Les inégalités

Les inégalités
Manipuler les inégalités
Lorsque l’on représente les nombres comme les points d’une droite horizontale, dire que x < y, c’est dire que le point associé au nombre x est
à la gauche de celui associé au nombre y. Les inégalités entre les nombres
obéissent aux lois suivantes quant à leurs rapports avec les opérations de
l’arithmétique :
si
x < y,
alors
x + z < y + z.
(1)
si
x<y
et si
z>0
alors
xz < yz.
(2)
si
x<y
et si
z<0
alors
xz > yz.
(3)
Attention à cette dernière règle : quand on multiplie une inégalité par
un nombre négatif, on change son sens.
si
si
0<x<y
0<x<y
alors
alors
xn < y n .
(4)
x1/n < y 1/n .
(5)
La valeur absolue |x| d’un nombre x est égale à x si x > 0 et est égale
à −x si x ≤ 0. Par exemple, |7| = 7 et | − 3| = 3. La distance entre
deux nombres x et y est, par définition, le nombre positif |x − y|. L’inégalité
suivante, dite inégalité du triangle, est très souvent utilisée :
|x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
(6)
Un intervalle borné est un ensemble de nombres défini par deux inégalités
(elles peuvent être strictes ou larges). Par exemple,
[0, 1] = {x | 0 ≤ x ≤ 1},
et
]1, 2[= {x | 1 < x < 2}
sont des intervalles bornés (on écrit aussi (1, 2) pour ]1, 2[). a est l’extrémité
gauche de l’intervalle [a, b] et b est son extrémité droite ; (a + b)/2 est son
1
centre et (b - a) est sa longueur. Un intervalle non borné est défini par une
seule inégalité. On utilise les symboles ±∞ (lire : plus ou moins l’infini) pour
dénoter les extrémités de tels intervalles. Par exemple,
[0, +∞[= {x | 0 ≤ x}
et
] − ∞, −3/2[= {x | x < −3/2}
sont des intervalles non bornés.
Comme l’inégalité |x − a| < c est satisfaite si et seulement si les deux
inégalités x − a < c et a − x < c sont toutes les deux satisfaites, l’inégalité
|x − a| < c définit un intervalle de centre a et de longueur 2c : ]a − c, a + c[.
Exercices
Vrai ou faux ?
1. Si a < b, alors 3a < 4b.
2. Si a < b, alors |c|a < |c|b.
3. Si a < b, alors a − c < b − c.
4. Si 0 < a < 1, alors a2 < a.
5. Si 0 < a < 1, alors a1/2 < a.
6. Si |x| < 1 et |y − 1| < 1, alors |x − y| < 2.
Pour en savoir plus
? http://noe-education.org/D1114.php3
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. Vrai
2. Vrai
3. Vrai
4. Vrai
2
5. Faux
6. Faux