My title - GRASP

C. Becco
M. Hubert
N. Vandewalle
Exercices de physique
Année académique 2016-2017
PHYS0188-7 Physique
2
Table des matières
Outils mathématiques
Répétition 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cinématique
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement à une dimension .
Mouvement à trois dimensions
Tir parabolique . . . . . . . .
Mouvement circulaire . . . . .
Répétition 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répétition 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices supplémentaires . . . . . . . . . .
Dynamique
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . .
Première loi de Newton .
Seconde loi de Newton .
Troisième loi de Newton
Inventaire des forces . . .
Répétition 3 . . . . . . . . . . . . . . .
Répétition 4 . . . . . . . . . . . . . . .
Répétition 5 . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices supplémentaires . . . . . . .
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Lois de conservation
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de l’énergie cinétique . . . . .
Forces conservatives et non-conservatives
Énergie mécanique . . . . . . . . . . . .
Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantité de mouvement . . . . . . . . .
Répétition 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répétition 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répétition 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .
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30
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31
32
33
35
Gravitation
39
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Attraction gravifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
Répétition 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Mécanique des fluides
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . .
Poussée d’Archimède .
Force de Stokes . . . .
Pression . . . . . . . .
Pression hydrostatique
Loi de Bernoulli . . . .
Débit . . . . . . . . . .
Répétition 10 . . . . . . . . . . . . .
Répétition 11 . . . . . . . . . . . . .
Exercices supplémentaires . . . . . .
Oscillations & Ondes
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscillateur harmonique
Ondes . . . . . . . . .
Ondes stationnaires . .
Répétition 12 . . . . . . . . . . . . .
Répétition 13 . . . . . . . . . . . . .
Exercices supplémentaires . . . . . .
Examens blancs
Janvier 2011 .
Juin 2012 . .
Août 2013 . .
Juin 2014 . .
Août 2015 . .
Janvier 2016 .
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Réponses aux exercices supplémentaires
4
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Contacts
Professeur :
Nicolas Vandewalle
Bureau : B5a, 3e étage, bureau 3/54,
Téléphone : +32 4 366 37 03
Email : [email protected]
Secrétariat :
Christine Renson
Bureau : B5a, 1e étage, bureau 1/ ? ?,
Téléphone : +32 4 366 36 14
Email : [email protected]
Organisation générale :
Christophe Becco
Bureau : B5a, 1e étage, bureau 1/49,
Téléphone : +32 4 366 35 80
Email : [email protected]
Responsable “Laboratoires” :
Christelle Prosperi
Bureau : B5a, 1e étage, bureau 1/ ? ?,
Téléphone : +32 4 366 36 63
Email : [email protected]
Assistants :
Maxime Hubert
Bureau : B5a, 3e étage, bureau 3/56,
Téléphone : +32 4 366 48 31
Email : [email protected]
Technicienne “Laboratoires” :
Jacqueline Detilloux
Bureau : B5b, RDC, bureau 0/ ? ?,
Téléphone : +32 366 37 61
Email : [email protected]
Martial Noirhomme
Bureau : B5a, 3e étage, bureau 3/50,
Téléphone : +32 4 366 36 60
Email : [email protected]
Remédiation :
Jean Metzmacher
Bureau : Téléphone : Email : [email protected]
Alexis Darras
Bureau : B5a, 3e étage, bureau 3/50,
Téléphone : +32 4 366 36 60
Email : [email protected]
Informations utiles
• Supports du cours théorique :
http://www.grasp.ulg.ac.be/nvdw/NVdw/Documents.html
• “PhyDeo” :
http://www.phydeo.ulg.ac.be
• Engagements pédagogiques du cours :
http://progcours.ulg.ac.be/cocoon/cours/PHYS0188-7.html
5
6
Outils mathématiques
Répétition 0
Exercice 1 : Niveau 1
Un insecte parcourt 50 cm en ligne droite sur un mur. Si son déplacement horizontal vaut 25 cm,
quel est son déplacement vertical ?
Exercice 2 : Niveau 1
Soit deux référentiels (x, y) et (a, b), le second référentiel est incliné par rapport au premier
comme sur le schéma.
y
b
x
20°
a
Déterminez
• les composantes, dans le référentiel (a, b), du vecteur P~ , dont la norme vaut 3 m et orienté
anti-parallèlement à l’axe y.
• les composantes, dans le référentiel (x, y), du vecteur F~ , dont la norme vaut 2 m et
orienté parallèlement à l’axe a.
~
• la norme et l’angle relatif
√ à chacun des axes du vecteur A dont les composantes dans le
référentiel (x, y) sont (2 2, 1) m.
Exercice 3 : Niveau 1
Au cours d’une chasse au trésor, l’énoncé des directives se lit comme suit : Marchez 5 m en ligne
droite à partir du chêne selon une orientation à 30◦ ouest par rapport au nord. Tournez de 45◦
vers la droite et avancez de 4 m. Creusez un trou de 2 m de profondeur. À quelle distance en
ligne droite se trouve le trésor par rapport au pied du chêne ?
7
Exercice 4 : Niveau 1
Si le réel exprimant la surface d’une sphère évaluée en mm2 est égal au réel exprimant son
volume évalué en cm3 , que vaut, en mètre, son rayon ?
Exercice 5 : Niveau 1
Soit un rectangle dont les dimensions sont L et H. Si H augmente de 200 mm et L augmente
de moitié moins, la surface est de 30 dm2 . Si L augmente de 15 cm et H augmente de deux fois
cette quantité, le périmètre est de 0.0025 km. Que valent H et L ?
Exercice 6 : Niveau 1
Un cône possède une base dont le périmètre vaut 63 cm et sa hauteur est de 50 cm. Quelle est
le rayon de la sphère qui aurait la même aire ? De plus, quel est le rapport entre le volume du
cône et le volume de cette sphère ?
Exercice 7 : Niveau 1
Le physicien Enrico Fermi a déjà fait remarquer que la durée habituelle d’un cours (50 min) se
rapproche de 1 microsiècle. Combien de temps dure un microsiècle ? Déterminez l’erreur relative
de l’approximation de Fermi de cette durée.
Exercice 8 : Niveau 2
Un enfant à la plage creuse un trou dans le sable et utilise un seau pour le remplir avec 1, 2 kg
d’eau. La masse d’une molécule d’eau est de 18 u. Trouvez le nombre de molécule d’eau dans le
seau. En supposant que la quantité d’eau sur Terre est constante et vaut 1, 32 1021 kg, combien
des molécules d’eau dans ce seau ont probablement fait partie, il y a 65 millions d’années, de
3 l d’eau remplissant une empreinte particulière creusée par un Tyrannosaure ? Supposez que
cette eau s’est répartie uniformément, à travers toute la terre, au cours des 65 millions d’années
en question. (1 u = 1, 66 10−27 kg)
8
Cinématique
Rappels
La cinématique cherche à décrire le mouvement d’une particule, indépendamment des causes
de ce mouvement, à partir des notions de position, vitesse et accélération.
Mouvement à une dimension Le mouvement d’une particule le long d’un axe est décrit
par x(t). Sa vitesse instantanée est donnée par v(t) = dx/dt et son accélération instantanée par
a(t) = dv/dt = d2 x/dt2 .
Lorsqu’une particule matérielle n’est soumise à aucune accélération, nous parlons de Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) (a = 0). Sa position x(t) et sa vitesse v(t) sont décrites
par les équations suivantes
(
x(t) = x0 + v0 (t − t0 ),
v(t) = v0 ,
où x0 = x(t0 ) et v0 = v(t0 ) sont la position et la vitesse à l’instant initial t0 . Nous remarquons
que la position x(t) varie linéairement avec le temps et que la vitesse est constante.
Si la particule matérielle est soumise à une accélération constante (a 6= 0) lors d’un mouvement rectiligne, nous parlons alors de Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
pour lequel position, vitesse et accélération sont décrites par

a0
2


x(t) = x0 + v0 (t − t0 ) + 2 (t − t0 ) ,
v(t) = v0 + a0 (t − t0 ),


a(t) = a ,
0
où a0 = a(t0 ) est l’accélération initiale de la particule. Dans le cas du MRUA, la position x(t)
est une fonction quadratique du temps tandis que la vitesse varie linéairement dans le temps.
Notons que le mouvement d’une particule le long d’un cercle peut aussi être décrit par
ces lois si l’on déroule le cercle le long d’un axe. Nous parlons alors de Mouvement Circulaire
Uniforme (MCU) et de Mouvement Circulaire Uniformément Accéléré (MCUA).
Mouvement à trois dimensions Le mouvement d’une particule est décrit par le vecteur ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Le vecteur vitesse est donné par la dérivée du vecteur position
~v (t) = d~r(t)/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) et l’accélération instantanée est donnée
par la dérivée
du vecteur vitesse ~a(t) = d~v (t)/dt = d2~r(t)/dt2 = d2 x/dt2 , d2 y/dt2 , d2 z/dt2 . Remarquons que
le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire de la particule.
9
Tir parabolique Le tir parabolique est la combinaison d’un MRU et d’un MRUA selon deux
directions perpendiculaires. C’est le cas, par exemple, d’une balle lancé dans le champ de gravité
~g . La particule est soumise à un MRUA selon l’axe vertical ~ey , attirée vers le bas par l’attraction
terrestre ~g . Selon l’axe horizontal ~ex , aucune accélération n’apparaissant, le mouvement est un
MRU. Les équations du mouvement de la particule sont
~r(t) = (x(t), y(t)) =
(
x(t) = x0 + v0 cos α (t − t0 ),
g
y(t) = y0 + v0 sin α (t − t0 ) − (t − t0 )2 ,
2
(
vx (t) = v0 cos α,
~v (t) = (vx (t), vy (t)) =
vy (t) = v0 sin α − g(t − t0 ),
avec α, l’angle de tir mesuré depuis l’horizontale et v0 le norme de la vitesse initiale. Le schéma
suivant illustre le tir parabolique ainsi que les diverses notations utilisées.
10
8
y
6
v(t0)
v(t)
4
2
0
0
α
5
10
15
20
25
x
Remarquons que, comme énoncé précédemment, le vecteur vitesse est bien tangent à la trajectoire à chaque instant.
Mouvement circulaire Pour décrire un mouvement circulaire, nous utilisons la position
angulaire θ(t) de la particule le long du cercle. Par dérivation, nous obtenons la vitesse angulaire
ω(t) = dθ/dt et l’accélération angulaire α(t) = dω/dt = d2 θ/dt. Les lois de la cinématique en
rotation sont identiques, en forme, aux lois de la cinématique d’une particule en translation.
Si l’accélération angulaire est nulle (α = 0), nous avons un Mouvement Circulaire Uniforme
(MCU) dont les équation sont
(
θ(t) = θ0 + ω0 (t − t0 ),
ω(t) = ω0 ,
où θ0 = θ(t0 ) et ω0 = ω(t0 ) sont la position angulaire et la vitesse angulaire à l’instant initial
t0 . Si l’accélération angulaire est non nulle (α 6= 0), nous avons un Mouvement Circulaire
Uniformément Accéléré (MCUA) avec pour équation

α0
2


θ(t) = θ0 + ω0 (t − t0 ) + 2 (t − t0 ) ,
ω(t) = ω0 + α0 (t − t0 ),


α(t) = α ,
0
où α0 = α(t0 ) est l’accélération initiale de la particule.
Le mouvement circulaire demande de distinguer les diverses composantes de l’accélération
linéaire ~a. En effet, l’accélération est de nature vectorielle et ce vecteur peut-être décrit en
10
terme de deux composantes : l’une parallèle au vecteur vitesse ~v et l’autre perpendiculaire à
ce vecteur. L’accélération tangentielle est parallèle à la vitesse et a pour rôle d’en changer la
norme. Elle répond à la définition
d|~v | |~at | = .
dt
L’accélération centripète (ou radiale) est perpendiculaire à la vitesse et orientée vers le centre
du cercle décrit par la particule. Son rôle est donc de modifier la direction de la vitesse. Son
amplitude est donnée par
|~v |2
,
R
où R est le rayon du mouvement circulaire. Ainsi, l’accélération totale est donnée par
|~ac | =
~a = ~at + ~ac .
v
at
a
ac
R
Les positions, vitesses et accélérations angulaires et linéaires sont liées entre elles par diverses
relations. Nous avons
x = θR,
v = ωR,
at = αR,
ac = ω 2 R.
11
Répétition 1
Exercice 1 : Niveau 2
Un étudiant conduit une mobylette sur une route en ligne droite. Son mouvement est décrit
par le graphique ci-dessous. Représentez un graphique de la position en fonction du temps et
un graphique de l’accélération en fonction du temps. Quelle est la position finale de l’étudiant
(t = 9 s) ?
v (m/s)
10
5
0
2
4
6
8
t (s)
10
-5
-10
Exercice 2 : Niveau 1
On lâche une pierre dans un puits, dont on connaı̂t la profondeur d = 60 m. Calculez, en
négligeant la résistance de l’air, après combien de temps la pierre arrive au fond du puits
et le temps total entre le lâché de le pierre et l’arrivée du son de l’impact aux oreilles de
l’expérimentateur. (vson = 331 m/s)
Exercice 3 : Niveau 2
Le choc d’une pierre qui tombe au fond d’un puits est perçu 4 s après que l’on ait lâché la pierre.
Calculez, en négligeant la résistance de l’air, la durée de la chute et la profondeur du puits.
Donnez la vitesse (en km/h) de la pierre au moment du choc au fond du puits. (vson = 331 m/s)
Exercice 4 : Niveau 2
Une rame de métro voyage entre deux stations distantes de 1 km. Pour effectuer ce trajet, le
conducteur accélère de manière constante (a1 = 0, 1 m/s2 ) pendant un temps ∆t1 , puis freine
avec une accélération constante a2 = −0, 5 m/s2 pour le reste du parcours (de durée ∆t2 ). Calculez la valeur de ∆t1 .
