angle aigu.
^
ALORS cos ABC =
BA = BA"= BA'
BC BC" BC'
On écrit souvent :
^
côté adjacent à ABC
^
cos ABC =
hypoténuse
Moyen mnémotechnique : COS=
Côté⋅adjacent
Hypoténuse
Remarques :Dans le triangle ABC rectangle en A il y a deux angles aigus : ABC et ACB
C
Hypoténuse [CB]
[AC] est le côté adjacent à ACB
[AC] est le côté opposé à ABC
A
B
[AB] est le côté adjacent à ABC
[AB] est le côté opposé à ACB
^
cos ABC =
BA
BC
^
cos ACB =
AB
BC
Remarques :
•
Cette formule n’est valable que dans un triangle rectangle !
•
Le cosinus de n’importe quel angle aigu est TOUJOURS compris entre 0 et 1
•
Le cosinus d’un angle d’unité !
•
Conseil : calculer toujours un cosinus au moins au milième.
cos(ABC )= 12cm ≈0.923
13cm
2) Utilisation de la calculatrice
Vous devez savoir changer les modes degres (DEG, D), radian (RAD, R),
grade (GRA, G) Sachant qu’au collège on veut toujours travailler en DEGRE
Savoir changer le « mode des angles » :
Fx 82 , Fx 92 : mode mode
Deg
Rad
Gra
1
2
3
Fx 92 collège 2D SHIFT SET UP 3 Deg 4 Rad 5 Gra
collège 2D+
SECONDE CONFIG 3 Deg 4 Rad 5 Gra
TI 30XIIB DGR
DEG RAD GRA
TI 40 collègeII DR
DEG RAD
TI / TI collège MODE ►… ► DGR
DEG RAD GRA
LEXIBOOK DRG
exemple : déterminer cos(36°).
On utilise la fonctionnalité cos
ou TRIG COS
Tape sur les touches 3 6 cos (ou sur cos 3 6 = ; ça dépend de ta calculatrice).
Tu peux alors lire le résultat : 0.8090169 .
La réponse est donc :
ou :
cos(36°) ≈ 0,81
à 0,01 près,
cos(36°) ≈ 0,809
à 0,001 près, . . .
Prendre au millième par défaut.
déterminer une valeur de DEF sachant que cos (DEF ) = 0,2.
On utilise la fonction cos-1 , Acos , Acs , Arccos de la calculatrice
Qui s’obtient avec la séquence
2nd cos , inv cos , TRIG cos-1 , SHIFT cos
le résultat de la calculatrice :
78.46304097 .
La réponse est donc : DEF ≈ 78°
ou :
DEF ≈ 78,5°
à 0,1° près,
à 1° près,
DEF ≈ 78,46° à 0,01° près, . . .
ou :
( ne pas copier Tape sur les touches 0 , 2 inv cos
ou 0 , 2
2nd cos
ou 2nd cos 0 , 2 =
ou
cos-1
0 , 2 =
ou
2nd
TRIG => =>
ou
seconde
cos-1
0 , 2 =
cos 0 , 2 =
ou SHIFT cos 0 , 2 = . ne pas copier )
le résultat de la calculatrice :
DEF ≈ 78°
La réponse est donc :
ou :
ou :
78.46304097 .
à 1° près,
DEF ≈ 78,5°
à 0,1° près,
DEF ≈ 78,46° à 0,01° près, . . .
Attention : Piège !: calculer ABC sachant que cos (ABC ) =
0,2 ,
7
il faut taper sur les touches
÷ 7 ) = . 88.36
et non 2nd cos 0.2 ÷ 7 = . 11.20
2nd cos ( 0.2
Pour s’entraîner : ex. 2
3 Exemple d’application :
Application 1 calcul d’un angle aigu lorsque l’on connaît l’hypoténuse et le côté adjacent.
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que
BC = 8 cm. Calculer la mesure de ABC .
Rédaction :
METHODE :
Faire ou compléter un dessin avec les données de l’énoncé
4cm
8cm
1 ABC est un triangle 1. On écrit la formule du cosinus avec les bonnes hypothèsese.
rectangle en A donc
AB = 4 cm
et
cos ABC =
2. cos ABC =
BA
BC
4
8
2. On remplace les noms des côtés connus par leur valeur.
3. cos ABC = 0,5
3. On effectue les calculs.
4. Avec l’aide de la touche cos-1 ou Asc de la machine (en
mode « degrés »), on retrouve la mesure de l’angle en degré.
4. ABC = 60°
(
aux unités !
précision).
Pour s’entraîner : ex. 3 , ex. 4 , ex. 5
Application 2 Calcul d’un côté adjacent , connaissant l’hypoténuse et
un angle aigu.
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 9 cm et
ABC = 30°. Calculer la longueur de [BA] au milimétre prés.
Rédaction
METHODE :
Faire ou compléter un dessin avec les donnée de l’énoncé
Dans le triangle rectangle en , 1. On écrit la formule du cosinus avec les bonnes hypothèsese.
A, ABC on a
cos ABC =
BA
BC
cos 30 =
BA
9
2. On remplace les côtés et angles connus par leur valeur.
0,866 ≈
BA
9
3. On effectue les calculs à l’aide de la touche cos de la machine (
BA ≈ 0,866 × 9 ≈ 7,7942
AB≈7,8 cm
en mode « degrés » et
au millième pour le cosinus!).
4. On isole le côté inconnu en « le multipliant de l’autre côté du = ».
5. On conclu (
attention aux unités
précision)
Remarque BA ≈ 0,8 × 9 ≈ 7.2 ,
Pour s’entraîner : ex. 6 , ex. 7 , ex. 8
Application 3 Calcul de la longueur de l’hypoténuse , connaissant un angle et son
coté adjacent.
Exemple :ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 7 cm et ABC = 40°. Calculer la
longueur de [BC]. Au millimetre près
METHODE :
Faire ou compléter un dessin avec les
données de l’énoncé
Dans le triangle rectangle en , A, ABC on a
cos ABC =
BA
BC
1. On écrit la formule du cosinus avec les
bonnes hypothèsese
cos 40 =
7
,
BC
2. On remplace les noms des côtés et
angles connus par leur valeur.
cos40×BC=7
on isole BC : produit en croix , puis isoler
BC
BC=
7
cos40
3. On effectue les calculs à l’aide de la
BC≈
7 ≈9,1378
0.766
fonction
BC ≈
7
≈ 9,1
0,766
4. on conclu (
unités)
BC ≈ 9,1 cm
cos de la machine (
« degrés » et
Remarque si je prend cos40°≈0.7 (0.1 prés) je trouve BC≈
mode
au millième !) .
à la précision
aux
7
≈ 10
0.7
7
≈ 9.2
0.76
7
≈ 9.1
cos40°≈0.766 (0.001 prés) BC≈
0.766
7
cos40°≈0.7660 (0.001 prés) BC≈
≈ 9.1
0.7660
cos40°≈0.76 (0.01 prés)
BC≈
conclusion On prend généralement toujours au millième ou au dix millième pour la VA d’un cosinus.
Pour s’entraîner : ex. 9 , ex. 10
4) quart de cercle trigonométrique
c est un quart de cercle de rayon 1
cm.
De centre O et O I J est un repère
orthogonal
M ∈ c. [MH]┴[OI]
Cos MOI = OH
Démonstration
cosMOI = OH or OM=1 donc Cos MOI = OH
OM
Pour s’entraîner : ex. 9 , ex. 10
5 ) Résoudre des exercices sur les angles et cosinus de niveau Brevet : ex. 11 , ex. 12 , ex. 13 , ex. 14, ex. 15