Fiche d`exercices de la Feuille de Route 1
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Programmes de calcul I − On donne le programme de calcul : – Choisir un nombre – Lui ajouter 4 – Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi – Ajouter 4 à ce produit - Ecrire le résultat. 1) Ecrire les calculs permettent de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avecle nombre − 2, alors on obtient 0 2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5. 3) a – Faire deux essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier . b – En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ du programme ? Justifier la réponse. II − Voici deux programmes de calcul : Programme A Programme B • Choisir un nombre ● Choisir un nombre • Lui ajouter 2 ● Calculer son carré • Calculer le carré du résultat ● Ajouter au résultat le quadruple • Retrancher 4 au nombre obtenu du nombre choisi. 1) Appliquer le programme A au nombre 3. 2) Appliquer le programme B au nombre 3. 3) Appliquer le programme A et le programme B au nombre de votre choix. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer. III − On considère le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre • Calculer le carré de ce nombre • Multiplier par 4 le résultat obtenu • Ajouter − 25 1) Mathieu a choisi 3 comme nombre de départ et a obtenu 11. Vérifier par un calcul que son résultat est exact. 2) On choisit √ 2 comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ? 3) Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair, alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier. 4) Pour quelles valeurs de x le programme donne-t-il 0 ? IV − On donne le programme de calcul suivant : • Choisir un nombre • Multiplier ce nombre par 3 • Ajouter le carré du nombre choisi. • Multiplier par 2 • Ecrire le résultat. 1) Montrer que si on choisit 10, le résultat obtenu est 260. 2) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : ● le nombre choisi est −5 ● le nombre choisi est 2 3 3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0. V − Quelqu'un pense à un nombre, le multiplie par 5, ajoute 8, double le résultat, ajoute 4 à nouveau, divise tout par 10, retranche le nombre choisi au départ, ajoute 3 puis enfin multiplie le résultat par 6. Est-il possible de deviner le résultat ? VI − Le professeur a choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. VII Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis ajoute 2 au résultat obtenu. 1) Leslie a écrit le calcul suivant : 11 × ( 2 × 9 ) . Jonathan a écrit le calcul suivant : 10² + 2. a) Effectuer les calculs précédents b) Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ? 2) Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat. a) Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ? b) Le professeur a-t-il choisi − 7 comme deuxième nombre ? c) Arthur prétend qu'en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier ( qu'il appelle n ), l'équation n² = 4 permet de retrouver le ou les nombres choisi par le professeur. A-t-il raison ? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis. − Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C'est au tour de Marc qui propose un programme de calcul à sa camarade : • Choisit un nombre entier positif. • Elever ce nombre au carré. • Ajouter 3 au résultat obtenu. • Multiplier le résultat obtenu par 2 • Soustraire 6 au résultat précédent. • Prendre la moitié du dernier résultat. • Ecrire le résultat final. 1) Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3 puis 10. 2) Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat final. Sophie choisit alors un nombre au hasard et applique le programme de calcul. Elle annonce à Marc le résultat final : 81. Celui-ci lui répond qu'elle avait choisi le nombre 9 au départ. Stupéfaite, Sophie lui dit : « Tu est un magicien ! ». a) Vérifier le calcul en commençant le programme avec le nombre 9. b) Et si le résultat du programme était 36, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ? 3) A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre chois au départ au résultat final ? Démontrer la réponse en prenant x comme nombre de départ. VIII − On propose deux programmes de calcul : Programme A Choisir un nombre Ajouter 5 Calculer le carré du résultat obtenu Programme B Choisir un nombre Soustraire 7 Calculer le carré du résultat obtenu 1. On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4. 2. On choisit − 2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ? 3. a) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0 ? b) Quel nombre faut-il chosir pour que le résultat du programme B soit 9 ? 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le mêm résultat avec les deux programmes ?