Exercice 5 : Niveau 1
Un fusil est pointé vers une cible placée à 200 m. La cible est à la même hauteur que le fusil. Si
la balle quitte le canon à la vitesse de 500 m/s, de combien la balle manquera-t-elle la cible ?
Exercice 6 : Niveau 3
Une tactique efficace lors d’une bataille de boule de neige consiste à lancer vers l’adversaire une
première boule de neige à un angle élevé par rapport au sol. Pendant que l’infortuné adversaire
regarde cette boule afin de l’éviter, lancez une deuxième boule vers lui, mais avec un angle
faible par rapport au sol. Cette deuxième boule pourra l’atteindre avant la première et ainsi le
surprendre. Si les deux boules sont lancées à 25 m/s et que la première est lancée à un angle
de 70◦ par rapport à l’horizontale, à quel angle faut-il lancer la seconde et après combien de
temps si l’on souhaite que les deux boules frappent le même point au même moment ?
12
Exercice 7 : Niveau 2
Un skieur saute d’un tremplin avec une vitesse de 25 m/s dirigée suivant l’horizontale. A partir
de l’extrémité du tremplin, la piste descend avec une pente constante de 35◦ par rapport à
l’horizontale. Calculez la durée du saut ainsi que la distance horizontale parcourue par le skieur
avant de toucher le sol.
Répétition 2
Exercice 1 : Niveau 3
James Bond veut sauter d’un avion sur un bateau qu’il poursuit. L’avion vole à une altitude
supérieure de 500 m à celle du bateau, avec une vitesse de 774 km/h. A l’instant initial, le radar
de l’avion indique que le bateau se trouve à une distance de 3000 m. Une seconde plus tard,
le bateau est situé à 2800 m. En supposant que l’avion et le bateau sont tous deux en MRU,
à quel moment James doit-il sauter, sachant que de toute façon, il ouvrira son parachute au
dernier moment ? (On peut donc négliger la résistance de l’air.)
Exercice 2 : Niveau 2
Deux nageurs, Toto et Fifi, s’entraı̂nent dans une rivière animée d’un courant de vitesse v. Ils
nagent à la même vitesse c par rapport au courant (c > v). Ils décident de faire une course
en partant au même moment et au même point du milieu de la rivière. Toto nage perpendiculairement à la rive sur une distance L et fait demi-tour vers le point de départ tandis que
Fifi descend le courant sur une même distance L puis remonte vers le point de départ. Lequel
reviendra en premier au point de départ ?
Exercice 3 : Niveau 1
Une motocyclette négocie un virage en forme d’arc de cercle de 50 m de rayon. Le module de
sa vitesse varie au taux de 3, 2 m/s2 . Lorsque la vitesse de la motocyclette se dirige vers l’est,
son accélération est orientée à 55◦ au nord par rapport à l’est. Quel est le module de la vitesse
de la moto à cet instant ? Le module de la vitesse augmente-t-il ou diminue-t-il ?
Exercice 4 : Niveau 2
Une pierre à l’extrémité d’une fronde est mise en mouvement circulaire vertical, sur une trajectoire de rayon r = 1, 2 m à une vitesse constante v0 = 1, 5 m/s. Le centre de la corde est à 1, 5 m
du sol. Quelle est la portée de la pierre si elle est lâchée en A ? Même question si la pierre est
lancée depuis B . Quelle est l’accélération de la pierre juste avant d’être relâchée en A ? Quelle
est son accélération juste après cet événement ?
B
A
1,2m
30°
30°
13
Exercice 5 : Niveau 3
Armé d’une fronde d’une longueur de 50 cm tournant dans un plan vertical, Pirlouit vise une
cible située 15 m devant lui et à 1 m du sol. Il tient sa fronde à une hauteur de 1,5 m. La pierre
est tirée horizontalement, du plus haut de la trajectoire circulaire. Lors de son premier essai, il
manque la cible, touchant le sol 10 m devant lui. Par quel facteur doit-il multiplier l’accélération
centripète initiale de la pierre pour toucher la cible, si cette accélération est constante pour chacun des tirs ?
Exercice 6 : Niveau 3
Deux voitures se dirigent vers un carrefour en croix qu’elles vont franchir chacune en ligne
droite. La première qui vient de l’ouest et roule à 90 km/h, se trouve initialement à 10 km du
carrefour. Au même moment, la seconde est située à 5 km au sud du carrefour et se rapproche
de celui-ci à 60 km/h. Quelle sera la distance minimale entre les deux voitures et à quel moment
cette configuration se produira-t-elle ?
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 2
Lors des Jeux Olympiques, un coureur réalise un chrono de 10 s au 100 m. Si l’on considère
qu’il accélère de manière constante pendant les 50 premiers mètres et maintient ensuite une
vitesse constante pour la fin de la course, quelle est la valeur de son accélération au démarrage ?
Exercice S2 : Niveau 2
Un automobiliste roulant à 144 km/h perçoit les appels de phare d’une voiture venant en sens
inverse. Il décide de ralentir et impose au véhicule une décélération constante de 2 m/s2 . Deux
secondes après le début de la décélération, il aperçoit un radar à 50 m devant lui. Quelle sera
sa vitesse lorsqu’il dépassera le radar s’il maintient sa décélération ?
Exercice S3 : Niveau 2
Dans le feuilleton télévisé L’homme qui valait trois milliards, le colonel Austin a les capacités
d’un surhomme. Au cours d’un épisode, il tente d’attraper un homme qui s’enfuit dans une
voiture de sport. La distance entre eux est de 100 m au moment où la voiture commence à
accélérer. Cette accélération est constante et vaut 5 m/s2 . Le colonel Austin court à la vitesse
de 30 m/s. Montrez qu’il ne parviendra pas à rattraper la voiture. Déterminez la distance minimale qui le séparera de la voiture.
Exercice S4 : Niveau 2
Une pierre est lâchée sans vitesse initiale du sommet d’un immeuble de 30 m de hauteur. Une
demi-seconde plus tard, une deuxième pierre est jetée verticalement, vers le bas, avec une vitesse de 20 m/s. A quelle hauteur , par rapport à la base de l’immeuble, la deuxième pierre
rattrape-t-elle la première ?
Exercice S5 : Niveau 2
De la fenêtre de sa chambre située à 18 m au-dessus du sol, un étudiant désire lâcher un ballon
rempli d’eau sur un passant. Ce dernier mesure 1, 7 m et se dirige vers le point A, situé à la
verticale de la fenêtre, en marchant à une vitesse de 0, 45 m/s. Si le ballon atteint le passant, à
quelle distance du point A ce dernier se trouvait-il au moment où l’étudiant a lâché le ballon ?
14
Exercice S6 : Niveau 2
Un fusil pointe légèrement au-dessus d’une cible située à 200 m. La cible est à la même hauteur
que le fusil. La balle quitte le canon à la vitesse de 500 m/s et elle atteint le centre de la cible.
Quel angle le canon forme-t-il avec l’horizontale ?
Exercice S7 : Niveau 2
Deux secondes après qu’un projectile a été tiré à partir du sol, son déplacement est de 40 m
horizontalement et 50 m verticalement, par rapport à son point de départ. Quelles sont les composantes de la vitesse initiale de ce projectile ? A l’instant où il atteint sa hauteur maximale,
de quelle distance horizontale s’est-il éloigné de son point de départ ?
Exercice S8 : Niveau 3
Les joueurs de baseball ont l’habitude de renvoyer la balle depuis le fond du terrain en lui
faisant faire un rebond. Cette technique permet de raccourcir le temps de trajet de la balle
par rapport à une passe sans rebond. Déterminez le rapport des temps de trajet avec et sans
rebond à l’aide des hypothèses suivantes :
• la vitesse initiale est identique dans les deux cas
• le lancé direct est effectué à 45◦
• lors du lancé avec rebond, la balle repart avec le même angle, mais à une vitesse réduite
de moitié.
Exercice S9 : Niveau 2
Un satellite se déplace suivant une orbite circulaire à 640 km au-dessus de la surface de la Terre.
Sa période est de 98 min. Quels sont
• le module de sa vitesse et
• le module de son accélération centripète ?
Exercice S10 : Niveau 2
Une voiture dont le module de la vitesse augmente à un taux de 0, 6 m/s2 roule sur une route
circulaire de rayon de courbure 20 m. Lorsque la vitesse instantanée de l’automobile vaut 4 m/s,
trouvez
• accélération tangentielle
• accélération radiale
• et le module et la direction de accélération totale.
Exercice S11 : Niveau 4
Dans la Cordillère des Andes, Tintin et Milou sont prisonniers d’un wagon qui dévale une pente
avec une accélération de 0, 5 m/s2 , sans frottement. La voie de chemin de fer passe au-dessus
d’une rivière. La distance AB comptée à la verticale de la rivière par rapport au point de chute
B est égale à 10 m (voir figure ci-dessous). Sachant que la vitesse du wagon, lorsqu’il passe au
point A est de 10 m/s, à quelle distance de A Tintin doit-il sauter pour tomber dans la rivière
au point B ?
15
Exercice S12 : Niveau 2
Un poisson nageant vers l’est à une vitesse de 3 km/h est repéré par un pingouin, 50 m au sud
de celui-ci. Si le pingouin peut atteindre une vitesse de 30 km/h, après combien de temps, au
minimum, peut-il atteindre sa proie ?
Exercice S13 : Niveau 3
Le coyote, vieillissant, achète sur eBay une paire de patins montés sur fusées pour rattraper son
éternel ennemi, le bipbip. Les patins peuvent communiquer une accélération horizontale de 15
m/s2 . Alors que le coyote est situé à 70 m d’une falaise haute de 100 m, le bipbip passe devant
lui, courant droit vers la falaise. Quelle doit-être la vitesse minimale du bipbip pour échapper
au coyote avant de chuter, si celui-ci allume ses patins lorsqu’il voit sa cible ? Le bipbip effectue
un demi-tour in extremis devant le bord de la falaise. Le coyote, moins chanceux, continue
droit devant lui. Si les patins restent horizontaux (et l’accélération qu’ils communiquent aussi),
à quelle distance et à quelle vitesse le coyote rencontrera le sol, 100 m plus bas ?
Exercice S14 : Niveau 3
Les expériences en microgravité sont réalisées dans un avion suivant un vol parabolique comme
illustré sur la figure ci-dessous. Comme indiqué que la figure, la navette passe de 24000 ft à
31000 ft où il entre dans son vol parabolique avec une vitesse de 143 m/s orientée de 45◦ au dessus de l’horizontale. Il quitte son vol parabolique lorsque sa vitesse est de 143 m/s mais inclinée
de 45◦ sous l’horizontale. Entre ces deux instants, l’équipage de l’avion est en microgravité.
Quelle est la vitesse et la hauteur de la navette au sommet du vol parabolique ? Combien de
temps dure la période de microgravité ? (1 ft = 30.48 cm)
Exercice S15 : Niveau 4
Un bombardier a une vitesse de 280 m/s orientée d’un angle θ sous l’horizontale. Lorsque l’altitude de l’avion est de 2,15 km, une bombe est larguée et fini par tomber au sol. Sachant que
la distance depuis le point de largage de la bombe est de 3,25 km, quel est l’angle θ ?
16
Exercice S16 : Niveau 5
Un navire se trouve à l’ouest d’une ı̂le montagneuse comme sur le schéma ci-dessous. Ce vaisseau
a manœuvré à une distance de 2500 m de la montagne d’une hauteur de 1800 m. Les obus tirés
par le navire ont une vitesse de 250 m/s. Quelles sont les angles minimal θL et maximal θH d’inclinaison de tir qui lui permettront de tirer sur un navire ennemi de l’autre côté de la montagne ?
(Indice : Trouvez, avant de calculer ces angles, le temps nécessaire à l’obus pour atteindre la
pointe de la montagne). Connaissant ces deux angles, si la côté est de l’ı̂le se situe à 300m de la
montagne, à quelles distances de la côte est un navire ennemi peut naviguer pour éviter les tirs ?
17
18
Dynamique
Rappels
La dynamique cherche à décrire le mouvement d’un objet à partir des causes de celui-ci.
Nous utilisons alors le concept de forces.
Première loi de Newton Tout corps conserve son état de mouvement (de repos ou de
Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)) à moins que la résultante des forces Σi F~i agissant sur
lui ne soit nulle et ne le contraigne à changer d’état de mouvement.
Seconde loi de Newton La résultante de toutes les forces Σi F~i agissant sur une particule
de masse m produit une accélération ~a de même orientation que la force résultante. Nous avons
X
F~i = m~a
i
où m est la masse inerte ou inertie de la particule.
Troisième loi de Newton Pour toute force exercée par un corps A sur un corps B, il existe
une force de même amplitude, de même direction et de sens opposée exercée par le corps B sur
le corps A.
F~A→B = −F~B→A
Inventaire des forces Nous proposons ici un inventaire non-exhaustif de diverses forces
présentes dans les exercices à venir. Cet inventaire se verra complété au fur et à mesure de ce
recueil.
N
Fr
Ffr
T
P
19
• Le poids d’un objet provient de son interaction avec le champ gravitationnel de la Terre
et attire l’objet considéré vers elle. Si l’objet est proche de la surface de la Terre, le
poids s’exprime
P~ = m~g ,
où m la masse et ~g l’accélération due à la pesanteur. Notons qu’il s’agit d’une force
exercée à distance, sans contact physique entre la Terre et l’objet considéré. De plus,
cette force s’applique au centre de masse de l’objet, comme illustré sur le schéma cidessus.
