Feuille d`exercices

Licence — MIMP — Semestre 1
Math 11A : Fondements de l’algèbre
Exercices
Septembre 2013
2
Table des matières
Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles
1
Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Applications - Injections - Surjections - Bijections
4
Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
6
8
9
Chapitre II. Arithmétique dans Z
1
Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
11
Chapitre III. Groupes
1
Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
Chapitre IV. Nombres complexes
1
Représentations de nombres complexes . . . . . . . . . .
2
Formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Racines de nombres complexes et résolution d’équations
4
Interpretation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Racines n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
14
15
16
16
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3
Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles
1. Logique
Exercice 1. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :
⇔, ⇒, ⇐ .
(1) x ∈ R, x2 = 4 . . . . . . x = 2 ;
(2) z ∈ C, z = z . . . . . . z ∈ R ;
(3) x ∈ R, x = π . . . . . . e2ix = 1.
Exercice 2. Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les
yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Exercice 3. [Le missionnaire et les cannibales] Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect
de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de
décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie,
le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le
missionnaire pour sauver sa vie ? (d’après Cervantès)
Exercice 4. Ecrire la négation des assertions suivantes, où P, Q, R, S sont des propositions.
1) P ⇒ Q,
2) P et non Q,
3) P et (Q et R),
4) P ou (Q et R),
5) (P et Q) ⇒ (R ⇒ S).
Exercice 5. Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus précise
possible, les énoncés qui suivent (on ne demande pas de démontrer quoi que ce soit,
juste d’écrire la négation d’un énoncé) :
1. Pour tout x ∈ R f (x) ≤ 1.
2. L’application f est croissante.
3. L’application f est croissante et positive.
4. Il existe x ∈ R+ tel que f (x) ≤ 0.
Réécrire ensuite les phrases et leur négation à l’aide de quantificateurs.
4
CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES
Exercice 6. Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R,
(c) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
x+y >0 ;
x+y >0 ;
(b) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R,
(d) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R,
x+y >0 ;
y 2 > x.
(1) Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ?
(2) Donner leur négation.
Exercice 7. Nier les assertions suivantes :
1) tout triangle rectangle possède un angle droit ;
2) dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3) pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation
z < x implique la relation z < x + 1 ;
4) ∀ε > 0, ∃α > 0, |x − 7/5| < α ⇒ |5x − 7| < ε.
Exercice 8. Dire, en justifiant, si les phrases suivantes sont vraies ou fausses et écrire
leur négation :
1. (∀x ∈ R)(∃n ∈ N)/(x ≤ n).
2. (∃M ∈ R)/(∀n ∈ N)(|un | ≤ M ).
3. (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(xy = yx).
4. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)/(yxy −1 = x).
5. (∀ε > 0)(∃N ∈ N)/(∀n ≥ N )(|un | < ε).
Exercice 9. Soit f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en terme de quantificateurs les expressions suivantes :
1. f est majorée ;
2. f est bornée ;
3. f est paire ;
4. f est impaire ;
5. f ne s’annule jamais ;
6. f est périodique ;
7. f est croissante ;
8. f est strictement décroissante ;
9. f n’est pas la fonction nulle ;
10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ;
11. f atteint toutes les valeurs de N ;
12. f est inférieure à g ;
13. f n’est pas inférieure à g.
Exercice 10. Montrer par récurrence :
1. ∀n ∈ N∗ , 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
;
2
n(n+1)(2n+1)
∗
2
2
2
2. ∀n ∈ N , 1 + 2 + · · · + n =
.
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2. ENSEMBLES
5
2. Ensembles
Exercice 1. Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble :
1. ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B,
2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C.
Exercice 2. Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer que
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
Exercice 3. x, y, z étant des nombres réels, résoudre le système :
(x − 1)(y − 2)z = 0
(x − 2)(y − 3) = 0
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions.
Exercice 4. Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l’application f de E dans l’ensemble à deux éléments {0, 1}, telle que :
f (x) =
n 0
1
si x ∈
/A
si x ∈ A
Soit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer
que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on
déterminera :
1 − f ; f g ; f + g − f g.
Exercice 5. Donner la liste des éléments de P(P({1, 2})).
