Équations du champ, équations du mouvement et fonctions d`onde. II

Équations du champ, équations du mouvement et
fonctions d’onde. II
Antonio Gião
To cite this version:
Antonio Gião. Équations du champ, équations du mouvement et fonctions d’onde. II. J. Phys.
Radium, 1951, 12 (2), pp.99-106. <10.1051/jphysrad:0195100120209900>. <jpa-00234363>
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LE
JOURNAL
DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.
ÉQUATIONS
DU
TOME
-
12,
FÉVRIER
99.
1951,
CHAMP, ÉQUATIONS DU MOUVEMENT ET FONCTIONS D’ONDE. II. (1)
Par ANTONIO
GIÂO.
Sommaire.
Les propriétés des fluides élémentaires de matière et d’électricité, dont nous avons
écrit les équations du mouvement dans la première Partie de ce travail, peuvent être déduites de deux
ensembles dénombrables de fonctions d’onde de base, qui sont les fonctions propres des opérateurs
laplaciens associés à la métrique interne et externe de l’espace-temps. L’analyse de ces fonctions montre
qu’il existe aussi des rayonnements élémentaires caractérisés par des vecteurs courants isotropes et des
-
tenseurs d’énergie-impulsion à trace identiquement nulle. Finalement, la quantification des équations du
champ conduit à de nouveaux potentiels gravifiques, nucléaires et électromagnétiques (sans infinités),
auxquels correspondent des énergies propres finies pour les particules et champs quantifiés (potentiels
de M. L. de Broglie et leur généralisation pour les systèmes de particules).
1.
Fonctions d’onde dans la théorie unitaire.
-
En un point quel1. Propriétés générales.
de
P(xi)
conque
l’espace-temps les deux formes
-
quadratiques
peuvent
être réduites localement à
= ii a;t E’o, où les a;t
teur cliffordien An
sont des
paramètres linéairement indépendants, définit une
rotation du quadripode des pi ou des qi. Désignons
par u;o les vecteurs unitaires des axes locaux pi ou qi
dans une certaine orientation p§ ou q ô, et par U;l les
vecteurs unitaires des mêmes axes dans la position p§_ et q:L; les rotations po - P;t et qlo -+ q:l seront
alors données par un
A;lu’o An. Posons main=
tenant
et considérons les
équations
utilisant des axes géodésiques locaux et orthogonaux, « internes » (pi) et «externes » (qi). Aux
formes (1) correspondent les opérateurs laplaciens
en
dxj
d xi
provisoirement que,
les
provisoirement
supposantsupposant
que les
7k etet Tk
0
sont des quantités connues, les équations (5a)
En
En
dont les équations des fonctions et valeurs propres
s’écrivent
On
et
peut
m
=
déterminent des fonctions a;z = ( ab ) i,t ( x ) et les
équations (5b) des fonctions a’, (a{J»);l (xi). En
d’autres termes, il existe des valeurs des a’, tels que les
fonctions d’onde de base satisfont aux systèmes
suivants du premierordre
=
oo
[ I, 2] que n == 1, 2,
domaine
le
3, 4 quand
d’application
A,, est l’ensemble de l’espace-temps. Les
montrer
...,
1, 2,
de 3g et
fonctions 1J:""l1l1l et (D,,, sont les fonctions d’onde
de base de notre théorie unitaire.