• La force normale intervient lorsqu’il y a un contact physique entre deux objets sans
possibilité d’interpénétration. Elle est toujours perpendiculaire à la surface de chaque
objet et dirigée vers l’objet considéré, comme représenté sur le schéma ci-dessus.
• Les forces de frottement interviennent lorsque deux objets sont en contact. Elles
sont toujours dirigées dans le sens opposé du mouvement relatif et sont tangentes à la
surface, comme indiqué sur le schéma. Les forces de frottements étant plus intenses
si les objets appuient fortement l’un sur l’autre, la définition de ces forces fait appel à
~ et s’écrit comme
la normale N
~|
|F~f r,s | ≤ µs |N
~|
|F~f r,c | = µc |N
Cas statique
Cas cinétique
où µs et µc sont les coefficients de frottement statique et cinétique respectivement.
• Les force de rappel apparaissent lorsqu’un ressort est étiré ou comprimé par rapport
à sa longueur d’équilibre l0 . La force est proportionnelle à la différence de longueur par
rapport à l0 et tangente au ressort, comme sur le schéma. L’expression de cette force est
|F~r | = k|l − l0 |,
où k est la constante de raideur. Notons que le sens de la force change selon que le ressort
est comprimé ou étiré, pour ramener le ressort vers sa longueur d’équilibre.
• La tension dans une corde se transmet tout au long de celle-ci et s’applique à l’objet
qui lui est attaché. Elle s’applique parallèlement à la corde comme sur le schéma.
Répétition 3
Exercice 1 : Niveau 2
Deux masses m1 et m2 sont reliées par une ficelle comme sur le schéma ci-dessous. On demande
de calculer l’accélération des deux masses et la tension dans la ficelle. Pour ce faire, considérez
que les masses de la ficelle et de la poulie sont négligeables et qu’il n’y a pas de friction, ni au
niveau de la poulie, ni sur le plan incliné.
Exercice 2 : Niveau 2
Soit une machine d’Atwood constituée d’une poulie et de deux masses m1 = 3 kg et m2 = 5 kg
reliées par une corde de 1 m. La poulie et la corde sont supposées être de masse négligeable.
20
Négligez les frottements avec l’air, il n’y a pas de glissement entre la corde et la poulie. Initialement, la masse m2 est au contact avec la poulie, la masse m1 étant au plus bas. Nous
communiquons alors à la masse m2 une vitesse initiale de v = 1 m/s dirigée vers le bas. Après
combien de temps la masse m2 sera au plus bas. Quelle sera sa vitesse ?
Exercice 3 : Niveau 3
Pirlouit veut monter dans un arbre sans grimper. Il est assis sur une balançoire attachée par
une poulie à l’arbre (voir figure ci-dessus à droite). Il tire sur l’extrémité libre de la corde de
telle manière que le dynamomètre y indique 250 N. Sachant que le poids de Pirlouit est de 320 N
et celui de la balançoire est de 160 N, calculez l’accélération de Pirlouit. Quelle est l’intensité
de la force que ce dernier exerce sur la balançoire ?
Exercice 4 : Niveau 2
Une personne se tient sur une balance dans un ascenseur. Lors du démarrage vers le haut,
la balance indique 600 N. Pendant le ralentissement précédant l’arrivée, la balance n’indique
plus que 400 N. En considérant que la magnitude de l’accélération est la même au départ et à
l’arrivée, calculez la masse de l’usager ainsi que l’accélération de l’ascenseur.
Exercice 5 : Niveau 3
Soit un train de 10 wagons ayant chacun une masse de 4 104 kg. La locomotive a une masse de
2, 2 105 kg et elle tire le premier wagon avec une force de module 8 105 N. Déterminez le module
• de la tension au raccord d’attelage entre le premier et le deuxième wagon.
• de la tension au raccord d’attelage entre les deux derniers wagons.
• de la force horizontale exercée par la voie sur la locomotive.
On suppose que les wagons roulent sans frottement.
Exercice 6 : Niveau 3
Dans un pendule conique, la masse décrit un cercle horizontal. Montrez que la période est
s
T = 2π
21
L cos θ
g
Exercice 7 : Niveau 2
Sachant que la tension maximale que peut supporter la corde de 50 cm d’un pendule conique
est de 500 N, à quelle vitesse angulaire maximale peut tourner une masse de 3 kg ? Si la corde
rompt, quel sera alors le mouvement de la masse ?
Répétition 4
Exercice 1 : Niveau 3
Un enfant tire sa luge de 6 kg à l’aide d’une ficelle pour remonter à vitesse constante une pente
enneigée inclinée de 15◦ . La tension dans la ficelle est de 25 N et celle-ci fait un angle de 20◦
avec le sol. Quelle est la valeur du coefficient de friction cinétique ? Arrivé au sommet, l’enfant
sur sa luge se laisse glisser le long de la pente. Quelle est sa vitesse après 10 m ?
Exercice 2 : Niveau 3
Un bloc de masse m = 2 kg est placé sur un autre bloc de masse M = 4 kg. Le coefficient de
frottement cinétique pour toutes les surfaces est µc = 0, 2. On ne tient pas compte de la masse
de la poulie ni de celle de la corde. Quelle valeur doit prendre le module de F~ pour que les blocs
• se déplacent à vitesse constante ?
• accélèrent à 2 m/s2 ?
Exercice 3 : Niveau 3
Un bloc de 1 kg est au repos sur un plan incliné pour lequel µc = 0.6 et µs = 0.8.
• Si le plan incliné fait un angle de 37◦ , le bloc se mettra-t-il en mouvement ?
• Si une force horizontale de module |F~0 | = 40 N agit sur le bloc, trouvez le module et
l’orientation de l’accélération.
(Benson, 3rd.Ed., Ch.6, E4, p.178)
Exercice 4 : Niveau 3
Dans le rotor, à la foire, le manège fait 3 m de rayon et tourne à une vitesse angulaire ω. Sachant
qu’une des personnes présente dans la manège pèse 60 kg et que les coefficients de frottement
statique et cinétique entre cette personne et le mur du rotor sont µs = 0.8 et µc = 0.6, décrivez
qualitativement et quantitativement son mouvement lorsque
• ω = 30 tours/min.
22
• ω = 10 tours/min.
Exercice 5 : Niveau 4
Sur la figure ci-dessous, le module de l’accélération du bloc 1 dépend de sa masse. En effet, si
m1 = 3 kg, a1 = 0.6 m/s2 , tandis que si m1 = 4 kg, a1 = 1.6 m/s2 . Déterminez m2 et l’amplitude
des forces de frottement agissant sur ce bloc. (Benson, 3rd.Ed., Ch.6, E22, p.180)
Exercice 6 : Niveau 2
Un paquet de 20 kg tombe d’un hélicoptère et atteint une vitesse limite de module vL = 30 m/s.
Quel est le module de la force de résistance lorsque le module de la vitesse est (a) vL et (b)
0, 5vL ? On suppose que FR ∝ v 2 .
Répétition 5
Exercice 1 : Niveau 3
Une automobile suit une route de montagne à vitesse constante. Le sommet d’une colline a
un rayon de courbure de 20 m. Quel est le module de la vitesse maximale possible pour que
l’automobile reste en contact avec la route ? À cette vitesse, quel serait le module du poids
apparent d’un passager de 75 kg lorsque l’automobile se trouve au fond d’une vallée de rayon
de courbure égal à 20 m ?
Exercice 2 : Niveau 3
Un bloc de masse M repose sur une surface horizontale où les frottements sont caractérisés par
un coefficient µs . Une force F~ est appliquée avec un angle θ comme sur la schéma.
• Quelle est la valeur minimale de F~ qui mette le bloc en mouvement ?
• Que se passe-t-il lorsque µs = cot θ ?
(Benson, 3rd.Ed., Ch.6, E17, p.179)
23
Exercice 3 : Niveau 4
Soit deux masses mA et mB disposées comme sur le schéma ci-dessous. Une force F~ est appliquée à la masse mB et aucun frottement n’existe entre cette masse et la surface sur laquelle
est repose. Sous l’action de cette force, la masse mB se met en mouvement. Sachant que des
frottements existent entre mA et mB , caractérisés par une coefficient de frottement µs , quelle
est la valeur minimale de mA qui lui fasse suivre le mouvement de mB . Quelle relation doit-il
exister entre F~ , µs et mB pour que mA suive le mouvement quelque soit sa masse ?
Exercice 4 : Niveau 3
Un bloc de masse M = 300 kg est posé sur une table et est relié à deux masses m1 et m2 via
le système de poulies suivant. Si la masse m1 est de 40 kg et que le coefficient de frottement
statique entre le bloc et la table vaut 0.4, quelle est la masse minimum m2 qui mettra le bloc
en mouvement vers la droite ? Les masses de la corde et des poulies sont négligeables.
Exercice 5 : Niveau 3
Une voiture doit négocier un virage en quart de cercle, de rayon 50 m. Le profil de l’asphalte
est relevé d’un angle α = 40◦ vers l’extérieur et le coefficient de frottement statique des pneus
sur l’asphalte vaut µs = 0, 6. Déterminez la plage autorisée pour la vitesse du véhicule afin qu’il
reste sur une trajectoire circulaire.
Exercice 6 : Niveau 4
Un bloc de masse m = 0, 5 kg est posé sur un coin de masse M = 2 kg. Le coin est soumis à
une force horizontale F~0 et glisse sur une surface sans frottement. Le coefficient de frottement
statique entre le bloc et le coin est de 0, 6. Trouvez l’intervalle des valeurs de F0 pour lesquelles
le bloc ne glisse pas sur le plan incliné. On donne θ = 40◦ . (Benson, Ch.6, P12, p.186)
24
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 2
Un corps de masse M = 20 kg est hissé de 160 km par rapport à la surface terrestre. Quelle est
la masse et le poids de l’objet à cette altitude ?
Exercice S2 : Niveau 3
Vous sautez d’une table jusqu’au sol. Pendant votre saut, la terre se “précipite” vers vous avec
une certaine accélération. Quelle est l’ordre de grandeur de cette accélération ? Quelle est l’ordre
de grandeur de la distance parcourue par la terre pendant votre saut ?
Exercice S3 : Niveau 2
Un objet de 1 kg subit une accélération de 10 m/s2 dans une direction à 30◦ au nord par rapport
à l’est. Une force F~1 dirigée vers le nord s’applique sur l’objet, avec une intensité de 5 N. Une
seconde force F~2 s’applique également sur l’objet. Déterminez sa direction et son intensité.
Exercice S4 : Niveau 3
Un objet de masse m1 sur une table horizontale sans friction est connecté à un objet de masse
m2 à travers deux poulies de masses négligeables, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Si
a1 et a2 sont les accélérations respectives des masses m1 et m2 , quelle est la relation entre ces
deux accélérations ? Calculez ces accélérations et les tensions dans les cordes.
Exercice S5 : Niveau 2
Un bloc de masse m = 2 kg est lâché du repos d’une hauteur h = 0, 5 m au-dessus de la surface
d’une table, le long d’un plan incliné à 30◦ . Le plan incliné, sans friction, est fixé sur la table,
haute de H = 2 m
• Déterminez l’accélération du bloc pendant qu’il glisse sur le plan incliné.
• Quelle est la vitesse du bloc lorsqu’il quitte le plan incliné ?
• A quelle distance de la table le bloc touche-t-il le sol ?
• Combien de temps s’est écoulé entre le lâché du bloc et son arrivée au sol ?
• Parmi les réponses précédentes, quelles sont celles qui sont affectées par la masse du bloc ?
25
Exercice S6 : Niveau 3
Un objet de masse 5 kg, attaché à un dynamomètre, repose dans un wagon sur une surface
horizontale sans friction. Le dynamomètre, fixé à la paroi avant du wagon, affiche constamment
18 N lorsque le wagon est en mouvement. Sachant que le dynamomètre est réglé à 0 lorsque le
wagon est à l’arrêt, déterminez l’accélération du wagon. Quelle mesure constante sera affichée
par le dynamomètre si le wagon avance à vitesse constante ?
Exercice S7 : Niveau 4
Un petit bloc est placé à l’intérieur d’un cylindre de rayon R = 40 cm qui tourne avec une
période de 2 s autour d’un axe horizontal. Montrez que l’angle maximal θ atteint par le bloc
avant qu’il ne commence à glisser est donné par
v2
g sin θ = µs g cos θ +
R
où µs = 0, 75 est le coefficient de frottement statique et v le module de la vitesse du bloc.
Déterminez θ. (Benson, Ch.6, E33, p.181)
Exercice S8 : Niveau 3
Un cycliste cascadeur roulant à la vitesse de 7 m/s décrit un cercle horizontal dans un ”puits de
la mort” cylindrique de rayon 4 m Quel est le coefficient de frottement minimal requis ? (Benson,
Ch.6, E34 p.181)
Exercice S9 : Niveau 4
Une automobile miniature de masse m peut rouler à une vitesse donnée. Elle parcourt un cercle
sur une table horizontale. La force centripète est exercée par un fil attaché à un bloc de masse
M suspendu comme ci-dessous. Le coefficient de friction statique est µ. Montrez que le rapport
du rayon maximal au rayon minimal est
M + µm
M − µm
(Benson, Ch.6, P5, p.185)
26
Exercice S10 : Niveau 3
Deux blocs de masses 3 et 5 kg sont reliés par un fil et glissent le long d’un plan incliné de 30◦ .
Le coefficient de frottement cinétique du bloc de 3 kg est de 0, 4, alors que celui de 5 kg est de
0, 3. Trouvez les modules de l’accélération des blocs et de la tension dans le fil. (Benson, Ch.6, P9
p.185)
Exercice S11 : Niveau 3
Le bloc B de la figure ci-dessous a une masse de 72 kg. Le coefficient de frottement statique entre
le bloc et la table est égal à 0, 25. Supposez que la corde est étendue horizontalement entre B et
le nœud. Déterminez la masse maximum du bloc A pour laquelle le système demeure immobile.