Exercice 6. Soient A, B ⊂ E. Résoudre les équations en l’inconnue X ⊂ E
1. A ∪ X = B.
2. A ∩ X = B.
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CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES
3. Applications - Injections - Surjections - Bijections
Exercice 1. Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x+1 et g(x) = x2 −1.
A-t-on f ◦ g = g ◦ f ?
Exercice 2. Soit l’application de R dans R, f : x 7→ x2 + 1. Déterminer les ensembles suivants : f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1] ∪ [−2, 1]), f ([−3, −1] ∩ [−2, 1]),
f −1 (]−∞, 2]), f −1 ([1, +∞[), f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[) et f −1 (]−∞, 2] ∩ [1, +∞[).
Exercice 3. Soient E et F deux ensembles, f : E → F . Démontrer que :
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)) ;
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) ; a-t-on f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B) ?
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ;
∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) ;
∀A ∈ P(F ) f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A).
Exercice 4. Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R2 dans R2 )
injective et non surjective, puis surjective et non injective.
Exercice 5. Soit f : R → R définie par f (x) = x3 −x. f est-elle injective ? surjective ?
Déterminer f −1 ([−1, 1]) et f (R+ ).
Exercice 6. Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
f1 : Z → Z, n 7→ 2n ;
f2 : Z → Z, n 7→ −n
f3 : R → R, x 7→ x2
f4 : R → R+ , x 7→ x2
;
Exercice 7. Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
1. f : N → N, n 7→ n + 1
2. g : Z → Z, n 7→ n + 1
3. h : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + y, x − y)
4. k : R \ {1} → R, x 7→
x+1
x−1
Exercice 8. Soit f : R → R définie par f (x) = 2x/(1 + x2 ).
1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que f (R) = [−1, 1].
3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une bijection.
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f .
Exercice 9. On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f :
A → B, g : B → C, h : C → D. Montrer que :
(g ◦ f
et h ◦ g sont bijectives ) ⇐⇒ (f, g et h sont bijectives).
3. APPLICATIONS - INJECTIONS - SURJECTIONS - BIJECTIONS
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Exercice 10. Soit f : X → Y . Montrer que
1. ∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B ∩ f (X).
2. f est surjective ssi ∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B.
3. f est injective ssi ∀A ⊂ X f −1 (f (A)) = A.
4. f est bijective ssi ∀A ⊂ X f ({A) = {f (A).
Exercice 11. Soit f : X → Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont
équivalentes :
i) f est injective.
ii) ∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
iii) ∀A, B ⊂ X A ∩ B = ∅ ⇒ f (A) ∩ f (B) = ∅.
Exercice 12. Soit f la fonction d’une variable réelle à valeurs complexes t 7→ eit .
Donner un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée les plus grands possible qui
rendent f bijective.
Exercice 13. Soit X un ensemble. Si A ⊂ X on note χA la fonction caractéristique
associée : χA : X → {0, 1}, χA (x) = 1 si x ∈ A, 0 sinon. Montrer que Φ: P(X) →
F(X, {0, 1}), A 7→ χA est bijective.
Exercice 14. Soit X un ensemble et f une application de X dans l’ensemble P(X)
des parties de X. On note A l’ensemble des x ∈ X vérifiant x ∈
/ f (x). Démontrer par
l’absurde qu’il n’existe aucun x0 ∈ X tel que A = f (x0 ). En déduire qu’il n’existe
pas de bijection entre X et P(X).
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CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES
4. Dénombrement
Exercice 1. Démontrer que pour tous les entiers naturels 0 ≤ k ≤ p ≤ n, on a
p−k
Cnk Cn−k
= Cpk Cnp . En déduire que pour tous les entiers naturels p ≤ n, on a
n
X
p−k
Cnk Cn−k
= 2p Cnp .
k=0
Exercice 2. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que
n
X
(−1)k Cnk = 0.
k=0
P
En déduire la valeur de
Cn2k .
0≤2k≤n
Exercice 3. Calculer le module et l’argument de (1 + i)n . En déduire les valeurs de
S1 = 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + · · ·
S2 = Cn1 − Cn3 + Cn5 − · · ·
Exercice 4. En utilisant la fonction x 7→ (1 + x)n , calculer :
n
X
k=0
Cnk
;
n
X
k=1
kCnk
;
n
X
k=1
1
Ck.
k+1 n
Exercice 5. Soit E un ensemble á n éléments. Quel est le nombre d’éléments de
E P ? Quel est le nombre de parties de E p . ?