Soient (i = 1, 2, 3, 4) des matrices de Dirac
( 2Ó étant ici purement imaginaire). En un point
quelconque P(xi) et pour toute valeur de n le vec-
tout point de l’espace-temps. Définissons alors
des matrices-vecteurs par
en
Grâce à
Suite de J. Physiqae Rad., 1951, 11, 3
mière partie du Mémoire sera désignée dans
(1)
ces
matrices, les équations (6) deviennent
1-@o. Cette prece qui suit par
l’abréviation I.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195100120209900
100
matrice constante à quatre
colonnes dont les éléments sont
des nombres réels quelconques. En posant
Soit maintenant
et
lignes
,r une
quatre
et Ua. des équations du champ [1, (5), (6)]. Il
n’y a
que douze équations (11) indépendantes puisqu’elles
doivent satisfaire aux huit équations de conservation ( r:jj)8
o et
( Ui.),, o. Les équations (11)
sont donc nécessaires et suffisantes pour déterminer
=
déduit de (8)
correspondantes
on
les
=
équations adjointes générales
u
-i
La matrice r, jjoue un rôle important et sera déterminée plus loin. On doit remarquer que les équations adjointes (9) ne peuvent être écrites que
parce que s’, c2, s-’ sont réelles et sri purement
imaginaire. Ces propriétés des El 0 sont d’ailleurs
exigées par le caractère hyperbolique normal de
l’espace-temps afin de pouvoir écrire les équations
(6).
2. Les fonctions d’onde et les fluides élémenNous allons maintenant déterminer
taires.
la matrice n de manière à assurer l’existence d’un
lien fondamental entre les fonctions d’onde de base
et les équations du champ. Considérons les tenseurs
--
paramètres fixent l’orientation des quadripodes
et
qô
p’o
par rapport aux coordonnées générales xi). On
peut donc exprimer les tenseurs fondamentaux
d’énergie-impulsion T ik et Uin des équations du
champ [1, (5), (6)] en fonction des fonctions d’onde
de base (Wmn pour les Tik et (j)m.n pour les Uik). Ce
résultat montre que les fonctions d’onde de base
sont les contenus fondamentaux de l’espace-temps
d’où l’on doit pouvoir déduire toutes les propriétés
des fluides (et des rayonnements) élémentaires.
Commençons par une revue rapide de quelques
propriétés des fluides élémentaires en considérant
les vecteurs courants
symétriques
Ces vecteurs sont conservatifs et essentiellement
non isotropes puisqu’ils satisfont aux conditions
1
zô est l’unité naturelle de longueur (rayon de
l’hypersphère de De Sitter la plus proche de l’espaceoù
par suite de (8) et (9). Pour que ces traces soient
essentiellement négatives, ainsi que l’exigent les
relations [1, (16)] et [1, (20)], il faut évidemment
que n = - i a s,, a désignant ici un nombre positif.
Nous devons d’ailleurs poser a - i afin de faire
disparaître de (10) tout coefficient arbitraire. Introduisons cette expression de -n dans (10) et considérons les vingt équations
dont les
premiers membres
sont les tenseurs Til,
où bg et ba désignent des coefficients numériques 2.
On
a
donc les relations
avec - =E
20132013. Les fluides élémentaires de matière
di2et d’électricité (dont les tenseurs de densité d’énergie-impulsion sont Tik et Ulk) peuvent être considérés, d’après les résultats précédents, comme un
mélange d’un ensemble dénombrable de fluides
élémentaires partiels de matière et d’électricité
caractérisés par les tenseurs de densité
d’énergie-
101
oc.
On
impulsion Ti’ et U" pour n = I, 2,
i correspond à l’électron
sait [ I, 3] que n
normal,
tandis que n ù 2 correspond aux microélectrons
dont la charge e" et la masse propre (mo),, sont
données en fonction de la charge e et de la masse
propre (mo) de l’électron normal par les relae
(mo)2p e
tions
Ces
Ces
relations cortions
e,,
(mo) == (2013’
(mo)"
2013
no) et
n,
respondent d’ailleurs à la propriété des fonctions
...,
=
_
comme
suit la densité
d’énergie-impulsion
des fluides
partiels
·
et les
équations correspondantes
(équations densitaires) seront
du mouvement
-d’onde de base q"mll et (D,,,,, de tendre vers zéro
comme n-e, tandis que les valeurs propres r:t.1l et p 1/
fonctendent vers l’infini comme n2. Les
tions 0,i Tnin T,/," et V/(3n W,>,,iW§§, qui sont respectivement proportionnelles aux densités de masse
propre et de charge, tendent donc vers zéro
comme
n-11.