(on suppose la corde de masse négligeable)
27
28
Lois de conservation
Rappels
Travail Le travail d’une force F~ constante, en sens comme en amplitude, est donné par le
produit scalaire
~ = F ∆x cos θ,
W = F~ .∆x
~ et le vecteur F~ . Le
où ∆x est la distance totale parcourue et θ est l’angle entre le vecteur ∆x
travail s’exprime en Joules (J).
F
Δx
θ
Dans le cas plus général d’une force variable, en sens comme en amplitude, le travail est
évalué par une intégrale
ˆ
~
W = F~ .dl,
C
où C est le chemin sur lequel se déplace le point d’application de la force.
Théorème de l’énergie cinétique Définissant l’énergie cinétique comme K = mv 2 /2, sa
variation le long d’un chemin C est donnée par
∆K = Kf − Ki = W,
où Kf et Ki sont l’énergie cinétique à la fin et au début du mouvement et W le travail total,
contribution de toutes les forces.
Forces conservatives et non-conservatives De par sa définition, le travail d’une force
peut dépendre du chemin considéré. Cependant, certaines forces, dites conservatives ont un
travail qui ne dépend pas du chemin parcouru mais seulement de l’état initial i et de l’état final
f du système. Les autres forces, dont le travail dépend du chemin considéré (comme les forces
de frottement), sont dites non-conservatives.
29
Énergie mécanique Séparant le travail total exercé par toutes les forces agissant dans un
système comme une contribution due aux forces conservatives et une contribution due aux
forces non-conservatives, le théorème d’énergie cinétique s’écrit
Kf − Ki = Wc + Wnc .
Définissant l’énergie potentielle U d’un système par la relation
Wc = −∆U = −Uf + Ui ,
il vient alors
Kf + Uf = Ki + Ui + Wnc .
Définissant l’énergie mécanique E comme la somme de l’énergie cinétique K et de l’énergie
potentielle U , il vient
Ef = Ei + Wnc .
En l’absence de forces non-conservatives, nous obtenons alors la conservation de l’énergie
mécanique
Ef = Ei .
Puissance La quantité de travail développée par une force F~ durant un instant ∆t définit la
puissance selon la relation
W
.
P =
∆t
Du théorème de l’énergie cinétique, nous avons
P =
∆K
.
∆t
Finalement, une formulation alternative de la puissance s’écrit
P = F~ .~v
où ~v est la vitesse de déplacement de l’objet sur lequel la force F~ est appliquée.
Quantité de mouvement Définissant la quantité de mouvement p~ = m~v , une écriture
alternative de la seconde loi de Newton est
d~p X ~
=
Fext .
dt
Dès lors, par intégration entre deux états initial et final,
ˆ X
p~f − p~i =
F~ext dt.
En l’absence de forces extérieures F~ext , la quantité de mouvement est conservée avec
p~f = p~f
30
Répétition 6
Exercice 1 : Niveau 2
L’unique composante de la force agissant sur une particule de 0.25 kg est décrite sur la figure
ci-dessous. La particule s’approche de l’origine par la gauche à 20 m/s.
• Quel est le travail effectué par la force F~ lorsque la particule se déplace de x = 0 m à
x = 6 m.
• Quelle est la vitesse de la particule en x = 6 m.
F (N)
10
5
0
2
4
6
8
x (m)
-5
-10
Exercice 2 : Niveau 2
Un bloc de 5 kg est mis en mouvement sur un plan incliné, avec une vitesse initiale de 8 m/s.
Le bloc s’arrête après avoir parcouru 3 m le long du plan qui fait un angle de 30◦ avec l’horizontale. Pour ce mouvement, déterminez la variation d’énergie cinétique du bloc et la variation
d’énergie potentielle du bloc. Calculez aussi la force de friction cinétique (supposée constante)
exercée sur le bloc et le coefficient de friction cinétique entre le bloc et le plan incliné. Si vous
le pouvez, calculez enfin le coefficient de friction statique. (Serway, 6th.Ed., Ch.8, Ex.33, p.244)
Exercice 3 : Niveau 3
Une balle de masse m, attachée à une corde de longueur L, effectue un mouvement circulaire
dans un plan vertical. Montrez que la tension au sommet de la trajectoire est plus petite que
la tension au plus bas de la trajectoire d’une quantité 6mg. (Benson, 3rd.Ed., Ch.8, Ex.5, p.251)
Exercice 4 : Niveau 4
De quelle hauteur minimale hmin Pirlouit doit-il lâcher sa petite voiture pour qu’elle puisse
effectuer néanmoins sans encombre le looping de diamètre D de la figure suivante ? Représentez
dans ce cas les forces agissant sur la voiture en I et en II ainsi que la vitesse de celle-ci en ces
deux points. (On néglige les frottements.) (Serway, 6th.Ed., Ch.8, Ex.73 a), p.249)
31
Exercice 5 : Niveau 2
Adepte des expériences extrêmes, vous décidez d’effectuer un saut à l’élastique pendant les
vacances. Bien qu’ayant une confiance totale dans les professionnels, vous désirez contrôler
préalablement le ”plan de vol”. L’élastique prévu a une longueur naturelle de 25 m, votre masse
est de 70 kg et le pont d’où vous sauterez est élevé de 36 m au-dessus du fond d’un ravin. Quelle
doit être la constante de rigidité de l’élastique, si vous souhaitez garder une sécurité de 4 m par
rapport au sol ?
Exercice 6 : Niveau 3
Un bloc de 8 kg est lâché du point A de la figure ci-dessous. La piste est parfaitement lisse
(friction nulle) sauf dans la portion comprise entre B et C qui a une longueur de 6 m. Le bloc,
une fois lâché, parcourt la piste jusqu’au ressort, dont la constante de rigidité vaut 2000 N/m,
et compresse celui-ci de 30 cm par rapport à sa longueur naturelle avant de rebondir.
• Déterminez le coefficient de friction cinétique entre le bloc et la portion rugueuse de la
piste.
• Déterminez la position d’arrêt du bloc.
Exercice 7 : Niveau 4
Un particule est attachée entre deux ressorts identiques sur une table horizontale sans friction.
Les deux ressorts ont une constante de rappel k et ont une longueur à l’équilibre de L. Si la
particule est tirée d’une distance A le long d’une direction perpendiculaire à la configuration
initiale des ressorts, calculez la force exercée par les ressorts sur la particule. Déterminez la
quantité de travail effectuée par cette force lorsqu’elle déplace la particule de x = A à x = 0.
(Serway, 6e.Ed., Ch.7, ex.58, p.214)
Répétition 7
Exercice 1 : Niveau 1
Pendant un essai de sécurité routière, une automobile de 1250 kg percute un mur à 15, 6 m/s et
32
s’immobilise en 0, 3 s. Quel est le taux moyen de perte d’énergie cinétique durant la collision ?
(Benson, 3e.Ed., Ch.7, E.67, p.213)
Exercice 2 : Niveau 2
Une sauterelle (de masse 3 g) peut se propulser, en MRUA, du repos à 3, 4 m/s en 4 cm. Évaluez
la puissance moyenne fournie par ses pattes. (Benson, 3e.Ed., Ch.7, E.55, p.212)
Exercice 3 : Niveau 3
Un corps de 4 kg glisse sur un plan incliné faisant un angle de 20◦ avec l’horizontale. Le corps
est tiré vers le haut du plan incliné par une force de F = 80 N, parallèle au plan incliné. Le
coefficient de friction cinétique entre le plan incliné et le corps vaut µc = 0, 2.
• Calculez le travail de chacune des forces agissant sur le corps si celui-ci glisse sur une
distance de 20 m,
• Calculez la puissance moyenne développée par la force F pendant ce déplacement sachant que la vitesse initiale du corps était nulle.
Exercice 4 : Niveau 3
La chute en fer à cheval sur le Niagara a environ 50 m de hauteur et 800 m de largeur. L’eau
coule à 5 ms−1 et a une profondeur de 1 m au sommet de la chute.
• Quel volume d’eau franchit la chute par seconde ?
• Quelle est la variation d’énergie potentielle de ce volume d’eau ?
• Si cette énergie potentielle pouvait être convertie en énergie électrique, quelle serait la
puissance électrique produite ?
• La capacité de puissance électrique totale des États-Unis est d’environ 1012 W. Quel
pourcentage de cette puissance pourrait être produit en domestiquant les chutes du Niagara avec une efficacité de 80 % ?
Exercice 5 : Niveau 4
Trois ouvriers ont pour travail de monter un piano dont le poids vaut 3.5 kN au sommet d’un
immeuble de 25 m par une poulie attachée au toit. Sachant que le piano est tracté à vitesse
constante et que les travailleurs développent une puissance de 165 W chacun, combien de temps
faudra-t-il au piano pour atteindre la hauteur souhaitée sachant que 25% de l’énergie déployée
par les ouvriers est dissipée au niveau de la poulie ?
(Serway,9th.Ed., Ch.8, P.39, p.239)
Exercice 6 : Niveau 4
Un poids de 7,25 kg et un javelot de 0,8 kg sont lancés à 45◦ et touchent le sol au même niveau duquel ils ont été lancés. Le poids atterrit à une distance de 20 m et le javelot à une
distance de 90 m. Avant le tir, le lanceur de poids déplace le poids de 1,5 m et le lanceur
de javelot de 2,2 m avec une accélération constante, du repos, sans que le lanceur lui-même
ne se déplace. Quelle est la puissance fournie par chaque athlète ? (Benson, 3e.Ed., Ch.7, E.57, p.212)
Répétition 8
Exercice 1 : Niveau 2
Une balle de masse m1 = 3 kg se déplaçant vers le sud à 6 m/s entre en collision avec une balle
de masse m2 = 2 kg initialement au repos. La première balle est déviée selon un angle de 60◦
sud par rapport à l’ouest et la balle cible est projetée à 25◦ est par rapport au sud. Quels sont
33
les modules des vitesses finales ?(Benson, 3e.Ed., Ch.9, E.7, p.276)
Exercice 2 : Niveau 3
Un chasseur de 80 kg portant un fusil de 4 kg se trouve sur un lac gelé sans frottement. Le fusil
tire une balle de 15 g à 600 m/s par rapport à la glace.
• Quel est le module de la vitesse de recul du fusil si l’on suppose que le chasseur ne le
tient pas fermement contre l’épaule ?
• Quel est le module de la vitesse du chasseur une fois que le fusil lui a frappé l’épaule ?
On suppose que la collision est parfaitement inélastique.
• Quel serait le module de la vitesse du chasseur s’il tenait son fusil fermement appuyé
contre l’épaule ?
(Benson, 3e.Ed., Ch.9, E.13, p.276)
Exercice 3 : Niveau 3
Une particule de masse m1 = 2 kg se déplaçant à 8 m/s selon l’axe des x positifs subit une
collision élastique avec une particule de masse m2 = 1 kg initialement au repos. La première
particule repart selon un angle de 30◦ par rapport à l’axe des x positifs. Trouvez les vitesses
finales de m1 et m2 . (Benson, 3e.Ed., Ch.9, E.56, p.280)
Exercice 4 : Niveau 3
Une fusée doit être utilisée dans l’espace profond pour amener une charge totale (hors combustible/comburant) de 3 103 kg à une vitesse de 10000 m/s. Le combustible et le moteur de la
fusée sont prévus pour obtenir une vitesse d’expulsion des gaz de 2000 m/s. Quelle masse de
combustible/comburant sera nécessaire ? Si une conception différente de moteur permet d’obtenir une vitesse d’expulsion de 5000 m/s, quelle quantité de combustible/comburant sera alors
nécessaire pour la même tâche ? (Serway, 6e.Ed., Ch.9, ex.51, p.287)
Exercice 5 : Niveau 4
Un projectile de 5 g est lancé avec une vitesse de 400 m/s sur un bloc de bois qu’il transperce
quasi instantanément. Le bloc de 1 kg est initialement au repos sur un sol horizontal sans
friction. Il est attaché à un ressort possédant une constante de rigidité de 900 N/m. Si, après
l’impact, le bloc recule de 5 cm vers la droite et s’arrête, trouvez à quelle vitesse la balle ressort
du bloc et quelle est la perte d’énergie cinétique lors de la traversée de la balle.
Exercice 6 : Niveau 4
Un lance-missiles, de masse M = 5000 kg, posé sur des skis, tire horizontalement une roquette
de 100 kg à une vitesse de 350 m/s et, sous l’effet du recul, monte sur un plan incliné de 10◦
• Quelle sera la vitesse du lanceur juste après le tir ?
• Jusqu’à quelle hauteur H le lanceur montera-t-il sur le plan incliné si on néglige les
frottements ?
• Si l’on observe qu’il atteint seulement une hauteur de 1 m, que vaut le coefficient de
frottement cinétique entre les skis et la rampe ? (on néglige les frottements sur la partie
horizontale, avant le plan incliné)
Exercice 7 : Niveau 4
Un bloc de bois de 1,25 kg repose sur une table percée d’un trou comme sur la figure ci-dessous.
34
Une balle de 5 g est tirée avec une vitesse initiale ~vi dirigée vers le haut et s’incruste dans le
bloc. Suite à l’impact, le bloc et la balle s’élève ensemble de 22 cm. Quelle est la vitesse initiale
de la balle ?
