ALGORITHMES EN PROBABILITES Rappels du programme : On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme. ◊ On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme ◊ EXEMPLE POUR LA LOI GEOMETRIQUE TRONQUEE 1) Parmi les trois algorithmes suivants, lequel : simule des lancers de dés jusqu’à l’obtention d’un 6 , et donne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier 6 ? Pour i allant de 1 à 6 a ← Ent(6Alea + 1) ; Si a = 6 alors donner i ; FinSi ; FinPour ; a←0; Pour i allant de 1 à 6 a ← Ent(6Alea + 1) ; FinPour ; Donner a ; a←0; i←0; Tant Que a ≠ 6 faire i←i+1; a ← Ent(6Alea + 1) ; FinTantQue ; Donner i ; 2) On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer trois fois successivement un dé et à observer les résultats. On note A l’événement « le 6 est sorti au 3ème lancer uniquement » . a) Ecrire un algorithme qui simule l’expérience et qui dit si l’événement A est réalisé. b) Ecrire un algorithme qui : simule 1000 fois cette expérience, compte le nombre de fois où l’événement A est réalisé, et donne la fréquence de réalisation de A . c) A l’aide d’un arbre pondéré, déterminer la probabilité de l’événement A . a) On simule une expérience : a←0; i←0; Tant Que (a ≠ 6) et (i < 3) faire i ← i + 1 ; a ← Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ; Si (i = 3) et (a = 6) alors Afficher « A est réalisé » ; FinSi ; b) On simule 1000 expériences : S←0; Pour k allant de 1 à 1000 faire a←0; i←0; Tant Que (a ≠ 6) et (i < 3) faire i ← i + 1 ; a ← Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ; Si (i = 3) et (a = 6) alors S ← S + 1 ; FinSi ; FinPour ; Afficher (S / 1000) ; EXEMPLE POUR LA LOI BINOMIALE Particule sur un écran Sur un écran de contrôle, d’une largeur de 50 unités, on repère une particule qui obéit à la loi suivante : à chaque instant, la particule avance horizontalement d’une unité vers la droite, et elle se déplace verticalement d’une unité ou de zéro unité vers le haut, avec des probabilités respectives p et 1 – p . On se demande à quelle hauteur « moyenne » la particule sort de l’écran. 1) Simulation à l’aide d’un tableur. a) Recopier le tableau suivant b) Quelle formule faut-il placer en C3 pour obtenir par recopie la hauteur de la particule sur l’écran ? c) Obtenir la simulation de 50 déplacements, puis représenter graphiquement la trajectoire. d) Observer plusieurs simulations de trajectoires. Arrive-t-il que la hauteur de sortie soit strictement inférieure à 25 ? e) Modifier la valeur de p. 2) Conjecturer à l’aide d’un algorithme. Voici un programme permettant de simuler 1000 trajectoires et d’obtenir la hauteur moyenne. a) Comment le programme calcule-t-il la hauteur moyenne ? b) Utiliser le programme pour conjecturer une formule liant p et la hauteur moyenne, sur un grand nombre de trajectoires. c) Modifier le programme pour qu’il détermine le nombre de trajectoires pour lesquelles la hauteur de sortie est inférieure à 25. Faire une simulation pour p=0,8 , p=0,6 et p=0,5 . Algobox 3) Etude théorique : On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers le haut, et H la hauteur de la particule lorsqu’elle sort de l’écran. a) Quelle est la loi de X ? b) Quelle est l’espérance de X ? c) Déterminer le lien entre X et H. En déduire l’espérance de H. Interpréter.