1 ANNEXE : LOI DE COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACCELERATIONS On considère un premier repère inertiel (galiléen,”absolu”) ℜ = (O, x, y, z) et un second repère ℜ′ = (O ′ , x′ , y ′, z ′ ) en mouvement quelconque par rapport à ℜ. Autrement dit : d’une part le point O ′ est animé d’un mouvement quelconque par rapport ℜ, d’autre part les axes du référentiel ℜ′ sont soumis à une rotation par ~ le vecteur instantané de rotation correspondant, rapport à ceux de ℜ. On appelle Ω c.a.d. de ℜ′ par rapport à ℜ. Soit M un point mobile dont la vitesse absolue par rapport à ℜ est V~a (M) à l’instant t. Appelons V~r (M) sa vitesse relative au même instant, c’est à dire par rapport à ℜ′ . En d’autres termes : ~ dOM ~ Va (M) = dt ℜ dO~′ M ~ Vr (M) = dt ℜ′ Vitesse d’entraı̂nement et vitesse relative La loi de composition des vitesses donne la relation suivante : V~a (M) = V~r (M) + V~e (M) (1) Ici V~e (M) représente la vitesse à l’instant t, par rapport à ℜ, d’un point M̃ considéré comme fixe dans le repère ℜ′ et coı̈ncidant à cet instant avec le point M. V~e (M) est donc appelée vitesse d’entraı̂nement. On peut écrire : V~e (M) = V~a (M̃) Or le point coı̈ncidant M̃ est soumis à deux composantes : d’une part à la vitesse de translation du point O ′ par rapport à O, d’autre part à la rotation de ℜ′ par ~ Ainsi on obtient : rapport à ℜ, de vecteur Ω. 2 ~ ′) + Ω ~ ∧ O~′M V~e (M) = Va (O (2) ~ ′ ) est la vitesse absolue du point O ′ par rapport au point O dans le Où Va (O repère ℜ Formulation de la loi de composition des vitesses Finalement on peut écrire, en posant O~′ M = r~′ : ˙ ~ ~′ V~a (M) = V~r (M) + V~e (M) = V~a (O ′) + r~′ + Ω ∧r (3) Formulation de la loi de composition des accélérations. On cherche maintenant à exprimer l’accélération absolue γ~a (M) du point M par rapport au référentiel ℜ en fonction de l’accélération relative γ~r (M) de ce même point M par rapport au référentiel ℜ′ . Pour cela on dérive par rapport au temps ˙ ~ l’équation (3), en tenant compte du fait que le vecteur (r~′ + Ω ∧ ~r′ ) est lié à ℜ′ donc lui-même soumis à la rotation de ℜ′ par rapport à ℜ. Ainsi : γ~a (M) = ~ d ˙ dVa (M) ~ ~ ∧ (Ω ~ ∧ r~′ + r~˙′ ) = γ~a (O ′ ) + (r~′ + Ω ∧ r~′ ) + Ω dt dt (4) Ce qui peut encore s’écrire : ~˙ ∧ r~′ + Ω ~ ∧ (Ω ~ ∧ r~′) + 2Ω ~ ∧ r~˙′ γ~a (M) = γ~a (O ′ ) + γ~r (M) + Ω Avec : ˙ dr~′ γ~r (M) = dt (5) 3 Théorème de Coriolis Posons maintenant : ~˙ ∧ r~′ + Ω ~ ∧ (Ω ~ ∧ r~′ ) γ~e = γ~a (O ′ ) + Ω (6) ~ ∧ r~˙′ γ~c (M) = 2Ω (7) Et : γ~e est appelée ”accélération d’entraı̂nement”. γ~c est appelée ”accélération de Coriolis”. On peut donc résumer la formule de l’équation (5) de la manière suivante : γ~a (M) = γ~r (M) + γ~e (M) + γ~c (M) (8) L’accélération de la particule M dans le référentiel ℜ est égale à son accélération relative dans ℜ′ , à laquelle il faut ajouter une accélération d’entraı̂nement et une accélération de Coriolis. Cette dernière loi de composition des accélérations est encore appelée le Théorème de Coriolis. Remarques • On notera que l’accélération d’entraı̂nement ne dépend pas de la vitesse relative r~′ de la particule mais seulement du mouvement de ℜ′ par rapport à ℜ. C’est donc l’accélération par rapport à ℜ qu’aurait le point M̃ fixe dans ℜ′ , et coı̈ncidant avec M à l’instant t. • Au contraire, l’accélération de Coriolis dépend directement de la vitesse relative r~′ ainsi que du seul mouvement de rotation de ℜ′ . • Si ℜ′ est animé d’un simple mouvement de translation par rapport à ℜ, alors l’accélération d’entraı̂nement se réduit uniquement à γ~a (O ′ ), et dans ce cas la force de Corolis est nulle. De plus si la translation est uniforme, alors l’accélération d’entraı̂nement est également nulle.