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 2
Le propulseur de balle dans un flipper est constitué par un ressort dont la constante de rigidité vaut 1, 2 N/cm. La surface sur laquelle la balle se déplace est incliné de 10◦ par rapport à
l’horizontale (voir figure). Si le ressort est initialement comprimé de 5 cm, quelle sera la vitesse
d’éjection pour une balle de 100 g ? (On considère que la balle glisse sans rouler. On néglige les
frictions et la masse du propulseur.) (Serway, 9th.Ed., Ch.7, ex.60, p.209)
Exercice S2 : Niveau 3
Un plongeur de 70 kg se laisse tomber dans l’eau à partir d’un tremplin de 10 m de haut. Sa
chute s’arrête à 5 m sous le niveau de l’eau. Quelle est la force moyenne de résistance que l’eau
exerce sur le plongeur ? Serway ex. 8.30 pg 243
Exercice S3 : Niveau 4
Un potiron se trouve au sommet d’un hémisphère parfaitement lisse. Suite à une perturbation
infinitésimale (petit déplacement), le potiron se met à glisser sur la surface. Quel sera l’angle
que forme le vecteur vitesse du potiron avec l’horizontale au moment où ce dernier décolle de
la surface ? Serway ex. 8.51 pg 246
Exercice S4 : Niveau 4
Tarzan (80 kg) se sert d’une liane de 4 m de long pour franchir un plan d’eau situé 10 m plus
bas que lui. L’angle que fait la liane avec la verticale est de 60◦ . Il croı̂t bon de se lancer avec
une vitesse initiale de 4 m/s perpendiculairement à la liane. Ce qu’il ignore, c’est que la liane
ne peut supporter une tension supérieure à 1800 N. Calculez l’abscisse de sa chute dans l’eau.
Exercice S5 : Niveau 3
Après avoir lâché le filin qui le reliait au bateau qui le tractait, un homme de 80 kg faisant
du ski nautique aborde en A le tremplin de la figure ci-contre (L = 1 m) avec une vitesse de
55 km/h.
• Si l’on observe que le skieur atteint la hauteur H = 1, 30 m au sommet de sa trajectoire,
que doit valoir le coefficient de frottement cinétique µc entre les skis et le tremplin ?
35
• Quelle est la portée d du saut qu’il va effectuer ?
Négligez les frottements dus à l’air.
Exercice S6 : Niveau 2
On lâche les masses représentées sur la figure ci-dessous qui sont initialement au repos. Trouvez la vitesse du système au moment où la masse M 1 touche le sol. On sait que M 1 = 5 kg,
M 2 = 2 kg, d = 1 m. On néglige la masse de la corde et de la poulie.
Exercice S7 : Niveau 4
Un corps de 50 g, au repos, comprime de 10 cm un ressort vertical. On le pousse vers le bas de
20 cm supplémentaires, puis on le lâche.
• Par rapport à cette position, quelle est la hauteur maximale atteinte par le corps s’il
n’est pas attaché au ressort ?
• Quel est l’allongement maximal du ressort si le corps est collé au ressort ?
Benson, Ch.8, E12, p. 245
Exercice S8 : Niveau 3
Un pendule est constitué d’une masse de 0, 7 kg suspendue à un fil de longueur 1, 6 m. La masse
part du repos lorsque le fil fait un angle de 30◦ par rapport à la verticale. On modifie la trajectoire en plaçant un clou en dessous du point de fixation du fil, à 1 m sur la verticale. Quel est
l’angle maximal θ que va faire le fil avec la verticale après avoir touché le clou ? Benson, Ch.8,
E6, p. 244
36
Exercice S9 : Niveau 3
Une cycliste et son vélo ont une masse de 60 kg. La cycliste maintient une vitesse constante de
5, 8 m/s pendant qu’elle monte une pente de 5◦ . Quelle puissance fournit-elle aux roues ? Ne
tenez pas compte du frottement.Benson, Ch.7, E68, p. 213
Exercice S10 : Niveau 4
Une masse M se dirige sur une table à coussin d’air (≡ sans frottement), à la vitesse v, vers
une masse m, initialement au repos. La collision frontale est parfaitement élastique. Calculez
les vitesses après le choc.
Exercice S11 : Niveau 4
Une masse M se dirige sur une table à coussin d’air (≡ sans frottement), à la vitesse v, vers
une masse m, initialement au repos. La collision frontale est parfaitement inélastique (≡ les
deux masses restent agglomérés). Calculez la vitesse de l’ensemble après le choc et la quantité
d’énergie dissipée.
Exercice S12 : Niveau 3
En apesanteur, on provoque la destruction d’un engin spatial, de masse M , au repos, à l’aide
d’une charge explosive. Trois fragments, m1, m2 et m3 sont émis à 120◦ l’un de l’autre, dans un
même plan. Leurs vitesses sont dans le rapport v : 2v : 3v. Calculez les masses des fragments
et l’énergie dissipée par l’explosion.
Exercice S13 : Niveau 3
Deux pendules, de même longueur 50 cm, de masse respective m et 2m sont initialement au
repos, celui de masse m dans la position verticale d’équilibre, celui de masse 2m à un angle de
60◦ avec la verticale. On lâche le pendule supérieur qui vient percuter le pendule inférieur de
façon élastique. Calculez les vitesses des masses pendulaires juste après le choc ainsi que l’angle
dont elles remontent chacune.
Exercice S14 : Niveau 3
Deux particules de masse égale 4M sont initialement au repos. Une particule de masse M se
déplaçant à la vitesse ~u subit une collision élastique avec l’une des plus grosses particules.
• Combien de chocs ont lieu si tout se passe à une dimension ?
• Quelles masses identiques doit-on donner aux deux grosses particules pour obtenir un
choc de plus que ce qu’on a trouvé à la partie ?
Benson, Ch.9, P13, p. 283
Exercice S15 : Niveau 2
Une automobile A de masse 2 103 kg se déplaçant à 15 m/s entre en collision de plein fouet avec
une automobile B de masse 103 kg initialement au repos. Les véhicules restent accrochés après
la collision.
• Quel est le module de leur vitesse commune après la collision ?
• Si la collision dure 0, 2 s, quel est le module de la force moyenne agissant sur chaque
véhicule ?
37
• Calculez le module de la force exercée par la ceinture de sécurité sur un passager de
70 kg dans chaque automobile. (On suppose que le passager est maintenu fermement par
la ceinture de sécurité.)
Benson, Ch.9, E44, p. 279
Exercice S16 : Niveau 1
La vitesse d’expulsion des gaz d’une fusée est de 2, 8 km/s par rapport à la fusée. La fusée est
initialement au repos dans l’espace. Quel est le module de sa vitesse lorsque 70% de sa masse
initiale est éjectée ? Benson, Ch.9, E72, p. 281
Exercice S17 : Niveau 4
Un canon est attaché de manière rigide à un chariot, qui peut bouger sur des rails horizontaux
mais est attaché à un ressort horizontal. Ce dernier est initialement non-allongé et possède une
constante de rigidité k = 2 104 N/m. Le canon tire un projectile de 200 kg à une vitesse de
125 m/s, 45◦ au-dessus de l’horizontal.
• Si la masse du canon et du chariot réunis vaut 5000 kg, trouvez la vitesse de recul du
canon.
• Déterminez l’extension maximale du ressort.
• Trouvez la force maximale que le ressort exerce sur le chariot.
• Considérez le système constitué du canon, du chariot et de l’obus. La quantité de mouvement de ce système, au moment du tir, est-elle conservée et pourquoi ?
Serway 6th ed., Ch.9, ex.64, p. 289
38
Gravitation
Rappels
Centre de masse Pour un système de N points, le centre de masse est donné par
PN
~rCM = Pi=1
N
mi~ri
mi
i=1
où mi et ~ri sont la masse et la position de chaque particule.
x
m3
r3
m4
r4
m1
r2
r1
m2
y
Dans le cas d’un solide étendu, la somme devient une intégrale
~rCM
1
=
M
ˆ
~r dm
M
avec M la masse totale du solide.
Attraction gravifique Deux objets s’attirent l’un l’autre sous l’action de leurs propres
masses. Cette attraction, appelée force de gravitation ou attraction gravifique obéit à la relation
Gm1 m2
F~1/2 = −
~u12 ,
2
r12
où m1 et m2 sont les masses des deux objets et ~u21 est le vecteur unitaire pointant du centre
de masse de m1 vers le centre de masse de m2 , comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
39
m2
m1
u 12
F 1/2
r 12
La constante G est appelée constante de Cavendish et vaut
G = 6.67 10−11 Nm2 /kg2 .
Notons que la force de gravitation est conservative et que l’énergie potentielle liée à cette force
est
Gm1 m2
.
U =−
r21
Répétition 9
Exercice 1 : Niveau 1
Déterminez la position du centre de masse des molécules suivantes. (a) La molécule de HCl,
en forme d’haltère, dont les atomes sont séparés par 1, 3 10−10 m. (b) La molécule de H2 O, qui
forme un triangle dont l’angle entre les deux liaisons OH vaut 105◦ où la distance entre O et
H vaut 10−10 m. (Benson, 3e.Ed., Ch.10, E.1, p.305)
Exercice 2 : Niveau 3
Une sphère homogène de rayon R est percée d’un trou sphérique de rayon r. Le centre du trou
est situé à une distance d du centre de la sphère initiale, avec d + r < R. Trouvez la position
du centre de masse par rapport au centre de la sphère. (Benson, 3e.Ed., Ch.10, E.6, p.306)
40
Exercice 3 : Niveau 5
Trouvez la position du centre de masse d’une plaque homogène en forme de demi-cercle de
rayon R. (Benson, 3e.Ed., Ch.10, P.2, p.309)
Exercice 4 : Niveau 4
Deux blocs de masses m et 2m sont maintenus contre un ressort comprimé de masse nulle à
l’intérieur d’une boı̂te de masse 3m et de longueur 4L, dont le centre est situé en x = 0. Toutes
les surfaces sont sans frottement. Les blocs ayant été lâchés, ils se trouvent chacun à une distance L des extrémités de la boı̂te au moment où ils ne sont plus en contact avec le ressort.
Calculez la distance que le centre de la boı̂te aura parcouru une fois que les deux blocs soient
entrés en collision avec la boı̂te et soient restés accrochés à celle-ci. (Benson, 3e.Ed., Ch.10, E.15,
p.307)
41
Exercice 5 : Niveau 2
Des études montrent que le Soleil se trouve dans le disque de sa galaxie, la Voie Lactée, à une
distance approximative de 30 000 années-lumières de son centre. De plus, la vitesse du soleil
dans son mouvement circulaire autour du centre de la Voie Lactée est de 250 km/s. Quelle
est la période du mouvement du Soleil ? Quel est l’ordre de grandeur de la masse de notre
Galaxie ? Si celle-ci est composée principalement d’étoiles de masse similaire à celle du Soleil
(MS = 1, 99 1030 kg), estimez le nombre d’étoiles dans la Galaxie.
Exercice 6 : Niveau 3
Un astronaute de masse m se trouve dans une navette spatiale qui décolle à la verticale de la
surface de la Terre. Son accélération reste constamment égale à 9, 81 m/s2 .
• Quel est le poids apparent de l’astronaute directement après le décollage ?
• Quel sera-t-il lorsque la navette spatiale sera éloignée de la surface de la Terre d’une
distance égale au rayon terrestre ?
Exercice 7 : Niveau 2
La planète Mars a un rayon d’environ 3440 km et sa masse représente 11% de la masse terrestre.
Si un objet pèse 3200 N sur Terre, déterminez son poids et l’accélération gravitationnelle sur
Mars. (M⊕ = 5, 974 1024 kg et R⊕ = 6, 371 106 m)
Exercice 8 : Niveau 2
La période et le rayon de l’orbite lunaire sont respectivement de 27, 3 jours et de 3, 84 105 km.
Les valeurs correspondantes pour Europe, une lune de Jupiter, sont de 3, 55 jours et 6, 71 105 km.
Calculez le rapport des masses de Jupiter et de la Terre, MJ /M⊕ .
Exercice 9 : Niveau 5
Un satellite d’une tonne est en orbite circulaire à 100 km d’altitude. Après un certain temps,
les frottements sur les hautes couches de l’atmosphère ont dissipé une énergie égale à 107 J.
Estimez, au premier ordre, les modifications d’altitude et de vitesse du satellite, en appliquant
la formule de Taylor à l’expression de l’énergie mécanique totale du satellite en fonction de sa
distance au centre de la Terre.
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 3
Un carré homogène de côté 2R est percé d’un trou circulaire de rayon R/2. Le centre du trou
est situé en (R/2, R/2) par rapport au centre du carré, dont les côtés sont parallèles aux axes
de référence. Trouvez la position du centre de masse par rapport au centre du carré. (Benson,
Ch.10, E5, p.306)
Exercice S2 : Niveau 5
Une tige homogène de longueur L est pliée en arc de cercle de manière à sous-tendre un angle
de 90◦ . A quelle distance du centre de la tige se trouve le centre de masse de la tige ? (Serway,
6thEd., Ch.9, ex.44, p.286)
Exercice S3 : Niveau 3
Un club de golf consiste en un manche connecté à la tête du club. Il peut être modélisé comme
une tige uniforme de longueur l et de masse m1 qui part radialement de la surface d’une sphère
de rayon R et de masse m2 . Trouvez la position du centre de masse, mesure depuis le centre de
42
la tête du club. (Serway, 6thEd., Ch.9, ex.73, p.290)
Exercice S4 : Niveau 5
Une tige homogène de masse M à la forme d’un demi-cercle de rayon R. Une masse m ponctuelle est placée au centre de ce demi-cercle. Calculez la force gravitationnelle exercée par M
sur m.
Exercice S5 : Niveau 4
Un satellite de 100 kg est mis sur une orbite terrestre à une altitude de 200 km. La résistance,
très faible, de l’air le fait descendre peu à peu sur une orbite d’altitude 100 km.
• Calculez sa vitesse initiale.
• Calculez sa vitesse finale.
• Calculez l’énergie initiale du satellite.
• Calculez son énergie finale.