Exercice 5. Soit E un ensemble à n éléments, et A ⊂ E un sous-ensemble à p
éléments. Quel est le nombre de parties de E qui contiennent un et un seul élément
de A ?
Exercice 6. Soit E un ensemble non vide, a ∈ E et
f : P(E) → P(E)
X ∪ {a} si a ∈
/X
X
7→
X \ {a} si a ∈ X
1. Montrer que f est une bijection.
2. On suppose désormais que E est fini et Card(E) = n. On pose P0 (E) l’ensemble
des parties de E de cardinal pair et P1 (E) l’ensemble des parties de E de
cardinal impair. Montrer que Card (P0 (E)) = Card(P1 (E)).
n
P
3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de
(−1)k Cnk .
k=0
5. RELATIONS D’ÉQUIVALENCE
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5. Relations d’équivalence
Exercice 1. Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive.
Que penser du raisonnement suivant ?
“xRy ⇒ yRx car R est symétrique,
or (xRy et yRx) ⇒ xRx car R est transitive,
donc R est réflexive.”
Exercice 2. Dans C on définit la relation R par : zRz 0 ssi |z| = |z 0 |.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de z ∈ C.
Exercice 3. Dans R2 on définit la relation R par : (x, y)R(x0 , y 0 ) ssi y = y 0 .
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence d’un élément (x, y) ∈ R2 .
Exercice 4. Montrer que la relation < définie sur R par :
x<y ⇐⇒ xey = yex
est une relation d’équivalence. Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de
la classe de x modulo <.
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CHAPITRE II. ARITHMÉTIQUE DANS Z
Chapitre II. Arithmétique dans Z
1. Divisibilité
Exercice 1. Dire en justifiant la réponse, si les énoncés suivants sont vrais ou faux.
1. Si a divise mn, a divise m ou n ;
2. Si a divise n ou a divise m, a divise mn ;
3. Si a divise mn et a ne divise pas m, a divise n ;
4. Si a divise 42n + 37 et 7n + 4, alors a divise 13.
Exercice 2. Montrer que
1. Si n est un entier pair, 4 divise n2 et si n est impair, 8 divise n2 − 1.
2. Si n est impair et 3 ne divise pas n, 24 divise n2 − 1.
3. 30 divise n5 − n.
Exercice 3. En divisant un nombre par 8, un élève a obtenu 4 pour reste ; en divisant
ce même nombre par 12, il a obtenu 3 pour reste. qu’en pensez-vous ?
Exercice 4. Quel est le reste de la division euclidienne de
P2008
k=0
k! par 15 ?
Exercice 5. Montrer que
1. Si a = bn + m, pgcd(a, b) =pgcd(b, m) ;
2. il n’existe pas d’entiers m et n tels que m + n = 15 et pgcd(m, n) = 7 ;
3. pgcd(m, m + n) divise n ;
2. Equations diophantiennes
Exercice 6.
Calculer pgcd(132, 60), pgcd(99099, 43928) et pgcd(−1023, 4561).
Résoudre dans Z les équations :
132x + 60y = 8 ; 99099a + 43928b = 5 ; 1023x + 4561z = 1.
Exercice 7. Trouver les solutions entières de l’équation : 102x − 18018y = 18.
Combien y a-t-il de solutions telles que x et y soient compris entre 0 et 4000 ?
Exercice 8. Résoudre dans Z l’équation : 5a + 15b + 6c = 2.
Exercice 9. Supposons que pgcd(a, b) = d et soit x et y tels que d = ax + by.
Montrer que pgcd(x, y) = 1 et que x et y ne sont pas uniques.
Exercice 10. Montrer que
1. Si pgcd(m, n) = 1, pgcd(m + n, m − n) = 1 ou 2 ;
2. Si pgcd(a, n) = pgcd(a, m) = 1, alors pgcd(a, mn) = 1 ;
3. tout entier peut s’écrire sous la forme 5a + 19b, a, b ∈ Z.
