rappels inégalités

Rappels de 2nde : Nombres et ordres- Détermination des variations de fonctions
1ère S
Les inégalités présentées ci-dessous au sens strict (< et >) sont également valables au sens large (  et )
1- Addition(et soustraction)
1-1 -Additionner un même nombre
Si on additionne un même nombre aux membres d'une inégalité, alors cette inégalité ne change pas de
sens. (Si a<b , alors a+c < b+c)
1-2- Addition entre deux inégalités de même sens
Si a, b, c et d sont quatre nombres réels tels que a<b et c<d, alors a+c<b+d
2-Multiplication (et division par un réel non nul)
2-1-Multiplier (ou diviser) par un nombre
Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre positif, alors cette
a
b
(Si a<b et c>0, alors ac<bc et
<
)
inégalité ne change pas de sens.
c
c
Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre négatif, alors cette
a
b
inégalité change de sens.
(Si a<b et c< 0, alors ac>bc et
>
)
c
c
2-2- Multiplier deux inégalités de même sens entre nombres positifs entre elles
Si a, b, c et d sont quatre nombres positifs et si a<b et c<d, alors ac<bd
3- Faire « agir » une fonction sur une inégalité.
3-1: Principe
Utiliser les variations connues de certaines fonctions sur un intervalle donné pour déterminer le sens
d'une inégalité. On rappelle que:
 si f est croissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)<f(b).
(faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est
croissante ne change pas le sens de cette inégalité)
 si f est décroissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)>f(b).
(faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est
décroissante change le sens de cette inégalité)
La connaissance parfaite des variations des fonctions de référence est donc nécessaire
3-2 Exemple d'utilisation avec la fonction carré
Énoncé : On considère deux nombres a et b appartenant à ] - ∞ ; 3] vérifiant a<b .
2
2
Comparer
2 a – 6 et
2 b – 6 .
Comme a et b sont deux éléments de ] - ∞ ; 3], alors
Par multiplication par un réel positif :
En ajoutant -6 aux trois membres
On constate ici que les trois membres sont des éléments de ]- ∞; 0])
Or la fonction carré (f : x  x 2 ) est décroissante sur ]- ∞; 0]
donc en l'appliquant aux trois membres de l'inégalité précédente on a :
a<b3
2a<2b6
2a–6 < 2b–60
2 a – 62 > 2 b – 62 0
3-3 Exemple d'utilisation avec la fonction inverse
Énoncé : On considère la fonction f définie sur ℝ\ {2} par f  x =
3
.
2– x
Étudier les variations de f sur ]2; +∞[
Il nous faut donc considérer deux nombres a et b appartenant à ]2; + ∞[ et comparer f a  et f b
Soit a et b vérifiant
multiplication par un négatif
addition de 2
C'est une inégalité entre nombres appartenant à ] – ∞; 0[
Or la fonction inverse est décroissante sur cet intervalle donc :
En multipliant par 3
Soit
2<a<b
-2>-a>-b
0> 2 – a > 2 – b
1
1
<
2 – a 2 –b
3
3
<
2 – a 2 –b
f a  < f b
On a donc prouvé que si a<b, alors f a  < f(b)
Donc f est croissante sur ]2; +∞[
3-4 Exemple d'utilisation avec a fonction racine carré
Énoncé : Prouver que la fonction g définie sur [4; + ∞ [ par
Soit u et v vérifiant
Addition de -4
C'est une inégalité entre éléments de [0;+ ∞[
Or la fonction racine carrée (r(x) =  x ) est
croissante sur cet intervalle donc :
Multiplication par un négatif
Addition de 3
Soit
On a donc prouvé que si u<v,alors g  u > g  v
Donc g est décroissante sur [4; + ∞[
g  x=3 – 2  x – 4
est décroissante.
4  u <v
0  u – 4 < v–4
0  u – 4 < v – 4
0–2  u – 4 > –2  v – 4
3 3–2  u – 4 > 3 –2  v – 4
3  g  u > g  v