• Calculez le travail des forces de frictions
(Serway, 6thEd., Ch.13, ex.60, p.418)
43
44
Mécanique des fluides
Rappels
Poussée d’Archimède Un objet immergé (même partiellement) dans un fluide immobile
~ Cette force est égale au
subit une force qui s’oppose à la gravité, la poussée d’Archimède B.
poids de volume de fluide déplacé et s’exprime donc
~ = −mf luide~g
B
= −ρf luide Vimmergé~g
où ρf luide est la masse volumique du fluide, Vimmergé le volume immergé de l’objet et donc le
volume déplacé de fluide.
Force de Stokes Quand un objet sphérique se déplace dans un fluide visqueux, une force de
frottement s’oppose à son mouvement. Il subit une force opposée à sa vitesse qui dépend du
rayon de la sphère R et de la viscosité du fluide η. La force a pour expression
F~s = −6πηR~v .
Notons que cette expression n’est valable qu’à faible nombre de Reynolds.
Pression La pression p est définie comme la force exercée perpendiculairement par unité de
surface A. Mathématiquement
p=
F⊥
A
Pression hydrostatique Un fluide au repos exerce une pression sur tout objet qui y est
immergé. Cette pression résulte du poids de la colonne de fluide au dessus de l’objet et s’exprime
ph = ρf luide gh.
Dans cette expression, h représente la hauteur de fluide directement au dessus de l’objet immergé.
Loi de Bernoulli Dans un fluide non-visqueux, incompressible, en écoulement laminaire et
stationnaire, l’écoulement du fluide modifie la pression en son sein. La relation liant l’écoulement
du fluide, la pression et l’altitude est la loi de Bernoulli et s’exprime sous la forme d’une équation
de conservation le long des lignes de courant. Nous avons
45
1
ρf luide v 2 + ρf luide gh + p = cst
2
Débit Le débit mesure la quantité de matière, ici un fluide, qui s’écoule au cours du temps.
Deux formulations sont possibles
∆V
.
∆t
Dans certains cas, l’expression du débit Q prend une forme particulière. En effet, dans le cas
d’un fluide de viscosité η s’écoulant dans une conduite cylindrique de rayon R et de longueur
L sous l’effet d’une différence de pression ∆p, dite “perte de charge”, nous avons
Q = Av =
Q=
πR4 ∆p
.
8ηL
Répétition 10
Exercice 1 :Niveau 2
Un tube en U de section uniforme et dont les deux extrémités sont ouvertes est partiellement
rempli de mercure (ρHg = 13600 kg/m3 ). De l’eau est alors rajoutée dans les deux bras de telle
façon que l’équilibre corresponde à la figure ci-dessous. Si h2 = 1 cm, que vaut h1 ? Serway ex.
14.20 p.442
Exercice 2 : Niveau 3
Un récipient de 1 kg contenant 2 kg d’huile (ρh = 916 kg/m3 ) est déposé sur une balance. On
y plonge entièrement un bloc de fer (ρFe = 7860 kg/m3 ) de 2 kg suspendu à un dynamomètre
comme indiqué sur le schéma (en bas, à gauche). Quelles valeurs (en N) peut-on lire sur chaque
instrument de mesure ? Serway ex. 15.63 p.447
46
Exercice 3 : Niveau 4
Un tube de Venturi est équipé d’un manomètre différentiel à mercure. En 1 (voir figure ci-dessus
à droite), le tube a un diamètre de 15 cm et en 2, il a un diamètre de 30 cm. Calculez le débit
de l’eau dans le tube pour que la différence de hauteur indiquée au manomètre soit de 22, 5 cm.
La masse volumique du mercure est 13, 6 103 kg/m3 .
Exercice 4 : Niveau 4
Un tube en U de 1 cm de diamètre intérieur est rempli d’eau jusqu’à 50 cm du bord. On ajoute
alors dans la partie de droite 50 ml d’huile (ρ = 750 kg/m3 ), comme indiqué sur la figure.
• Calculez la hauteur L de la colonne d’huile obtenue.
• Calculez la différence de hauteur h entre le niveau à droite et le niveau à gauche.
• A quelle vitesse devrait-on souffler de l’air au-dessus de l’ouverture de gauche si l’on
désirait égaliser les deux niveaux ?
Serway ex. 15.71 p.448
Exercice 5 : Niveau 2
L’aile d’un avion a une aire de 80 m2 . L’air s’écoule à 200 m/s sur la face supérieure et à 180 m/s
sous l’aile. Quel est le module de la force de pression sur l’aile ? (Benson, 3e.Ed., Ch.14, E.50, p.446)
Répétition 11
Exercice 1 : Niveau 2
Une aiguille à injection hypodermique est longue de 2 cm. Son rayon intérieur est de 0, 3 mm.
Le débit de l’eau forcé à travers l’aiguille est de 10−7 m3 /s. La viscosité de l’eau vaut 10−3 Pa.s =
1 cP.
• Calculez la vitesse moyenne de l’eau en supposant un écoulement laminaire.
• Quelle est la différence de pression appliquée ?
47
Exercice 2 : Niveau 3
Un globule rouge peut être considéré, en première approximation comme une sphère de rayon
2 10−6 m et d’une masse volumique de 1300 kg/m3 Combien de temps mettra-t-il pour sédimenter
sur une distance de 1 cm dans du sang à 37◦ (c.-à-d. ρ = 1, 0595 103 kg/m3 et η = 0, 003 Pa.s)
Exercice 3 : Niveau 4
Un réservoir cylindrique de large section est équipé d’un système qui maintient constant le
niveau d’eau à une hauteur H = 60 cm. Ce réservoir est percé latéralement de deux trous : l’un
est situé à une hauteur h = 10 cm par rapport au fond du réservoir et l’autre à une hauteur y
inconnue.
• Calculez la vitesse de l’eau qui s’échappe de l’orifice inférieur.
• A quelle distance D du récipient le jet d’eau inférieur touchera-t-il le plan horizontal
passant par le fond du réservoir ?
• A quelle hauteur y est percé le second trou si on observe que les deux jets touchent le
sol à la même distance D ?
Exercice 4 : Niveau 5
En prenant pour le sang une masse volumique de 1060 kg/m3 et une viscosité de 3 10−3 Pa.s,
∆P
) d’un capillaire humain typique. Le
• Calculez la résistance à l’écoulement (R =
Q
rayon est de 2 10−6 m et la longueur vaut 1 mm.
• Estimez le nombre de capillaires dans le corps humain étant donné que le débit à travers
l’aorte est de 9, 7 10−5 m3 s−1 et que la différence de pression entre le système artériel et
le système veineux est de 11, 6 kPa. Supposez que tous les capillaires sont disposés en
parallèle et que la perte de charge (∆P ) dans les capillaires correspond à 9% de la perte
de charge totale.
48
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 4
Le tube Venturi ci-contre est inséré dans un oléoduc ayant une section droite S0 = 200 cm2 .
L’étranglement Se du Venturi a un diamètre de 10 cm. On observe une différence de hauteur
de fluide ∆y = 5 cm entre les deux colonnes. Calculez la vitesse du liquide dans l’oléoduc et
déduisez-en le débit. Supposez que le liquide en écoulement est un fluide parfait.
Exercice S2 : Niveau 3
Calculez l’amplitude de la vitesse limite d’une bulle de CO2 de 1, 0 mm de rayon (invariable
par hypothèse) qui s’élève dans un verre d’eau dont la masse volumique est égale à 1000 kg/m3
et la viscosité est de 1, 005 10−3 Pa.s. La masse volumique du CO2 est de 1, 98 kg/m3 . Faites un
dessin des forces en présence.
Exercice S3 : Niveau 3
Une boule en frigolite de 12 cm de rayon repose sur un liquide de telle manière qu’une fraction
de 3, 5% de son volume se trouve en-dessous de la surface libre du liquide. Si, à la boule, on suspend une petite sphère de métal de 2 cm de rayon et de masse volumique égale à 7800 kg.m−3 ,
la fraction de boule de frigolite qui se trouve en-dessous de la surface libre du liquide est de
7, 6%. On demande la masse volumique de la frigolite ainsi que celle du liquide.
Exercice S4 : Niveau 3
Quel est le plus petit rayon que puisse avoir un aérostat sphérique gonflé d’hydrogène pour lui
permettre de s’élever ? La masse du mètre carré de l’enveloppe est de 250 g. La masse volumique
de l’hydrogène 0, 0898kg.m−3 .
Exercice S5 : Niveau 4
Dans le dispositif schématisé ci-dessous, un réservoir A de large section par rapport à l’embouchure C, contient de l’eau maintenue pendant toute l’expérience à une hauteur constante de
20 cm.
• Lorsque C est fermé :
1. Quelle est la hauteur de l’eau dans le tube B ?
2. Si, dans ce tube B, on ajoute une hauteur d’huile de 5 cm (ρhuile = 800 kg/m3 ), que
devient la hauteur de l’eau dans le tube B ?
• Lorsque C est ouvert et l’huile toujours présente dans le tube :
1. Quelle est la vitesse d’écoulement de l’eau en C ? On supposera que la pression en C
est la pression atmosphérique,
2. Calculez la hauteur de l’eau dans le tube B si l’on suppose que la section de la
canalisation en B est double de celle de l’embouchure C.
49
Exercice S6 : Niveau 3
Un ballon sphérique de 40 cm de rayon est rempli d’hélium et attaché 0 une ficelle homogène
de 50 g et de 2 m de longueur. La masse de l’enveloppe du ballon est de 250 g. A quelle hauteur h au-dessus du sol le ballon sera-t-il en équilibre ? (ρHe = 0, 179kg/m3 ) Serway ex. 14.55 pg 446
Exercice S7 : Niveau 4
Un trou est percé à une hauteur h dans un récipient cylindrique très large (par rapport au
trou) rempli d’eau jusqu’à une hauteur h0 . Que doit valoir h si l’on désire que l’eau qui jaillit
horizontalement du trou touche le sol le plus loin possible du récipient ? Quelle est la valeur de
cette distance maximale ? Serway ex. 14.10 pg 435
50
Oscillations & Ondes
Rappels
Oscillateur harmonique Pour un bloc de masse m attaché à un ressort de constante de
raideur k pour lequel aucune autre force n’agit, l’équation de Newton est
m
d2 x
= −kx
dt2
avec pour solutions
x(t) = A sin(ωt + φ).
Par dérivation, nous obtenons la vitesse et l’accélération
v(t) = Aω cos(ωt + φ),
a(t) = −Aω 2 sin(ωt + φ).
p
Dans ces solutions, A est l’amplitude du mouvement, ω = k/m est la fréquence angulaire
et φ une phase déterminée par les conditions initiales. De ces relations, nous pouvons observer
que
vmax = Aω
amax = Aω 2
p
k/m, la période de l’oscillateur est
r
m
τ = 2π
k
Sachant que la fréquence angulaire est ω =
La seule force agissant dans le problème étant conservative, il y a conservation de l’énergie avec
1 2 1 2 1 2
mv + kx = kA ,
2
2
2
cette relation étant valable pour chaque instant t.
Ondes La propagation des ondes dans un milieu répond à l’équation aux dérivées partielles
1 ∂ 2y
∂ 2y
=
.
c2 ∂t2
∂x2
Une solution est
51
y(x, t) = A sin(kx − ωt + φ)
où y(x, t) est l’élongation en x à l’instant t, φ une phase déterminée par les conditions initiales
et A l’amplitude de l’onde. Sa longueur d’onde λ définit le nombre d’onde k = 2π/λ et sa
fréquence angulaire est ω = 2πν et sa fréquence ν. Nous avons le lien suivant entre longueur
d’onde et fréquence
c = λν
ω
=
k
où c est la célérité des ondes. Dans le cas particulier d’une onde transversale dans une corde de
masse linéique µ et dans laquelle règne une tension T , cette célérité vaut
s
T
c=
µ
Ondes stationnaires La superposition d’ondes dans un milieu peut mener, sous certaines
conditions à la formation d’ondes stationnaires. Celles-ci répondent à l’expression
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt)
dans laquelle comportements spatial et temporel ont été découplés. Comme affirmé précédemment,
la création d’ondes stationnaires est possible sous certaines conditions précises qui dépendent
de la géométrie du système. Ces conditions sont
• Système fermé à ses deux extrémités : νn = nc/2L où n est le nombre de ventres.
• Système ouvert à ses deux extrémités : νn = nc/2L où n est le nombre de nœuds.
• Conditions mixtes : νn = (2n − 1)c/4L où n est le nombre de ventres.
Répétition 12
Exercice 1 : Niveau 1
Pour éprouver les éléments d’une fusée devant subir de très grandes accélérations, on les fixe
à un plateau qui exécute un mouvement vibratoire sinusoı̈dal de direction horizontale. Si ce
mouvement a une fréquence de 10 Hz, quelle amplitude doit-on lui donner pour atteindre une
accélération de 50 g ?
Exercice 2 : Niveau 2
Une masse de 1 kg attachée à un ressort possédant une constante de rappel de 25, 0 N/m oscille sur une surface horizontale et dépourvue de frottement. Au départ, la masse est lâchée du
repos à une position x = −3 cm. Calculez la période des oscillations, la valeur maximale de la
vitesse et de l’accélération ainsi que la position, la vitesse et l’accélération en fonction du temps.
Exercice 3 : Niveau 4
Une balle de masse m arrive à l’horizontale, à une vitesse v, dans un bloc de bois de masse M ,
relié à deux ressorts comme représenté à la figure ci-dessous (m = 20 g, M = 3 kg, v = 300 m/s,
k1 = 500 N/m, k2 = 400 N/m). La balle s’incruste dans le bloc.
• Calculez le déplacement maximum du bloc.