Considérons l’un des fluides
tiels Tn ou Un dont la densité
est donnée par
En
prenant les
traces
on
élémentaires
par-
d’énergie-impulsion
Quand les fluides élémentaires sont dénués de
frottement interne, la masse propre et la charge
électrique d’une particule sont données par
obtient, par suite de (10)
De
plus,
par suite de
[1, (20)]
on aura
Pour déduire les équations d’état (thermodynamique) des fluides élémentaires partiels, supposons
qu’ils peuvent être considérés comme dénués de
frottement interne (efforts tangentiels) dans un
certain domaine de l’espace-temps. En appliquant
les équations [1, (20)] on obtient alors
el,, g ,
(1),
et
introduites
Ces valeurs de mg,lH lit (-), n,
dans les équations [1, (33)] donnent les équations
du mouvement des particules finies quand on peut
négliger le frottement interne dans les fluides élémentaires.
Ces relations montrent que les fluides élémentaires
partiels peuvent être considérés comme barotropes
partout où ils sont dénués de frottement interne.
Supposons de plus que les fluides partiels sont des
gaz parfaits satisfaisant à des équations d’état de
la forme habituelle pu == R[J-nTn, où R désigne la
constante de ces gaz et Tn la température. Par suite
de (12), (12a) on voit que dans ces conditions les
fluides partiels sont isothermes, la température
étant donnée par
Grâce
aux
résultats
précédents
on
peut écrire
3. Les fonctions d’onde et les rayonnements
élémentaires. - Au lieu de poser la relation -.-j = - i E,’)
caractéristique des fluides élémentaires, posons
maintenant simplement n
I4, I4 étant la matrice
unité à quatre lignes et quatre colonnes. Les vecteurs
courants conservatifs correspondants s’écrivent main=
tenant
Ces vecteurs d’espace-temps
tante propriété
jouissent
de
c’est-à-dire ils sont isotropes. Les tenseurs
l’impor-
conser-
102
vatifs de densité d’énergie-impulsion qui correspondent à ces vecteurs courants sont les suivants :
Fn
d’ailleurs former avec les
des tenseurs maxwelliens conservatifs qui sont susceptibles d’être comparés localement et intégralement aux tenseurs (13).
IV.
-
Quantification
des
champs métriques.
4. Formules
générales pour un système de
problème de l’interaction particules-champs et l’importante question connexe
de l’énergie propre des particules ont été renouvelés
par les récentes recherches de M. L. de Broglie [1].
Nous allons montrer que la quantification de nos
équations du champ [1, (5), (6)] permet de déduire
les nouveaux potentiels de M. de Broglie et de
préciser les propriétés des particules quantifiées
(ponctuelles) et des forces électromagnétiques et
particules.
Leur trace est identiquement nulle par suite de (10)
et 1j
I4. Ces deux propriétés : vecteurs courants isotropes et énergie-impulsion à trace identiquement nulle sont, selon nous, caractéristiques du
rayonnement pur. Toutes les fonctions formées,
pour Y)
I4, avec les ’Finn sont donc des propriétés
du rayonnement gravifique pur, tandis que les fonctions correspondantes formées avec les (D,in sont
des propriétés du rayonnement électromagnétique
pur. Ces rayonnements sont décrits par les tenseurs
=
=
antisymétriques
qui satisfont, comme
généralisés
on
sait,
aux
systèmes
maxwel-
liens
nucléaires
Le
-
[5].
n) l’indice de numérotage
Soient 1; (== 1, 2,
des particules (non nécessairement identiques) d’un
système et xl le référentiel par rapport auquel le
mouvement moyen de la particule v est nul. Nous
admettrons que les états quantiques de la particule
peuvent appartenir à trois classes différentes :
Io celle où les transitions entre états s’accompagnent toujours de l’émission ou de l’absorption de
rayonnement (gravifique et électromagnétique) par
la particule;
2° celle où les transitions correspondantes ne
s’accompagnent pas de rayonnement;
...,
finalement, celle où les transitions
entre états
interactions
élémentaires
entre
correspondent
la particule et les autres particules du système.