3. CONGRUENCES
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3. Congruences
Exercice 11. Démontrer les propriétés suivantes :
1. Si a ≡ b (mod m) et c ≡ d (mod m), alors a + c ≡ b + d (mod m) et
ac ≡ bd (mod m) (résultat du cours).
2. Si a ≡ b (mod m), alors ak ≡ bk (mod m) pour tout k ∈ N (résultat du
cours).
3. Si a ≡ b (mod m) et P un polynôme à cœfficients dans Z, alors P (a) ≡
P (b) (mod m).
4. Si a ≡ b (mod m), alors pgcd(a, m) = pgcd(b, m).
5. Si a ≡ b (mod mi ), pour i = 1, ..., k, alors a ≡ b (mod ppcm(m1 , ..., mk )).
Exercice 12. Montrer qu’un entier n est divisible par :
1. 3 (resp. 9), si la somme des chiffres de n est divisible par 3 (resp. 9).
2. 5, si le chiffre des unités de n est 0 ou 5.
3. 11, si le nombre obtenu en faisant alternativement l’addition et la soustraction
des chiffres de n est divisible par 11.
L’entier 29461905 est-il divisible par 495 ? (sans effectuer une division).
23
Exercice 13. Trouver le chiffre des unités de 1092007 et 2323 .
Exercice 14. Résoudre les congruences :
1. 20x ≡ 3 (mod 10) ; 2. 123x ≡ 7 (mod 5) ; 3. 107x ≡ 112 (mod 11).
Exercice 15. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 3+4k.
Indications : Que peut-on dire d’un nombre premier impair modulo 4 ? Supposer
qu’il y a un nombre fini de nombres premiers congrus à 3 modulo 4, soit p1 , ..., pk
ces nombres et considérer la décomposition en facteurs premiers de l’entier n =
4p1 · · · pk + 3.
Exercice 16. Dire en justifiant la réponse, si les énoncés suivants sont vrais ou faux.
1. pgcd(a, b).P P CM (a, b) = ab ;
2. pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c) ;
3. Le chiffre des unités de 1172001 est 3 ;
4 −1
4. La somme des diviseurs de 73 est 77−1
.
Exercice 17. Soit p un nombre premier. Montrer que pour tout entier k tel que
1 < k < p, on a Cpk ≡ 0 (mod p). (Résultat du cours). En déduire, en utilisant la
formule du binôme, que si a et b sont deux entiers, on a (a + b)p ≡ ap + bp (mod p).
Exercice 18. Soit p un nombre premier et a un entier.
Montrer que si pgcd(a, p) = pgcd(a − 1, p) = 1, alors 1 + a + · · · + ap−2 ≡ 0 (mod p).
Exercice 19. Soit p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que :
pq−1 + q p−1 ≡ 1 (mod pq).
12
CHAPITRE III. GROUPES
Chapitre III. Groupes
1. Groupes et sous-groupes
Exercice 1. Dans R, on définit l’opération ∗ par : x ∗ y = ex+y , x + y étant la somme
usuelle de deux réels. (R, ∗) est-il un groupe ?
Exercice 2. On considère R2 muni des deux opérations ⊕ et ⊗ définies par :
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), a + c et b + d étant la somme usuelle de deux réels ;
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac, bd), ac et bd étant le produit usuel de deux réels.
(R2 , ⊕) et (R2 , ⊗) sont-ils des groupes ?
Exercice 3. (résultat du cours) Soit G un groupe et H et K deux sous-groupes
de G.
1. Montrer que H ∩ K est un sous-groupe de G.
2. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G SSI H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 4.
(1) Soit m et n deux entiers non nuls.
On note d = pgcd(m, n) et mZ + nZ = {mu + nv, u ∈ Z et v ∈ Z}.
Montrer que mZ + nZ est un sous-groupe de Z et que mZ + nZ = dZ.
(2) 6Z ∪ 15Z est-il un sous-groupe de Z ?
(3) Caractériser les sous-groupes suivants : 25Z ∩ 15Z ; 4Z ∩ 6Z ∩ 8Z ∩ 15Z.
1+2n
Exercice 5. Montrer que l’ensemble { 1+2m
; n, m ∈ Z} est un sous-groupe de (Q∗ , .).