• Que vaut l’amplitude de l’accélération du système lorsque le déplacement est maximum
(négligez les frottements entre le bloc et la table) ?
52
• Quelle est la vitesse du bloc lors du passage par le point d’équilibre ?
Exercice 4 : Niveau 2
Un bloc de masse inconnue est attaché à l’extrémité d’un ressort placé verticalement, fixé au
plafond. La période des oscillations est de 0.8 s. Lorsqu’on y suspend un autre bloc, de 50 g, la
longueur à l’équilibre du ressort augmente de 38 cm supplémentaires. Trouvez
• La constante de raideur du ressort
• La masse du premier bloc
(Benson, 3rd.Ed., Ch.15, E59, p.477)
Exercice 5 : Niveau 4
Un bloc de masse m = 1 kg est posé sur un autre bloc de masse M = 5 kg qui est attaché à un
ressort horizontal (avec k = 20 N/m), tel que représenté sur le schéma ci-dessous. Le coefficient
de frottement statique entre les blocs est µs , et le bloc inférieur glisse sans frottement sur une
surface horizontale. L’amplitude des oscillations est A = 0.4 m. Quelle est la valeur minimale
de µs pour que le bloc supérieur ne glisse pas par rapport au bloc inférieur ? (Benson, 3rd.Ed.,
Ch.15, P4, p.479)
Exercice 6 : Niveau 4
Un objet de masse m1 = 9 kg est à l’équilibre et attaché à un ressort dans la constante de raideur
est k = 100 N/m. La masse du ressort est négligeable. Un second objet, de masse m2 = 7 kg, est
accolé au premier. Les deux blocs sont ensuite poussés ensemble jusqu’à comprimer le ressort
de A = 0.2 m. Le système est alors relâché et les objets se déplacent vers la droite sur une
surface sans frottement.
• A quelle vitesse s’échappe m2 ?
• Quelle est la distance entre m1 et m2 lorsque m1 est pour la première fois à l’élongation
maximale, à droite du point d’équilibre ?
(Serway, 9th.Ed., Ch.15, p85, p.481)
Répétition 13
Exercice 1 : Niveau 1
Une onde transverse se propage le long d’un fil tendu avec une amplitude de 0, 2 mm et une
fréquence de 500 Hz. Sa vitesse de propagation est de 196 m/s. Ecrivez une équation de la forme
53
y = A sin(kx − ωt) dans les unités du SI pour cette onde. La masse par unité de longueur du
fil valant 4, 1 g/m, trouvez la valeur de la tension dans le fil.
Exercice 2 : Niveau 1
Une chauve-souris poursuit un insecte en volant à 5 m/s. Si notre mammifère émet ses cris à
une fréquence de 40 kHz et reçoit l’écho à 40, 4 kHz, quelle est sa vitesse relative par rapport à
l’insecte ?
Exercice 3 : Niveau 4
Un bloc supportant un haut-parleur est raccordé à un ressort horizontal dont la constante de
rappel k = 20 N/m. La masse totale du bloc et du haut-parleur est de 5 kg et l’amplitude de leur
mouvement commun est de 0, 5 m. Si le son émis possède une fréquence de 440 Hz, déterminez
la fréquence la plus haute et la plus basse perçue par la personne à droite du haut-parleur.
Sachant que la distance minimale qui le sépare du haut-parleur est de 1 m et que le niveau
sonore y est de 60 dB, quel est le niveau sonore minimal qu’il percevra ?
Exercice 4 : Niveau 4
Une corde de piano de 60 cm de long a une masse de 6 g. La force de traction T dans la corde
est de 400 N. Déterminez la fréquence du mode fondamental de vibration de la corde. Calculez
ensuite quel sera l’harmonique le plus élevé perçu par une personne qui peut entendre jusqu’à
une fréquence de 10 000 Hz. (Les harmoniques sont comptés à partir de la fréquence du mode
fondamental, correspondant à l’harmonique 1.)
Exercice 5 : Niveau 4
Sur un marimba, les barres de bois qui produisent une note lorsqu’elles sont frappées, vibrent
selon une onde stationnaire transverse à trois ventres et deux nœuds. La plus basse fréquence
est de 87 Hz, produite par une barre de 40 cm de long. Trouvez la vitesse des ondes transverses
dans la barre. Un tube résonnant est suspendu verticalement sous le centre de la barre pour
augmenter l’intensité du son émis. Si le tube n’est ouvert que sur l’extrémité supérieure, quelle
doit être la longueur du tube pour qu’il résonne avec la barre décrite ci-dessus ?
54
Exercice 6 : Niveau 4
Un avion supersonique vole horizontalement à une altitude indéterminée. Alors qu’il est juste
au-dessus d’un observateur au sol, ce dernier voit qu’un missile est tiré depuis l’avion. Dix
seconde plus tard, l’observateur entend le bang supersonique de l’avion, suivi 2, 8 s après par le
son du missile. Calculez la vitesse de l’avion. (cson = 330 m/s)
Exercices supplémentaires
Exercice S1 : Niveau 3
Deux mobiles vibrent de manière harmonique, suivant la même droite, autour du même centre,
avec la même période et la même amplitude. Lorsque le premier se trouve à la moitié de
l’élongation maximum, à gauche de sa position d’équilibre, allant de gauche à droite, le second
le croise. Calculez leur différence de phase (on prendra comme sens positif le sens de gauche à
droite).
Exercice S2 : Niveau 2
Une horloge à pendule indique correctement le temps sur Terre. On déplace l’horloge sur la
Lune, où le poids de l’objet est six fois moins grand que sur la Terre. Quel sera le nombre de
secondes indiqué par l’horloge pendant un intervalle de temps d’une minute ?
Exercice S3 : Niveau 4
La période des petites oscillations d’un pendule est T . A cause d’un obstacle placé au-dessous
du pivot (sur la même verticale), seul le quart inférieur de la corde peut suivre la boule du
pendule au cours de son mouvement vers la gauche par rapport à la position d’équilibre (voir
figure). Le pendule, initialement au repos en un point quelconque est lâché. Après combien de
temps repasse-t-il par sa position initiale ? (on considère que les angles sont petits)
55
Exercice S4 : Niveau 2
L’amplitude d’oscillation d’un oscillateur harmonique est de 0, 1 m. Pour quelle valeur x du
déplacement les énergies cinétique et potentielle sont-elles égales ?
Exercice S5 : Niveau 3
Arthur et Marie jouent à lancer un projectile dans une petite boı̂te posée sur le sol à l’aide d’un
canon à ressort fixé à l’extrémité d’une table. La boı̂te se trouve à une distance horizontale
de 2, 2 m du bord de la table. Arthur comprime le ressort de 1, 1 cm, mais la bille touche trop
rapidement le sol, soit à 27 cm du centre de la boı̂te.
• De quelle distance Marie doit-elle comprimer le ressort pour atteindre la boı̂te ?
• Si Marie comprimait elle aussi le ressort de 1, 1 cm, de quel pourcentage devrait-elle
modifier la hauteur de la table pour atteindre la boı̂te ? Ni le ressort ni le projectile ne
subit de force de frottement dans le canon.
Exercice S6 : Niveau 4
Dans le dispositif illustré ci-après, un objet peut être suspendu à une corde (de masse linéaire
µ = 0, 002 kg/m) qui passe par une poulie. La corde est reliée à un oscillateur (de fréquence
fixée f0 ) et la longueur de la corde entre l’oscillateur et la poulie vaut L = 2 m. Lorsque la
masse m de l’objet suspendu vaut soit 16 kg soit 25 kg, une onde stationnaire est observée.
Cependant, aucune masse de valeur intermédiaire ne donne lieu à une onde stationnaire.
• Que vaut la fréquence de l’oscillateur ?
• Supposant que l’ensemble du dispositif est extrêmement solide, quelle est la masse la
plus élevée que l’on puisse attacher à la corde et qui donne lieu à une onde stationnaire ?
Exercice S7 : Niveau 4
Toto a reçu pour Noël un camion de pompier, dont les sirènes fonctionnent sur piles. Tout
compris, le camion a une masse de 800 g. Pour tester toutes les possibilités de ce merveilleux
cadeau, Toto l’attache à une ficelle de 0, 5 m de long et fait tourner le camion au-dessus de sa
tête, avec les sirènes allumées. Sachant que Toto arrive à faire tourner son camion 1,5 fois par
seconde et que le doux mugissement de celui-ci a une fréquence de 440 Hz, calculez quelles sont
56
les fréquences minimale et maximale que son papa va percevoir. Celui-ci est assis dans le fauteuil en train de lire le journal, la tête à la hauteur du camion. Que vaut la tension dans la corde ?
Exercice S8 : Niveau 3
Un haut-parleur est placé entre deux observateurs, séparés de 110 m, sur la ligne qui les relie. Si
un observateur (A) mesure un niveau sonore de 60 dB et l’autre observateur mesure un niveau
sonore de 80 dB, à quelle distance de A se trouve le haut-parleur ? Serway 6th ed., Ch.17, ex.30, p. 538
Exercice S9 : Niveau 3
Si deux fréquences naturelles (des modes d’ondes stationnaires donc) et successives d’un tuyau
d’orgue valent 550 Hz et 650 Hz, calculez la fréquence fondamentale et la longueur du tuyau.
Serway 6th ed., Ch.18, ex.43, p. 574
Exercice S10 : Niveau 4
Un cylindre de cuivre (ρ = 8960 kg/m3 ) est suspendu à un fil métallique de masse négligeable.
L’extrémité supérieure du fil est fixée au plafond. Lorsque le fil est frappé, il émet un son à
la fréquence fondamentale de 300 Hz. Si le cylindre de cuivre est partiellement submergé dans
l’eau de manière à ce que la moitié de son volume soit sous la surface de l’eau, déterminez la
nouvelle fréquence fondamentale. Serway 6th ed., Ch.18, ex.30, p. 573
57
58
Examens blancs
Janvier 2011
Exercice 1 - Niveau 5
Un objet de 4 kg est attaché à une tige verticale par deux cordes de masse négligeable. En faisant
tourner la tige centrale, la masse est mise en rotation sur un cercle horizontal. En supposant que
la vitesse de la masse est constante et vaut 6 m/s, calculez la tension dans chacune des cordes.
Calculez également la vitesse minimale de la masse pour que les deux cordes soient tendues.
Exercice 2 - Niveau 4
Deux particules de masses respectives m et 3m se déplacent l’une vers l’autre le long d’un axe
x, avec une vitesse de même module vi . Les deux particules se rencontrent en un choc élastique
et, immédiatement après le choc, la particule de masse m se déplace perpendiculairement à
l’axe x. Dans ce cas particulier, il est possible de calculer les vitesses finales des deux particules
ainsi que l’angle que fait la vitesse de la particule de masse 3m avec l’axe x après la collision.
Donnez ces vitesses et cet angle en fonction de vi et/ou de m. N’hésitez pas à faire un petit
schéma de la collision.
Exercice 3 - Niveau 4
Un diapason vibrant à une fréquence de 512 Hz est lâché depuis la fenêtre d’un haut immeuble.
A quelle distance du point de lâché se trouve le diapason lorsque des ondes de fréquence 485 Hz
arrivent au point de lâché ? Prenez 340 m/s pour la vitesse du son dans l’air.
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Juin 2012
Exercice 1 - Niveau 5
Un aigle vole horizontalement en ligne droite, à une vitesse de 10 m/s, 200 m au-dessus du sol.
Une souris qu’il transporte dans ses serres se libère discrètement. L’aigle continue distraitement
son vol pendant 2 s avant de s’apercevoir de la disparition de la souris et de tenter de la rattraper.
Il plonge alors en ligne droite à vitesse constante et rattrape la souris 3 m au-dessus du sol.
Calculez :
• la vitesse du plongeon de l’aigle ;
• l’angle, par rapport à l’horizontale, de la trajectoire de l’aigle pendant son plongeon ;
• la durée de la chute de la souris.
Vous négligerez les frottements dus à l’air.
Exercice 2 - Niveau 3
Un satellite de 100 kg est mis sur une orbite terrestre à une altitude de 200 km. La résistance,
très faible, de l’air le fait descendre peu à peu sur une orbite d’altitude 100 km. Calculez :
• sa vitesse initiale ;
• sa vitesse finale ;
• l’énergie mécanique totale initiale du satellite ;
• son énergie mécanique totale finale ;
• le travail des forces de frictions.
Vous prendrez M⊕ = 5.98 1024 kg, R⊕ = 6378 km, G = 6.67 10−11 N · m2 /kg2
Exercice 3 - Niveau 4
Deux masses ponctuelles, m1 = 0, 3 kg et m2 = 0, 5 kg sont chacune suspendue à un fil de
longueur L = 2 m, chacun fixé à un même point du plafond. La plus légère est écartée d’un
angle α = 15◦ par rapport à la verticale, puis lâchée du repos. Elle va venir cogner l’autre masse
en un choc élastique. Calculez :
• la vitesse de chaque particule juste après le choc ;
• l’angle θ maximal séparant les deux fils après le choc ;
• le temps entre la collision précédemment étudiée et la collision suivante entre les deux
masses (en adoptant l’hypothèse des petits angles, et donc d’un mouvement pendulaire
pour chacune des masses).
Exercice 4 - Niveau 5
Un château d’eau (ci-dessous) alimente en eau courante (fluide non-visqueux) une rue de 20
maisons. Il est constitué d’un gros réservoir cylindrique de 2 m de rayon et de 4 m de haut. La
surface libre du réservoir est 15 m au-dessus du niveau de la conduite principale d’alimentation.