30
aux
Désignons comme toujours par Til, et L///, les
tenseurs de densité d’énergie-impulsion matérielle
et électrique, par gik et Wik les tenseurs métriques
interne et externe et posons
11
151 n désignant
les vecteurs de
=
g,1* l’ik
et
lj
=
(Úik Uik
(avec lÚi! (ú lk
=
k
Nous associons maintenant la quantification des
champs métriques de chaque particule du système
à la quantification de son énergie-impulsion par les
polarisation
relations
Les
FI 9 ," et F ;,"
satisfont à des conditions imporconsidérons aussi comme caractédu rayonnement pur et qui s’écrivent
tantes que
ristiques
les indices
nous
j,1 prenant
les valeurs i, 2, 3. On
peut
avec1 ==i pour la classe des états quantiques sans
transitions de rayonnement,1 - -?, pour la classe
3 pour la
avec transitions de rayonnement, et 1
classe des états d’interaction de la particule avec
les autres particules. Le symbole m désigne ici l’ensemble des nombres quantiques qui caractérisent
l’état de la particule indépendamment de l’appartenance de cet état à l’une quelconque des classes
=
103
définies ci-dessus. Les relations (14a) et (14b)
expriment l’hypothèse fondamentale de notre
méthode de quantification des champs métriques.
les
maintenant
Considérons
équations du
à des champs
et
appliquons-les
(6)]
champ [1, (5),
faibles. Elles prennent alors la forme
où D est le dalembertien, les autres symboles ayant
la même signification que dans les paragraphes
précédents. En tenant compte des relations (14a)
et (14b) les équations précédentes donnent donc
est définie par
les (el,)v étant les probabilités des différents états.
Les moyennes quantiques gik, v> et 6.)ik, ’i > des
champs métriques de la particule ’J doivent rester
finies pour rv -+ o. D’autre part,
dans x;, où aucune force extérieure ne
sollicite la particule. Il faut enfin tenir compte de
la création et annihilation de particules et nous
désignerons par C" la probabilité que le système
soit formé de n particules et par N l’entier tel
que C"2,,= o pour s entier positif quelconque.
Des expressions (18) on déduit alors facilement
les champs métriques du système dans un référentiel
probables
quelconque
sans
xi.
En
posant (ay),,
d 1)
== d:’;’
dxi
on
obtient
difficulté
Remarquons maintenant que dans le référentiel x;,
les champs propres de la particule ont évidemment
une symétrie sphérique et sont statiques. Nous
sommes donc conduits à chercher, dans x;, des
solutions des équations (16) de la forme
rv
étant, dans xl,, la distance spatiale à la parti-
[ b£)]v
[b)iàJ)>]v
des
quantités constantes
dans x’, et É("> la projection du quadrivecteur
spin de la particule v dans l’état quantique (l, m)
sur l’élément
d’hyperplan normal à l’axe local
des x:¡. Les équations (16) donnent alors
cule v;
et
avec
sont nécessaires et suffisantes pour que
gik>
ú)k > restent finis pour rv - o. Si, dans un x’
donné, on a les conditions habituelles gik > --> Oik
et
’.)lk > -’>- Zo Olk pour r ao, alors
qui
les
dans
constantes
ces
1
et
1
solutions parce que
o
pour les raisons
que (1§ = -n’
=
interviennent
nous
supposons
indiquées plus
loin.
Soit P,, une propriété quelconque de la particule v.
La moyenne quantique
P,, > de cette propriété
les conditions évidentes
et
104
Les champs gravifique, nucléaire et électromagnétique du système s’obtiennent immédiatement à
partir de ces expressions (19). En effet, le champ
gravifique est donné par 1 gu, et en retranchant la gravitation proprement dite du champ
dont dérivent les forces qui agissent sur les particules
neutres on obtient le champ nucléaire Nik dont
l’expression, d’après notre théorie unitaire, est la
iam étant donné par
o.