Exercice 6.
1. Soit n ∈ N ∗ . Dans Z/nZ, on définit deux opérations, appelées addition et
multiplication par :
a+b=a+b
a.b = ab
Vérifier que ces deux opérations sont bien définies, que (Z/nZ, +) est un groupe
abélien et que (Z/nZ, .) n’est pas un groupe (résultat du cours).
2. Ecrire la table d’addition et de multiplication de Z/nZ, dans les cas : n =
3, 4, 5, 8.
3. Montrer que dans Z/nZ muni de la multiplication, un élément a est inversible
ssi pgcd(a, n) = 1. On notera (Z/nZ)× l’ensemble des éléments de Z/nZ inversibles pour la multiplication. Montrer que ((Z/nZ)× , .) est un groupe abélien
(résultat du cours).
4. Les éléments 11 et 100 sont-ils inversibles pour la multiplication dans Z/121Z ?
Si oui, déterminer leurs inverses.
5. Déterminer le cardinal de (Z/7Z)× , (Z/8Z)× et (Z/30Z)× .
2. MORPHISMES
13
2. Morphismes
Z → Q∗
. Montrer que f est un homomorn 7→ 2n
phisme de groupes. Déterminer ker f , Imf et f −1 (N). f est-elle injective ? surjective ?
Exercice 7. Soit l’application f :
Exercice 8. Soit
√
A = {z ∈ R; ∃ a ∈ Z, ∃ b ∈ Z, z = a + b 2}.
1) Montrer que A est un sous-groupe de (R, +).
2) Montrer que pour tout élément
z ∈ A, il existe un unique entier a et un unique
√
entier b tels que z = a + b 2.
3) On considère l’application f : A → Q \ {0} définie par :
√
Si z = a + b 2 ∈ A, f (z) = 2a .
(a) Montrer que f est un morphisme du groupe (A, +) dans le groupe (Q \
{0}, ×).
(b) Déterminer kerf .
(c) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Exercice 9.
(1) Décrire les éléments du groupe symétrique S3 .
(2) Montrer que pour tout σ ∈ S3 , l’ensemble
hσi := {σ k | k ∈ Z} (où σ n = σ ◦ · · · ◦ σ (n fois) pour n ∈ N∗ ; σ 0 = IdS3 ;
σ −n = σ −1 ◦ · · · ◦ σ −1 (n fois) pour n ∈ N∗ ) est un sous-groupe de S3 différent
de S3 .
(3) Montrer que les groupes Z/6Z et S3 ne sont pas isomorphes.
Exercice 10. Soit (G, ∗) un groupe et l’application
f: G → G
.
x 7→ x2 = x ∗ x
Montrer que f est un endomorphisme de groupes si et seulement si G est abélien.
Exercice 11. Soit (G, .) un groupe et H une partie non vide et finie de G. Montrer
que si x · y ∈ H, pour tout x, y ∈ H, alors H est un sous-groupe de G.
14
CHAPITRE IV. NOMBRES COMPLEXES
Chapitre IV. Nombres complexes
1. Représentations de nombres complexes
Exercice 1.
1. Ecrire sous la forme a + ib le nombre complexe de module 2 et d’argument π3 .
2. Calculer le module et la détermination principale de l’argument des nombres
complexes :
√
√
(1 + i 3)6
.
1, −2, i, 1 + i 3, 1 + i,
(1 + i)4
Exercice 2. Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres :
3 + 6i
1 + i 2 3 + 6i
2 + 5i 2 − 5i
;
+
;
+
.
3 − 4i
2−i
3 − 4i
1−i
1+i
Exercice 3. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que :
√
z − 3
z − 3
=1
= 2.
1. ;
2. z−5
z − 5
2
Exercice 4. Soit z1 , z2 ∈ C, montrer que |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + 2 |z2 |2 .
Exercice 5. Soit z ∈ C tel que |1 + iz| = |1 − iz| , montrer que z ∈ R.
2. Formule d’Euler
Exercice 6. En utilisant les nombres complexes, calculer cos 5θ et sin 5θ en fonction
de cos θ et sin θ.