Le niveau du réservoir est maintenu constant grâce à une pompe qui plonge dans une nappe
60
phréatique, 50 m sous la conduite principale. En imaginant que tous les robinets aient une
ouverture circulaire identique de 5 mm de rayon et soient situés à 1 m au-dessus de la conduite,
calculez à quelle vitesse l’eau jaillit si un seul robinet est ouvert. Déterminez cette vitesse si 20
robinets sont ouverts. Quelle doit être la puissance déployée alors par la pompe pour maintenir
le niveau d’eau constant dans le château d’eau ?
Août 2013
Exercice 1 - Niveau 3
Dans le schéma ci-dessous, la corde et la poulie sont de masse négligeable. Il y a des frottements
entre m2 et la table. On mesure que l’accélération de m1 vaut a1 = 0, 6 m/s2 si la masse
m1 = 3 kg. Sans changer la valeur de m2 , l’accélération de m1 devient a1 = 1, 6 m/s2 lorsque
m1 = 4 kg. Déterminez la valeur de la masse m2 ainsi que la valeur du coefficient de frottement
avec la table.
Exercice 2 - Niveau 4
Dans le dispositif illustré ci-après, un objet peut être suspendu à une corde (de masse linéaire
µ = 0, 002 kg/m) qui passe par une poulie. La corde est reliée à un oscillateur (de fréquence
fixée f0 ) et la longueur de la corde entre l’oscillateur et la poulie vaut L = 2 m. Lorsque la
masse m de l’objet suspendu vaut soit 16 kg soit 25 kg, une onde stationnaire est observée.
Cependant, aucune masse de valeur intermédiaire ne donne lieu à une onde stationnaire.
• Que vaut la fréquence de l’oscillateur ?
• Supposant que l’ensemble du dispositif soit extrêmement solide, quelle est la masse la
plus élevée que l’on puisse attacher à la corde et qui donne lieu à une onde stationnaire ?
61
Exercice 3 - Niveau 4
Une balle de 2 kg est attachée à l’extrémité d’une ficelle, dont la tension de rupture vaut 50 N.
L’autre extrémité de la ficelle est maintenue fixe. La balle est lâchée du repos, la ficelle tendue
et horizontale initialement. Calculer l’angle que fait la ficelle avec la verticale au moment où
elle cède.
Exercice 4 - Niveau 4
Deux particules de masses respectives m et 3m se déplacent l’une vers l’autre le long d’un axe
x, avec une vitesse de même module vi . Les deux particules se rencontrent en un choc élastique
et, immédiatement après le choc, la particule de masse m se déplace perpendiculairement à
l’axe x. Dans ce cas particulier, il est possible de calculer les vitesses finales des deux particules
ainsi que l’angle que fait la vitesse de la particule de masse 3m avec l’axe x après la collision.
Donnez ces vitesses et cet angle en fonction de vi et/ou de m. N’hésitez pas à faire un petit
schéma de la collision.
Juin 2014
Exercice 1 - Niveau 3
Une montgolfière s’élève verticalement dans le ciel à la vitesse constante de 2 m/s. À 100 m
du sol, on lâche simplement un premier sac de sable (vous considérerez que ceci ne modifie
pas la vitesse de la montgolfière). Deux secondes plus tard, on en lâche un deuxième en lui
communiquant une vitesse initiale, par rapport au ballon, orientée vers le bas. Calculez cette
vitesse pour que les deux sacs touchent le sol en même temps, en négligeant les frottements
avec l’air.
Exercice 2 - Niveau 5
Un bloc de 20 kg est lié à un bloc de 30 kg par une corde de masse négligeable qui passe, sans
frottement, par une poulie de masse négligeable. La masse de 30 kg est attachée à un ressort
de masse négligeable, fixé au sol et de constante de rigidité k = 500 N/m. Dans la situation
de départ (comme illustré sur la figure), le système est au repos et le ressort est à sa longueur
naturelle. Le bloc de 20 kg est alors tiré de 20 cm vers le bas le long du plan incliné, ce qui
amène donc le bloc de 30 kg à 40 cm du sol. On lâche alors le bloc. Calculez la vitesse des deux
blocs lorsque la masse de 30 kg repasse par sa position initiale. Le coefficient de frottement
cinétique entre le plan incliné et le bloc de 20 kg vaut µc = 0, 3.
62
Exercice 3 - Niveau 4
Toto a reçu pour Noël un camion de pompier, dont les sirènes fonctionnent sur piles. Tout
compris, le camion a une masse de 1000 g. Pour tester toutes les possibilités de ce merveilleux
cadeau, Toto l’attache à une ficelle de 0, 5 m de long et fait tourner le camion au-dessus de sa
tête, avec les sirènes allumées. Sachant que Toto arrive à faire tourner son camion au rythme
d’une révolution par seconde et que le doux mugissement de celui-ci a une fréquence de 440 Hz,
calculez quelles sont les fréquences minimale et maximale que son papa va percevoir. Celui-ci
est assis dans le fauteuil en train de lire le journal, la tête à la hauteur du camion. Que vaut la
tension dans la corde ? Notez que la ficelle fait un angle α avec la verticale.
Exercice 4 - Niveau 5
Un village maintient un gros réservoir d’eau pour les urgences. L’eau peut-être récoltée du
réservoir par un tuyau dont le diamètre intérieur est de 6, 6 cm. Le tuyau se termine horizontalement par une buse (un rétrécissement) dont le diamètre intérieur vaut 2, 2 cm. Un bouchon
en plastique est inséré dans la buse pour que l’eau ne s’écoule pas.
• Calculez l’intensité de la force de frottement que la buse exerce sur le bouchon.
• En supposant que le niveau d’eau du réservoir est maintenu constamment 7, 5 m audessus de la buse, quelle est la masse d’eau qui s’écoulera du réservoir, une fois le bouchon
enlevé, sur une période de 2 h ?
• Pendant cet écoulement, déterminez la différence de pression entre la pression atmosphérique
et la pression de l’eau dans le tuyau, juste avant la buse.
L’eau sera considérée comme non-visqueuse et incompressible, le flux comme laminaire et irrotationnel.
Août 2015
Exercice 1 - Niveau 4
Dans un parc d’attraction, un manège est constitué d’une plateforme circulaire de 8 m de
diamètre à laquelle sont suspendus des sièges de 10 kg. Les chaı̂nes de suspension sont de masse
63
négligeable et ont une longueur de 2, 5 m. Lorsque le manège tourne, les chaı̂nes font un angle
de θ = 28◦ avec la verticale.
• Trouvez la vitesse des sièges.
• Calculez la tension dans une chaı̂ne si un enfant de 40 kg est assis dans le siège correspondant.
Exercice 2 - Niveau 5
Un bloc de masse 0, 5 kg comprime horizontalement d’une distance x un ressort de masse
négligeable et de constante de rigidité k = 450 N/m. Lorsqu’il est relâché, le bloc parcourt une
surface sans friction jusqu’au point B, qui est le point le plus bas d’un looping de rayon R = 1 m.
Le bloc remonte alors le looping circulaire en subissant une force de frottement constante de
6 N. Déterminez la valeur minimale de x pour que l’objet atteigne le point supérieur de la piste
circulaire. Dans ce cas, calculez la valeur de la vitesse au point B.
Exercice 3 - Niveau 4
Deux pendules, de même longueur 50 cm, de masse respective m et 2m sont initialement au
repos, celui de masse m dans la position verticale d’équilibre, celui de masse 2m à un angle de
60◦ avec la verticale. On lâche le pendule supérieur qui vient percuter le pendule inférieur de
façon élastique. Calculez les vitesses des masses pendulaires juste après le choc ainsi que l’angle
maximal de remontée de chacun des pendules.
64
Exercice 4 - Niveau ? ?
Déterminez la vitesse de libération d’une fusée décollant de Ganymède, la plus grosse lune
de Jupiter, lorsqu’elle démarre du côté le plus éloigné de la planète (cf. schéma). Le rayon de
Ganymède vaut 2, 64 106 m et sa masse vaut 1, 495 1023 kg. La masse de Jupiter est de 1, 90 1027 kg
et la distance entre Jupiter et Ganymède vaut 1, 071 109 m. Vous pouvez négliger les effets de
la rotation de Ganymède sur elle-même ainsi que ceux de sa rotation autour de Jupiter.
Janvier 2016
Exercice 1 - Niveau 4
Une bille quitte le haut d’un escalier, en roulant horizontalement. Les marches de cet escalier
étant hautes de 18 cm et larges de 25 cm, déterminez la plage de vitesse initiale qui permet à la
bille de toucher en premier la quatrième marche de l’escalier. Calculez la fraction de la largeur
de la marche qui peut être touchée par la bille lors de ce premier choc.
Exercice 2 - Niveau 4
Une bille de 10 g peut glisser librement (sans frottement) le long d’une piste circulaire rigide
de 15 cm de rayon. Le cercle est toujours dans un plan vertical et tourne à vitesse constante
autour de son diamètre vertical. On repère la position de la bille sur le cercle en utilisant l’angle
θ entre la verticale et le rayon joignant le centre du cercle à la bille. Donnez la (ou les) valeur(s)
de θ qui permet(tent) à la bille de rester au même point du cercle pendant la rotation si :
• la période de rotation vaut T = 0, 45 s ?
• la période de rotation vaut T = 0, 85 s ?
65
Exercice 3 - Niveau 4
Sur le schéma ci-dessous, on maintient initialement les masses (m1 = 1 kg et m2 = 3 kg) au
repos, avec le ressort à sa longueur au repos. La corde et la poulie sont de masses négligeables
et le coefficient de frottement cinétique entre m1 et le plan incliné vaut µ = 0, 11. On lâche les
masses, m2 commence alors à descendre. Sachant que θ = 25◦ et que la constante de rigidité
du ressort vaut k = 16 N/m, déterminez :
• la vitesse de m1 et de m2 après que m2 a parcouru 20 cm.
• le gain maximal d’altitude de m1 , en considérant qu’il y a assez d’espace initial entre m1
et la poulie pour qu’il n’y ait pas collision.
Exercice 4 - Niveau 5
Une personne de 60 kg court à une vitesse initiale de 4 m/s sur un chariot de 120 kg initialement
au repos. La personne glisse sur la face supérieure du chariot, avant de devenir immobile par
rapport au chariot. Le coefficient de friction cinétique entre la personne et le chariot est de 0, 5
et il peut être considéré comme nul entre le chariot et le sol.
• Déterminez la vitesse finale de la personne et du chariot, par rapport au sol.
• Calculez le temps de la glissade de la personne sur le chariot.
• Déterminez, par rapport au sol, les distances parcourues par la personne et le chariot
pendant la glissade.
• Calculez les variations d’énergie cinétique de la personne et du chariot, et commentez
votre résultat.
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68
Réponses aux exercices
supplémentaires
Cinématique
S1 : 2.25 m/s2
S2 : 33.11 m/s
S3 : 10 m
S4 : 28.34 m
S5 : 0.8203 m
S6 : 0.225◦
S7 : 20 m/s, 34.81 m/s, 70.97 m
S8 : 0.949
S9 : 7492 m/s, 8.005 m/s2
S10 : 0.6 m/s2 , 0.8 m/s2 , 53.13◦
S11 : 13.30 m
S12 : 6.03 s
S13 : 22.91 m/s, -44.29 m/s, 113.55 m/s
S14 : 20.615 s, 32709.73 ft, 101.116 m/s
S15 : 33.53◦
S16 : 266.173 m, 3468.86 m
Dynamique
S1
S2
S3
S4
:
:
:
:
20 kg, 186.8 N
10−22 m/s2 , 10−23 m
8.66 N vers l’est
m2 g
m1 m2
m1 m2
, T1 =
g, T2 =
g
a1 = 2a2 =
1
1
2m1 + 2 m2
2m1 + 2 m2
m1 + 14 m2
S5 : 4.905 m/s2 , 3.132 m/s, 1.352 m, 1.137 s, aucune
S6 : 3.6 m/s2 , 0 N
S7 : 50.9◦
S8 : 0.801
S10 : 2.308 m/s2 , 1.593 N
S11 : 10.39 kg
69
Lois de conservation
S1 : 1.682 m/s
S2 : 2060 N
S3 : 48.19◦
S4 : 10.04 m
S5 : 0.167, 10.49 m
S6 : 2,9 m/s
S7 : 0.45 m, 0.1 m
S8 : 50.00◦
S9 : 297.5 W
S10 : (M-m)v/(M+m), 2Mv/(M+m)
S11 : Mv/(M+m), Mmv 2 /(2M+2m)
S12 : 6M/11, 3M/11, 2M/11, 18Mv 2 /11
◦
◦
S13 : 0.745 m/s,
√ 2.98 m/s, 19.188 , 83.621
S14 : 2, (2+ 5)M
S15 : 10 m/s, 50000 N, 1750 N, 3500 N
S16 : 3.36 km/s
S17 : 3.54 m/s, 1.77 m, 35400 N, Pas selon la verticale
Gravitation
S1
S2
S3
S4
S5
:
:
:
:
:
(xCM , yCM√
) = -0.122 R(1,1)
(2L(π − 2 2))/π 2
m1 (R + l/2)/(m1 + m2 )
2GmM/πR2
7787 m/s, 7847 m/s, -3.032 109 J, -3.079 109 J, -4.686 107 J
Mécanique des fluides
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
:
:
:
:
:
:
:
0.423 m/s, 8.46 10−5 m3 /s
2.165 m/s
27.7 kg/m3 , 791.4 kg/m3
0.623 m
20 cm, 16 cm, 1.981 m/s, 11 cm
1.946 m/s
h0 , h0 /2
Oscillations & ondes
S1
S2
S3
S4
S5
S6
:
:
:
:
:
:
2π/3
24.5 s
3T/4
7.07 cm
1.254 cm, 29.94%
350,2 Hz, 400 kg
70
S7 : 433.97 Hz, 446.20 Hz
S8 : 100 m
S9 : 50 Hz, 1.655 m
S10 : 291.5 Hz
71