Le potentiel
par suite de (20 b) et de cm
électrique correspondant s’écrit donc, d’après (22)
=
suivante :
Ce potentiel est identique au nouveau potentiel
de M. de Broglie [1], la charge étant donnée
ici
avec
par("lç»e’c.2’u,’).
2ex°
Il est d’ailleurs la différence d’un
0
potentiel quasi coulombien
D’autre part, le champ électromagnétique F est
donné par l’expression [I, (41)] et l’on a ici évidemment
et d’un
potentiel de
Yukawa. En effet, les états sans rayonnement (l=1 )
sont évidemment caractérisés par 0 wi2 m) 0
(absence de sources de rayonnement), ce qui correspond à -ni -- o, par suite de (16) et (17). La condition
*ni ,, o signifie [2] que la masse propre du photon
est voisine de zéro.
La grande portée du champ gravifique du système
doit être assurée dans (19) par la condition cï; = o,
tandis que la faible portée du champ nucléaire de
chaque particule exige, d’après (21), que l’on ait
caractère coulombien du champ
électrostatique est assuré par n,) = o, qui a lieu
même pour une particule isolée. On voit donc que le
champ gravifique newtonien est dû à l’interaction
des particules, tandis que le champ coulombien
peut être à la fois un champ d’interaction des particules et un champ propre à chaque particule.
Par suite de la présence des p les champs (19)
dépendent évidemment du mouvement des particules et contiennent les réactions de rayonnement.
Par contre,
le
b.
et
.
Champ magnétique.
Désignons par g4 >
les
vecteurs
d’espace de composantes
W4 /
-
b,"ll’
b(,,"),
De même, soient
de composantes
relations (23 a) et
et
et
(23b)
b)#?> les vecteurs d’espace
b("1")i respectivement. Les
donnent alors
les coefficients étant définis par
Dans
Application à une particule isolée.
particulier important les expressions générales (19) se réduisent évidemment aux suivantes
dans le référentiel x‘, par rapport auquel le mouvement moyen de la particule est nul («N= ôj’)
5.
2013
ce cas
De
Pour une particule isolée, et d’après la définition
même de la classe d’états1 - 3, tous les c? "L sont
identiquement nuls.
a.
Champ électriqti(,.
-
J)c
(2:) h)
on
déduit
(25)
et de
(22)
on
déduit le
champ magnétique
Le moment magnétique dipolaire l Magn>di,, qui
correspond à ce champ est nul. Par contre, la
-- n j dip/,, du module du momoyenne quantique B Mmagn
ment magnétique dipolaire n’est pas nulle. En effet,
la formule (18 b) montre que le champ magnétique
de la particule dans l’état quantique (1, m) est donné
105
électrique
par
d’où l’on déduit
pur les
équations
de Dirac
[3]
s’écrivent
E + Mo-C2 l’énergie de
E étant la charge et W
l’électron. Pour un ensemble de valeurs des quatre
nombres quantiques qui déterminent les ,a, l’état
correspondant du système électron-proton peut
appartenir à l’une quelconque des trois classes
définies précédemment, de sorte que d’après les
résultats du paragraphe 4, le potentiel quantifié V,,, qu’il faut utiliser dans (28) a la forme
=
essentiellement
positive.
En partant de, (24) et de (25), tout en tenant
compte de la condition -nl- o caractéristique du
champ électromagnétique, on trouve, par un calcul
facile, l’expression suivante pour l’énergie
quantité
du
champ électromagnétique
quantité
c.
particule
pour
Champ
nucléaire.