P
P
Exercice 7. Calculer les sommes : S1 = nk=1 cos kx et S2 = nk=1 sin kx, x ∈ R.
Exercice 8.
1. Vérifier que pour tout x ∈ R , on a exp(ix) − 1 = 2i exp
2. Soit n ∈ N∗ . Calculer pour tout x ∈ R la somme :
ix
2
sin
x
2
.
Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + · · · + exp((n − 1)ix),
et en déduire les valeurs de
Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + · · · + cos((n − 1)x)
Yn = sin(x) + sin(2x) + · · · + sin((n − 1)x).
Exercice 9. Soit z ∈ C tel que z +
naturel n, on a z n + z1n = 2 cos nθ.
1
z
= 2 cos θ, θ ∈ R, montrer que pour tout entier
3. RACINES DE NOMBRES COMPLEXES ET RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS15
3. Racines de nombres complexes et résolution d’équations
Exercice 10. Déterminer les racines carrées de 3 − 4i, 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i et 7 + 24i.
√ . En déduire les valeurs de cos(π/8)
Exercice 11. Calculer les racines carrées de 1+i
2
et sin(π/8). Utilser la même méthode pour calculer les valeurs de cos(π/12) et
sin(π/12).
Exercice 12. Pour z ∈ C \ {2i}, on pose : f (z) =
2z−i
z−2i .
1. Résoudre l’équation z 2 = i, z ∈ C.
2. Résoudre l’équation f (z) = z, z ∈ C \ {2i}.
Exercice 13. Résoudre dans C les équations :
1. z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0 ;
2. z 2 + z + 1 = 0 ;
3. z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ;
4. z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0 ;
5. x4 − 30x2 + 289 = 0 ;
6. z 3 + 3z − 2i = 0.
7. z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0
Exercice 14. On note j = e
2iπ
3
.
1. Mettre j et j 2 sous forme algébrique.
2. Vérifier que 1 + j + j 2 = 0.
3. Factoriser le polynôme z 3 − 8i.
Exercice 15. Pour tout nombre complexe Z, on pose P (Z) = Z 4 − 1.
1. Factoriser P (Z) et en déduire les solutions dans C de l’équation P (Z) = 0.
2. Déduire de 1. les solutions de l’équation d’inconnue z : ((2z + 1)/(z − 1))4 = 1
Exercice 16. Déterminer les racines cubiques de 2 − 2i.
Exercice 17. Résoudre dans C les équations suivantes :
√ 1. z 3 = 1 ; 2. z 4 = 1 ; 3. z 3 = −1 ; 4. z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 ; 5. z 7 = z, z étant
le conjugué de z.
Exercice 18.
1. Calculer les racines n-ièmes de −i et de 1 + i.
2. Résoudre z 2 − z + 1 − i = 0.
3. En déduire les racines de z 2n − z n + 1 − i = 0.
Exercice 19. Soit z1 , ..., zn les racines nièmes de l’unité. Calculer z1 + ... + zn et
z 1 · · · zn .
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CHAPITRE IV. NOMBRES COMPLEXES
4. Interpretation géométrique
Exercice 20. L’application f : C \ {0} → C, z 7→ z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.
Donner l’image réciproque par f de la droite iR.
Exercice 21. Le plan P est rapporté à un repère orthonormé et on identifie P à
l’ensemble des nombres complexes C par
M (x, y) 7→ x + iy = z,
où z est appelé l’affixe de M . Soit g: P → P qui à tout point M d’affixe z 6= −1
associe g(M ) d’affixe z 0 = 1−z
1+z .
(1) Calculer z 0 + z¯0 pour |z| = 1.
(2) En déduire l’image du cercle de rayon 1 de centre 0 privé du point de coordonnées
(−1, 0) par l’application g.
5. Racines n-ième
Exercice 22. Soit n ∈ N∗ , Un = {z ∈ C; z n = 1} et Vn = {z ∈ C; z n = −1}. Un et
Vn sont-ils des sous-groupes de (C∗ , .)?
Exercice 23. Soit n ∈ N∗ et Un = {z ∈ C; z n = 1}. On considère l’application
f : Z → Un
2ikπ
k 7→ e n
Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes. Déterminer ker f . f est-elle
injective ?