Exercice Speckle 1 due on 20 november 2015

Master LOM
Statistical Optics
Année 2015-2016
Exercice sur la diffraction de Fresnel // Calcul de la
propagation dans un système d’imagerie“standard”
A
Propagation de Fresnel dans l’espace libre
Figure 1: Propagation dans l’espace libre à distance finie (diffraction de Fresnel)
1. Montrer qu’en utilisant le principe de Huyghens dans le cadre de l’approximation
paraxial, l’amplitude du champ dans le plan (x,y) s’obtient à partir de la connaissance de l’amplitude du champ dans le plan (η, ξ) par (voir figure 1):
E(x, y) ∝ e2iπ
x2 +y 2
2λz
·T F e2iπ
η 2 +ξ2
2λz
E(η, ξ)
θ
{ux = θλx ,uy = λy
}
avec θx =
x
y
et θy =
(1)
z
z
Transmission
Front d’onde
convergent
Plan de Fourier
Figure 2: Plan de Fourier dans le plan de focalisation d’une onde incidente convergente
2. Application: On prend un objet dans le plan (η, ξ) caractérisé par la transmission
t(η, ξ) (voir figure 2). Montrer que dans le cas où l’on éclaire ce plan par une onde
sphérique incidente d’amplitude focalisant à la position z0 , ce plan de focalisation
correspond au plan de Fourier de la transmission t(η, ξ). Pour cela on cherchera à
écrire l’amplitude d’une onde sphérique dans l’approximation paraxiale.
1
E(x, y) ∝ e2iπ
B
x2 +y 2
2λz
· T F t(η, ξ)
{ux = θλx ,uy =
θy
λ
(2)
}
Dispositif d’imagerie en double diffraction
On considère le dispositif d’imagerie donné sur la figure ?? où l’objet, caractéristé par la
transmission tobj est éclairé par une onde incidente convergente. Celle ci converge à la
position z1 , où l on place une lentille mince de focale f , ainsi qu’un masque de pupille
p(η). On place le plan image à la position z2 en aval de la lentille, telle que cette position
soit conjugée du plan objet au sens de l optique géométrique (1/z1 + 1/z2 = 1/f ).
1. Montrer que la lentille mince de focale f correspond à un terme de phase qui vaut
2
+ξ
−2iπ η 2λf
2
tlentille (η, ξ) = e
(3)
On pourra simplement utiliser le fait qu’un point source placé à la position z1 donne
lieu à une onde sphérique qui convergera à la position z2 après la lentille. Ce résultat
peut sinon se retrouver directement en considérant les rayons de courbures des deux
surfaces de la lentilles (courbures R1 et R2 ) et l indice n de la lentille (l’optique
géométrique donne 1/f = (n − 1)(1/R1 + 1/R2 ))
2. Montrer que l’on retrouve bien dans le plan (x, y) l’image de l’objet avec un grandissement −z2 /z1 , convolué par la résolution du système d’imagerie
Eim (x, y) ∝ tobj (−
Front d’onde
convergent
Transmission
z1 O
z1
x, − y)
T F p(η, ξ)
x
{ux = λz
,uy = λzy }
z2
z2
2
2
(4)
Pupille
Plan objet
Plan de Fourier
(pupille + lentille)
Plan Image
Figure 3: Dispositif d’imagerie avec éclairage convergent dans le plan de la lentille. Le
plan objet et le plan image sont conjugés par la lentille L
2