-
Nous poserons d’ailleurs
r- o.
condition
compatible
avec
les conditions
fonda-
mentales
essentiellement finie.
la densité maxwellienne ruin
champ
propre de la
Remarquons que V"2 n’étant pas une grandeur
observable , V > ne reste pas nécessairement finie
Posons
Considérons
finalement
d’énergie-impulsion du
nucléaire
admettons, comme dans le cas coulombien [3],
que § est le produit d’une fonction sphérique de
Laplace, par une fonction de r. Les parties radiales F
et G des tfk satisfont alors [3] aux équations (2).
et
Pour déterminer
l’énergie propre
de la particule, il
du
Wosuffit===d’utiliser
/ W44 dr les
champ nucléaire
expressions (21) en y introduisant le vecteur 94 >
donné par (25). Le calcul qui détermine l’énergie
électromagnétique (26) donne ici sans difficulté
On voit ici, conformément aux résultats de M. de
que le champ nucléaire traduit l’existence
Broglie [11,
de
deux
particules
de
masses
propres
ml = h=l
2 7: C
différentes. La faible portée bien connue des forces
nucléaires ((i et Ç2 1013 cm) exige d’ailleurs que
ces particules soient des mésons. Les formules (26)
et (27) ont la même forme que les formules correspondantes de la théorie de M. de Broglie [1].
6. Application au spectre de l’hydrogène.
Pour des ondes monochromatiques dans un champ
-
lorsque
le nombre
quantique j
est de la forme
1 + 2. 1
Pour i = 1- 1 les
tiennent [3]
d’une part
en
équations correspondantes s’ob(1 + i). Posons
changeant 1 en
-
dans
(2) Il ne faut pas confondre l’entier1 = o, i, 2,
équations (29) avec l’indice1= 1, 2, 3 utilisé dans les
...
les
paragraphes
4 et 5.
106
et d’autre
part
sont
7. Quantification des équations du mouvement. - La quantification du champ métrique
a évidemment pour conséquence la nécessité de
la quantification des équations du mouvement
des particules. Nous nous bornerons ici à de brèves
indications à ce sujet. L’opération de quantification
des équations du mouvement est très simple quand
on part des équations [1, (33)] obtenues précédemment pour des particules à masse et charge
finies. Il suffit évidemment d’introduire dans ces
p étant la valeur de s telle que as = b,, o pour s > p
(afin que F et G restent finis pour r ---> oo ). En développant les exponentielles de (29), un calcul analogue
au calcul du cas coulombien [3], conduit à la formule suivante des niveaux d’énergie
=
)
en
désignant par E,. les niveaux coulombiens d’énergie
tenant compte de la condition 01,111 _ olb, _ I. On
voit donc que la structure hyperfine peut être traitée
comme une petite perturbation de l’énergie propre
de l’électron due à son interaction avec les champs
propres non coulombiens du proton. Par une transformation Xi -+ Xi telle que
et
les
en
équations (28) deviennent
.
numériques
énergie propre. Les résultats
+
indépendants de l’origine de A.
son
sur
équations :
10 à la place des champs métriques g,"k. et &)0 (non
quantifiés et non troublés par la .particule dont on
étudie le mouvement), les champs Ú)?k > et g?k >
obtenus à partir des formules générales (19) en
supprimant dans ces expressions les termes qui
représentent les champs propres de la particule;
2° les champs propres quantifiés (Wlk)v ) et (giA.), >
de la particule (donnés par les expressions (19) appliquées à une seule particule).
De plus on doit naturellement prendre la limite
des quantités
pour
p
=
o
(particules ponctuelles). Ces limites
[1, (46)] subsiste d’ailleurs
après quantification, c’est-à-dire
sont finies. Le résultat
évidemment
AaXi eut donc prendre ()o:.A comme
avecAi=Vmaxl.Onpeutdoncprendre
, c
avec
hamiltonien d’interaction et appliquer à la détermination de h£j) + h§£§ les méthodes [4, 6] qui déterminent l’influence du rayonnement de l’électron
+
Enfin, les vecteurs Ma des particules
[1, (47’)]
reliés par
au
sont directement
spin (grandeur quantique
observable).
Manuscrit reçu le
20
juinI95o.
BIBLIOGRAPHIE.
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BROGLIE L. de.
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2014
Phys. Rev.,
I949,
75, I240-I248.
-
-
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Phys. Rev.,I949,